La matematica classica

La matematica classica

Antonio Maida

1 Breve storia della matematica classica

Una delle prime attività umane fu la pastorizia. Il pastore primitivo trovandosi nella

necessità di contare i capi di bestiame incise su di un tronco d’albero un segno per ogni

capo; era così in grado, non tanto di contare, quanto di verificare se vi fossero capi

equinumerosità numero.

mancanti. La prima intuizione fu dunque la piuttosto che il È poi

plausibile supporre che le prime intuizioni geometriche siano scaturite da osservazioni di

fatti naturali e dall’esigenza di risolvere problemi legati all’attività agricola.

Il più antico documento scritto che c’informa circa le conoscenze matematiche degli

Egizi papiro di Rhind 2000 a.C. egizio

antichi è il risalente al Il sistema di numerazione

usava simboli diversi per le prime potenze del dieci era basato sul principio additivo e non

era noto lo zero. La somma ed inizialmente la moltiplicazione erano eseguite con l’abaco.

Successivamente per quest’ultima si costruirono apposite tavole. La divisione era

considerata come operazione inversa della moltiplicazione e nel caso di divisioni non esatte

s’introducevano frazioni a numeratore unitario. In Geometria gli egizi conoscevano un

modo per determinare l’area del rettangolo e del quadrato e probabilmente la misura di altre

superfici era determinata per decomposizione in poligoni elementari. Nella costruzione di

angoli retti si servivano di una fune chiusa divisa in parti uguali da dodici nodi disposti su

3, 4 5

di un triangolo i cui lati erano e volte la distanza fra due nodi. Era quindi nota la terna

2

<3,4,5>. π=(16/9) =3,16…

pitagorica Consideravano . Vi sono infine documenti nei quali è

descritto un modo per determinare il volume di un tronco di piramide a base quadrata ed

altri volumi.

Sumeri, Mesopotamia 4000 a.C.,

Ai stabilitisi in intorno al è attribuita l’invenzione della

Babilonesi

scrittura. Agli stessi succedettero i la cui civiltà raggiunse l’apice sotto

a.C.)

Nabucodonosor (600 e tramontò con l’invasione della Mesopotamia da parte di Ciro il

1800 a.C.

Grande. È documentato che già prima del i babilonesi avevano acquisito dai

sistema

sumeri nozioni di aritmetica ed algebra. Usavano il di numerazione posizionale

(che si differenzia da quello additivo per il fatto che il valore di una cifra dipende dal posto

occupato) in base 60, poiché mediato dalla misurazione degli angoli. Rappresentavano con

zero.

simboli cuneiformi le prime potenze del dieci, conoscevano il significato e l’uso dello

L’equivocità in tale sistema di numerazione era probabilmente risolta in riferimento al

contesto. Nell’indicare le frazioni ne omettevano i denominatori anticipando in tal modo i

numeri decimali. Conoscevano il significato delle radici quadrate e cubiche per il cui

calcolo si servivano di apposite tabelle. Si occuparono di figure geometriche elementari e si

servivano probabilmente di rudimenti trigonometrici nello studio dei fenomeni celesti.

<3,4,5>. π 3.

Usavano la terna pitagorica Attribuivano a il valore

Indiani sistema

Agli si deve l’invenzione del di numerazione posizionale in base dieci

portato in occidente dagli arabi. Abili calcolatori, manipolavano numeri molto grandi.

Adoperarono quei numeri irrazionali che i greci tratteranno con diffidenza. Operavano su

radici quadrate e cubiche. Inventarono lo zero ed i numeri relativi. Utilizzavano la terna

<5,12,13>.

pitagorica

Maya sistema

I avevano un di numerazione abbastanza collaudato e tali conoscenze

scientifiche da rendere possibile l’organizzazione di un calendario e la costruzione di opere

ingegneristiche che ancora oggi stupiscono.

matematici Mileto, Turchia).

Fra i primi dell’antichità vi è sicuramente (624-547,

Talete

Nei suoi viaggi in Mesopotamia apprese dagli astronomi di quel paese gli studi sui

fenomeni celesti e fu il primo ad intuirne il carattere scientifico, nel senso che i

procedimenti geometrici utilizzati erano astraibili e generalizzabili. La geometria iniziava a

divenire una teoria astratta. Talete non lasciò nulla di scritto ed è tuttavia considerato il

fondatore della geometria intesa come lo studio delle figure private di ogni riferimento

materiale. A lui si devono i primi studi sulla similitudine motivati comunque da esigenze

pratiche. Infatti proprio applicando i suoi metodi Talete sbalordì i contemporanei con la

585

previsione di una eclisse visibile nel in Mileto, con la determinazione dell’altezza delle

piramidi egizie e della distanza di una nave dalla costa.

Samo, Grecia) Crotone.

Quasi contemporaneo è (569-475, che operò a Il nome

Pitagora

di Pitagora e della sua scuola è rimasto legato alla prova dell’omonimo teorema ed alle sue

conseguenze. Lo studio delle terne pitagoriche spinse i pitagorici ad affrontare una

trattazione sistematica dell’aritmetica e dei suoi legami con la geometria. È in particolare

dei pitagorici lo studio sulla commensurabilità e la scoperta, sconcertante per gli stessi, di

segmenti incommensurabili, quali ad esempio il lato e la diagonale del quadrato. Si osservi

punto

a riguardo che nella concezione pitagorica il era un ente che, pur se piccolissimo,

punto

aveva una dimensione. Tale immagine granulare di portava alla convinzione che due

segmenti, in quanto insiemi finiti di punti, fossero sempre commensurabili. La succitata

il

scoperta mise in crisi i pitagorici che si videro costretti ad ammettere a malincuore che

punto è privo di dimensioni. infinitesimo, infinito numero

I conseguenti concetti di e

irrazionale non furono però trattati dai matematici greci bloccati a riguardo dai paradossi

paradosso di Elea, Italia)

dell’infinito del tipo del (490-425, di Achille e la

Zenone

tartaruga, fondato sulla erronea convinzione che la somma di infiniti termini fosse

Clazomene

necessariamente infinita. Solo di (499-428, Turchia) si era

Anassagora

rispetto al piccolo v’è un ancor più piccolo e rispetto al

espresso a riguardo asserendo che

grande v’è un ancor più grande. Successivamente Eudosso ed Archimede daranno un

infinitesimo infinito.

valido contributo alla comprensione dei concetti di ed

Un’altra conseguenza della incommensurabilità fu la falsità del principio pitagorico,

il tutto è maggiore della parte. (1564-

ripreso poi da Euclide, secondo il quale G. Galilei

1642, Pisa), Milano),

sollecitato dal (1598-1647, costruì per primo una

Cavalieri

corrispondenza biunivoca tra gli interi positivi e i quadrati perfetti; costruì una

J. Bolzano

corrispondenza biunivoca tra gli interi positivi e i numeri pari; ed infine Richard Dedekind

Braunschweig, insieme infinito

(1831-1916, Germania) formulò come definizione di

proprio la proprietà di essere equinumeroso ad una sua parte, cioè la negazione del

principio pitagorico. V a.C.

Nell’ambito della matematica precristiana fiorente nel secolo ad Atene e ad

Alessandria in Egitto sono ancora da citare Ippocrate di Chio, Platone, Eudosso di Cnido,

Euclide che insegnava ad Alessandria, Apollonio della scuola euclidea, Archimede che

250 a.C.,

operò a Siracusa intorno al Eratostene direttore della biblioteca di Alessandria ai

tempi di Archimede, ed Aristotele.

Chios, Elementi di geometria

(470-410, Grecia) raccolse negli le conoscenze

Ippocrate

matematiche del tempo e si occupò del calcolo delle aree di figure a contorno curvilineo.

Già in Talete v’era in embrione l’idea che le figure geometriche dovessero pensarsi come

Atene)

figura (427-347, secondo il

enti astratti. E la prima definizione di è di Platone

perfette elementarmente, con riga e compasso,

quale sono solo quelle figure costruibili o

ottenute cioè solo congiungendo punti e riportando segmenti uguali.

Cnido, metodo di esaustione

Ad (408-355, Turchia) si deve il fondato sulla

Eudosso Eudosso,

possibilità di suddividere all’infinito un segmento. Si osservi che in come nei

l’infinito potenziale,

greci eccezion fatta per i platonisti, era inteso come come cioè la

attuale.

possibilità di aggiungere un elemento per volta, e non piuttosto

Elementi, Alessandria,

Nei tredici volumi degli (325-265, Egitto) presenta, caso

Euclide geometria

unico nella matematica premoderna, la prima versione semiassiomatica, la

euclidea GE, della geometria fondata su definizioni, nozioni comuni e postulati, e sulla

teoremi)

deduzione delle proprietà geometriche (i dai postulati. I primi tre postulati euclidei

privilegiano l’uso di strumenti elementari, riga e compasso, come già stabilito da Platone.

Puó interessare una prova dovuta ad Euclide dell’infinità dei numeri primi: se fossero in

p , p , …, p , (p p …p )+1,

numero finito allora sicuramente il numero non essendo primo

0 1 n 0 1 n

p p

poiché è più grande di , dovrà essere divisibile per qualche ; ciò non è possibile essendo

n i

1 il resto di una tale divisione.

Perga, Trattato sulle coniche

Di (262-190, Turchia) è il nel quale vi sono

Apollonio

sorprendenti anticipazioni del calcolo infinitesimale e della geometria analitica. È di

Keplero la scoperta delle orbite ellittiche dei pianeti!

Siracusa)

(287-212, affronta con parziale successo vari problemi fra i quali

Archimede rettificazione determinazione π.

quello della e della di Perviene inoltre al calcolo di aree e

volumi con un metodo (quello meccanico), per lungo tempo ignoto poiché i suoi scritti

1635

andarono dispersi nella biblioteca di Costantinopoli, posto nel dal Cavalieri a base del

calcolo infinitesimale. Sorprende la facilità con la quale Archimede tratta gli infiniti e gli

infinitesimi. Cyrene,

Ad (276-194, Libia) si deve l’invenzione di un metodo geniale per la

Eratostene

misurazione del diametro terrestre, con un errore di appena 100 km per difetto.

Stagira,

(384-322, Grecia) è giustamente considerato il fondatore della logica.

Aristotele

sillogismo universali affermativi (tutti

Il suo esamina quattro tipi di enunciati e cioè gli:

gli uomini sono mortali), universali negativi (nessun uomo è mortale), particolari

affermativi (qualche uomo è mortale) particolari negativi (qualche uomo non è

e

mortale). sillogismi,

Il problema del sillogismo era quello di stabilire, appunto, i le terne

cioè di enunciati l’ultimo dei quali fosse vero non appena lo fossero i primi due, aventi

tutti gli U sono M A non è M

questi ultimi un termine in comune. Ad esempio, da e

A non è U.

consegue Aristotele, spingendosi oltre il sillogismo, si pose il problema di

indagare non solo sulla connessione fra premesse e conclusione di un sillogismo, ma anche

enunciato vero,

sulla verità delle premesse. A riguardo, non definì il concetto di ma stabilì

che gli enunciati veri posti alla base del sillogismo fossero quelli corrispondenti ad un dato

concezione classica

di fatto. La sintesi di tale della verità è espressa dall’equivalenza fra i

“P è vero” “P”. piove

due enunciati e Non v’è dubbio infatti che, ad esempio, è vero se e

solo se piove. Ancora, per Aristotele una teoria doveva essere costruita derivando da

assiomi), regole deduttive,

enunciati veri (gli tramite l’applicazione intuitiva di gli altri

teoremi).

enunciati veri (i L’unica teoria matematica organizzata su basi aristoteliche era la

geometria di Euclide. Le ricerche logiche aristoteliche trassero spunto da vari problemi di

l’antinomia del mentitore,

natura logico-matematica, fra i quali ai quali comunque

Aristotele non era in grado di dare una risposta esauriente.

Il periodo di Roma è caratterizzato dalla decadenza degli studi matematici. Un primo

accenno di ripresa si avrà col disfacimento di Roma e l’affermarsi della cultura araba. Nel

641 d.C. gli arabi distrussero Alessandria ma salvarono le opere della famosa biblioteca

che, portate a Baghdad, furono tradotte e divulgate attraverso le scuole. Nei primi libri in

Baghdad)

arabo di (790-840, è esposto in modo completo il sistema di

al’Khwarizmi

numerazione posizionale su base qualunque. Agli arabi si fa risalire l’algebr