Su alcune note di storia della geometria

Su alcune note di storia della geometria

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Guido Carolla

E’ quasi impossibile trattare la storia della geometria

senza cadere, data la sua vastità, nelle inevitabili

imprecisioni ed omissioni. Noi qui, col proposito un po’

ambizioso di essere letti anche da studenti, ci siamo sforzati

di riportare alcuni argomenti in modo didatticamente sem-

plice, forse con soverchia pretesa di accessibilità anche per

chi ha poca dimestichezza con la matematica.

Un po’ di storia

La parola geometria proviene dal greco e significa “misura della

terra”. Ed Erodoto, il padre della storia, ritiene che la geometria sia

nata presso gli antichi Egiziani, vari millenni a. C., per la necessità che

questi avevano di ripristinare confini di proprietà, che ogni anno veni-

vano cancellati dalle inondazioni del Nilo. D’altro canto è assodato

che ancor prima altri popoli, come per es. gli Assiro-Babilonesi, eb-

bero spiccate cognizioni di geometria, oltre che di aritmetica.

Gli Assiro-Babilonesi abitavano in Mesopotamia, la vasta pianura

che ha per confini naturali i due fiumi Tigri ed Eufrate, che

attualmente si può identificare con l’Iraq. Centro della loro vita

politica e culturale era l’antichissima Babilonia. Essi, profondi cultori

di Astronomia, erano abbastanza progrediti nelle cognizioni

geometriche. Infatti, parallele, quadrati, triangoli, angoli retti

s’incontrano fra le materie della civiltà babilonese; inoltre è certo che

quei popoli della Mesopotamia erano in grado di calcolare con

1 Docente di matematica e preside a r. Lecce; e-mail guidocarolla@libero.it

precisione aree di quadrati, di rettangoli, di triangoli rettangoli e

persino di trapezi, mentre per determinare l’area del cerchio si

π = 3

servivano del valore . Presso gli Egiziani però si riscontravano

più vaste e più profonde cognizioni matematiche, in gran parte

raccolte nel famoso Papiro Rhind (2000 a. C. circa) – di contenuto a-

ritmetico-geometrico – e nel Papiro di Mosca, interpretato dallo Stru-

ve. Ma, tanto presso gli Assiro-Babilonesi, quanto presso gli Egiziani

le conoscenze matematiche servivano a scopi principalmente pratici.

Spetta ai Greci, a partire da Talete di Mileto – uno dei sette savi del-

l’antica Grecia, (600 a. C. circa) – e Pitagora di Samo, fondatore della

famosa scuola pitagorica a Crotone (540 a. C. circa), che forse fu

allievo di Talete, il merito di aver elevato la matematica a dignità di

scienza.

La geometria a fondamento degli studi filosofici

Sembra che presso i pitagorici la geometria sia stata posta per la

prima volta sotto forma deduttiva.

Va pure ricordato il grande filosofo Platone di Atene (420-348 a.

C.) a cui si debbono notevoli contributi circa la risoluzione di

problemi geometrici e sopratutto nei riguardi dell’uso della logica

nello studio della geometria, che egli metteva a fondamento degli

studi filosofici.

Si narra che egli raccomandava così caldamente lo studio della geo-

metria da scrivere sulla porta della sua scuola: “Nessuno ignaro della

geometria entri sotto il mio tetto”. Soleva anche dire: “Dio geome-

trizza sempre”. Ulteriori progressi la geometria compie, dal punto di

vista razionale, dopo che Aristotele, il grande discepolo di Platone, dà

alla logica una importantissima sistemazione.

Euclide e gli studi euclidei

In seguito il pensiero greco trova la sua meravigliosa sintesi in

Euclide vissuto in Alessandria verso il 300 a. C. Egli nei suoi

Elementi, di contenuto aritmetico-geometrico, raccoglie e sistema

tutto il complesso delle conoscenze matematiche del tempo secondo

un mirabile schema logico-deduttivo. Gli Elementi hanno avuto una

diffusione seconda solo alla Bibbia, e costituisce il più grande

monumento che l’uomo abbia saputo elevare alla matematica.

Le matematiche elementari, così come vengono insegnate, non

differiscono nei fondamenti dalla impostazione di Euclide, che scrisse

gli Elementi in Alessandria, subito dopo la fondazione della città,

nell’epoca in cui il genio militare di Alessandro Magno unificava in

un solo impero il mondo greco e quello orientale fino alle Indie,

mentre Roma compiva la grande opera di unificazione della penisola

italica, primo passo verso l’unificazione di tutto il mondo mediterra-

neo.

Archimede: il grande matematico, primo ingegnere dell’umanità

Nella storia della matematica un posto a parte spetta ad Archimede

di Siracusa, vissuto verso il 287 a. C. Il grande scienziato – ucciso,

come è noto, da un soldato romano durante il saccheggio di Siracusa

nel corso della seconda guerra punica – è senza dubbio uno dei più

grandi matematici di tutti i tempi. Egli per primo, affrontando i più ar-

dui problemi rimasti fino a quel tempo insoluti, come per esempio

quello del calcolo delle aree e dei volumi, gettò le basi del calcolo

infinitesimale.

Archimede affrontò, tra l’altro, il problema della rettificazione della

circonferenza, che – com’è noto – consiste nel trovare un segmento

lungo quanto una circonferenza data. Presso gli Assiro-Babilonesi, co-

me già detto, si riscontra la regola che per rettificare la circonferenza

π il valore 3, valore che

basta triplicare il diametro: perciò si usa per

si incontra successivamente nella Bibbia. Gli Egiziani assegnavano a

π il valore 3,1604, che è più preciso di 3. Nella pratica noi adope-

riamo il valore 3,14; che fu anche usato da Archimede, a cui va il

π .

grandissimo merito di aver fatto conoscere pienamente il numero

π

Egli dimostrò che è un numero decimale con infinite cifre e asse-

gnò la legge per ottenerle.

Da Archimede a Gauss e Lindemann

Le grandi e geniali idee di Archimede non furono comprese piena-

mente dai suoi contemporanei. L’umanità poté recepirle nel loro giu-

sto valore circa ventuno secoli dopo; quando – per opera di Bonaven-

tura Francesco Cavalieri (1598-1647), Isaac Newton (1642-1727),

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1746-1716) e altri – furono defini-

tivamente sistemati i concetti che governano l’infinitesimo. E la figura

di Archimede giganteggia sempre più col progredire della Scienza.

Gli antichi tentarono di rettificare la circonferenza adoperando la

riga e il compasso, come si fa per altre costruzioni della geometria

elementare. Essi però non poterono realizzare ciò, in quanto il

problema non è risolubile con riga e compasso (partendo dal raggio).

L’impossibilità di rettificare la circonferenza con riga e compasso è

stata provata nel 1882 e discende da un famoso teorema di Ferdinand

π π

Lindemann (1852-1939), che enuncia la trascendenza di (cioè,

non è soluzione di equazioni a coefficienti razionali). Se con riga e

compasso sappiamo dividere un arco per metà, possiamo anche

inscrivere in una circonferenza i poligoni regolari che hanno 3, 6, 12,

24 lati, e via raddoppiando; 4, 8, 16, 32, ... lati; 5, 10, 20, 40, … lati.

Gli antichi tentarono di risolvere il problema della divisione della

circonferenza in parti uguali adoperando la riga e il compasso anche in

tutti gli altri casi, ma non vi riuscirono.

Il loro insuccesso si deve al fatto che il suddetto problema non è in

generale risolubile con l’uso di tali strumenti. Ciò è stato dimostrato

da Carl Friedrich Gauss (1777-1855) nel teorema che dice: una

circonferenza si può dividere in un numero n di parti uguali, mediante

riga e compasso, soltanto quando n scomposto in fattori primi abbia i

fattori diversi da 2 tutti alla prima potenza e tali che diminuiti di 1

diano luogo ad una potenza di 2.

In base a questo teorema non è possibile con riga e compasso di-

videre una circonferenza in 7, 11, 13 parti uguali, perché tali numeri

primi diminuiti di 1 non danno una potenza di 2. Analogamente non è

2

possibile dividere la circonferenza in 9 parti uguali, perché 9=3 e il

fattore 3 non si presenta alla prima potenza. E non è possibile dividere

la circonferenza in 14 parti uguali,