Nel seguente appunto approfondiremo il teorema della bisettrice, vedendo la relazione che c'è tra il rapporto tra i due segmenti staccati dalla bisettrice di un angolo di un triangolo e il rapporto dei lati che "formano" l'angolo.
Teorema della bisettrice
Sia[math] ABC [/math]
un triangolo. Detto [math] D [/math]
il piede della bisettrice uscente dal vertice [math] A [/math]
vale la relazione seguente:[math] AB:AC = BD:DC [/math]
Testo dell'esercizio
Si consiglia di guardare la foto sottostante per comprendere meglio il disegno del problema.Dato un triangolo
[math] ABC [/math]
in cui [math] AB = 10 cm, BC = 12 cm, AC = 8 cm [/math]
condurre la bisettrice dell'angolo [math] \widehat{ACB} [/math]
che incontri in [math] I [/math]
il lato [math] AB [/math]
e la parallela per [math] B [/math]
alla retta [math] CI [/math]
che incontri in [math] L [/math]
la retta [math] AC [/math]
.Determinare il rapporto
[math] \frac{AI}{IB} [/math]
in due modi.
Soluzione dell'esercizio: modo 1
Applichiamo il teorema della bisettrice visto sopra. Si ha immediatamente:[math] AI : IB = AC : BC \to \frac{AI}{IB} = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{12} = \frac23 [/math]
Soluzione dell'esercizio: modo 2
Consideriamo il disegno in figura. Osserviamo che le rette[math] BL, CI [/math]
sono parallele per costruzione e siccome [math] \widehat{ICB} = \widehat{CBL} [/math]
(gli angoli alterni interni sono congruenti) si ha che [math]BCL[/math]
è un triangolo isoscele e in particolare [math] BC = CL = 12 cm [/math]
.Usiamo infine il Teorema di Talete:
[math] \frac{AI}{IB} = \frac{AC}{CL} = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{12} = \frac23 [/math]
Osservazione: Un argomento analogo a quello discusso nel punto sopra porta a dimostrare il teorema della bisettrice.
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