La tassellatura del piano

I POLIMINI

Si ottengono i polimini accostando fra loro dei quadrati in tutti i modi possibili.

Il monomino (è un quadrato singolo), il domino (due quadrati affiancati), e costituiscono un caso

banale perché ricoprono il piano in modo ovvio.

Sono poi due possibili tipi di tromino (poligoni formati da tre quadrati affiancati, vedi sotto) ed

anch’essi saturano il piano in modo ovvio.

I tetramini sono invece cinque

E ciascuno di essi satura il piano senza bisogno di rotazioni o riflessioni.

Diverso è invece il discorso per i pentamini: sono dodici e solo alcuni di essi saturano il piano senza

riflessioni

I tre colorati in celeste (che data la forma, chiameremo F, T ed U) saturano il piano, ma con alcune

condizioni (vedi sotto).

Ciascuno di essi, preso in coppia con uno uguale e capovolto, può formare un polimino di ordine 10,

che satura il piano per traslazione.

Gli esamini invece sono 35 e ognuno satura il piano senza bisogno di riflessione. Alcuni richiedono

solo la traslazione, altri vengono riuniti a coppie contrapposte come i pentamini e quindi collegate in

modo da formare un polimino di ordine 12 che satura per traslazione.

Nella figura seguente sono elencati tutti e 35. Sono segnati in rosso quelli che possono ricoprire un

cubo (in altre parole che sono lo sviluppo di un cubo), ed in celeste gli altri.

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In realtà anche l’undicesimo potrebbe ricoprire il cubo, ma sarebbe necessario fare un taglio.

Gli eptamini possibili sono invece 108. Anche questi non li mostreremo, ma esiste un criterio (detto di

Conway), che permette di stabilire se un poligono (di n lati ) permette di saturare il piano senza

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riflessioni. Solo quattro eptamini non permettono la tassellazione.

Gli ottomini possibili sono 369. Di essi solo 26 non saturano il piano, e sono elencati qui sotto.

Sei di essi possono essere scartati senza difficoltà perché hanno un buco che è impossibile colmare.

Terminiamo la nostra analisi con gli ottomini perché il numero delle figure possibili aumenta

vertiginosamente senza offrire in cambio vantaggi positivi.

Vediamo ora in cosa consiste il criterio di Conway che permette di stabilire se il polimino può saturare

il piano (senza riflessioni) o no.

Quindi anche gli eptamini e gli ottomini.

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IL CRITERIO DI CONWAY

Dato un poligono arbitrario, ne esaminiamo il perimetro per vedere se sia possibile dividerlo in sei

parti, denominate a, b, c, d, e ed f (delimitate dai tondini), in modo che siano soddisfatte le condizioni

seguenti:

1) Due lati opposti a e d devono essere "paralleli" nel senso che sono congruenti e hanno lo stesso

orientamento.

2) Gli altri lati b, c, e ed f devono essere a simmetria centrale nel senso che una rotazione di 180°

gradi attorno al loro punto medio li trasforma in se stessi.

Se il poligono soddisfa a queste condizioni saturerà il piano in modo periodico, senza bisogno di

riflessioni.

E' una condizione sufficiente ma non necessaria. Cioè se è soddisfatto il criterio di Conway, la

saturazione è certamente possibile, mentre può accadere che sia possibile la saturazione anche se il

criterio non è soddisfatto.

Per esempio con i 108 eptamini possibili si può provare che 101 rispettano il principio di Conway,

mentre sette (elencati qui sotto) non lo soddisfano.

Però il secondo, il quarto e il quinto eptamino permettono la tassellazione del piano malgrado non

soddisfino il criterio di Conway. mentre il primo, il terzo, il sesto e il settimo non permettono

assolutamente la tassellazione (il primo poi è ovvio che non possa saturare il piano dato che contiene

un buco che è impossibile riempire).

Quindi gli eptamini che non saturano sono in totale quattro.

Il secondo eptamino satura applicando una riflessione, ed è l'unico dei 108 a richiedere

necessariamente una riflessione. 7

Il quarto eptamino satura il piano disponendosi a coppie di elementi ruotati di 90 gradi.

Il quinto eptamino, che secondo Conway è il più interessante, satura il piano in due modi:

disponendosi a coppie di cui un elemento è riflesso e ruotato di 90 gradi, e disponendosi a quadruple,

senza riflessione, dove lo stesso elemento viene disposto nei quattro orientamenti possibili.

I POLIMONDI

Tra le infinite tassellature del piano che si possono ottenere con poligoni congruenti (cioè

sovrapponibili) e non convessi, oltre ai polimini sono interessanti anche quelle ottenibili con i

polimondi.

Mentre i polimini si ottengono unendo in tutti i modi possibili dei quadrati, i poliexi unendo fra loro

degli esagoni regolari, i polimondi si ottengono combinando dei triangoli equilateri.

Usando il criterio di Conway non è difficile stabilire che tutti i polimondi fino a quelli formati con sei

triangoli equilateri (esamondi), soddisfano il criterio e quindi saturano il piano.

Esaminiamo allora i polimondi di ordine superiore al sesto.

Dei 24 eptamondi possibili, solo quello a forma di V non satura.

Tutti gli ottomondi saturano.

Gli ennamondi (enna = 9) sono in tutto 160. 8

Sono 21 quelli che non saturano (e sono indicati qui sopra).

I POLIEXI

Tra le infinite tassellature del piano che si possono ottenere con poligoni congruenti (cioè

sovrapponibili) non convessi, oltre ai polimini e ai polimondi sono interessanti anche quelle ottenibili

con i poliexi.

Mentre i polimini si ottengono unendo in tutti i modi possibili dei quadrati, i polimondi combinando

dei triangoli equilateri, i poliexi si ottengono combinando degli esagoni regolari.

Tutti i poliexi fino all'ordine 5 saturano il piano. Per i poliexi di ordine 6 ?

Degli 83 esaexi possibili, ve ne sono solo 5 che non saturano. E sono quelli indicati qui sotto

E fermiamoci qui perché il discorso si fa presto troppo complicato.

TASSELLATURE APERIODICHE

Diremo che una tassellatura e' non periodica (o aperiodica) quando e' impossibile combinare un certo

numero di poligoni uguali in modo che formino una struttura che poi possa ricoprire il piano

accostando fra loro molte di tali strutture.

Un primo caso interessante si verifica quando questa struttura ha una forma identica a quella del

poligono iniziale.

Un buon esempio di questo tipo di tassellatura e' costituito dalla "sfinge". Quattro poligoni formano

una struttura identica al poligono iniziale che si può replicare all'infinito fornendo una sfinge sempre

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più grande, ed è facile constatare che non esiste alcuna periodicità.

Golomb, un matematico, chiama rep-tile un pezzo (tile in inglese) con questa proprietà di

autoreplicazione: cioè un pezzo che ha la possibilità di autoreplicarsi.

Un altro studioso dell'argomento, R.M. Robinson, ha elaborato sei tessere, ciascuna delle quali

permette la realizzazione di una tassellatura non periodica (di tipo diverso dalla precedente, in cui

sono ammesse anche la rotazione e la riflessione).

Una scacchiera poi, si può facilmente trasformare in una tassellatura non periodica: basta bisecare ogni

casella, e cambiare l'orientamento delle bisezioni per evitare la periodicità.

I triangoli isosceli possono dar luogo anche a tassellature non periodiche radiali. Sebbene la

tassellatura sia altamente ordinata, è ovviamente non periodica.

Tale tassellatura, si può tagliare a metà e poi si possono spostare di un passo o più i due semipiani in

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modo da ottenere una forma a spirale di tassellatura non periodica.

Il triangolo isoscele si può distorcere in infiniti modi, sostituendo i suoi lati uguali con linee congruenti

(cioè identiche, sovrapponibili), non necessariamente rettilinee.

Se i nuovi lati sono rettilinei, il risultato è un poligono di 5, 7, 9, 11 ... lati che dà luogo a una

tassellatura a spirale.

Ecco una singolare struttura ottenuta in questo modo dal poligono precedente con nove lati.

In tutti i casi conosciuti di tassellatura non periodica con figure congruenti, la figura tassella anche

periodicamente.

Per esempio due ennagoni come quelli visti sopra possono essere combinati in modo da formare un

ottagono.

che permette una tassellatura periodica. 11

Ma ora poniamoci una domanda diversa: esistono insiemi di tessere di due o più forme differenti che

diano luogo solo a tassellature non periodiche ?

La risposta e' affermativa. Penrose, insegnante di matematica all'Istituto di matematica dell'Università

di Oxford, è noto tra i fisici per i suoi contributi alla teoria della relatività e alla cosmologia. Insieme a

suo padre, lo scomparso L.S. Penrose, fu il primo a scoprire "oggetti impossibili", come la famosa scala

di Penrose che Escher usò in modo così brillante nella sua litografia Ascending and Descending.

Egli ideò due interessanti tessere denominate "aquiloni" e "punte" che possono essere derivate da un

rombo con angoli di 72 e 108 gradi, e che ora andremo a trattare.

LE TESSERE DI PENROSE

Penrose ideò due interessanti tessere denominate "aquiloni" e "punte" che possono essere derivate da

un rombo con angoli di 72 e 108 gradi. 

Basta calcolare la sezione aurea AE= della diagonale maggiore AC. Ogni segmento rettilineo è 1 o

come indicato nella figura.

Il rombo può dar luogo ovviamente a una tassellatura periodica banale, che non ci interessa. Penrose

ebbe invece l'interessante idea di suddividere il rombo in due figure che chiamò aquilone e punta.

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I due angoli li indicheremo con T=72° e C=108° (testa e coda), e poi porre come regola che, nel far

combaciare i lati, possono essere adiacenti solo angoli contrassegnati dalla stessa lettera.

Basterà ora connettere le tessere rispettando questa regola. Per costruire tassellature infinite e non

periodiche può essere utile tenere presenti tre formazioni elementari denominate asso, farfalla piccola

e farfalla grande.

Ecco alcuni eleganti tassellature ottenute componendo le tessere di Penrose, denominate

rispettivamente sole bianco e stella bianca.

Altre tre formazioni elementari sono il due, il fante e la regina

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Con esse si può costruire la tassellatura detta impero del re (dove il re è la parte più scura al centro)

E la struttura della ruota

Sezionando punte e aquiloni in pezzi più piccoli e componendo questi ultimi in altri modi, si possono

ottenere altre coppie di tessere con proprietà analoghe a quelle delle punte e degli aquiloni.

Penrose trovò anche una coppia straordinariamente semplice di tessere formata da due soli rombi, che

permettono una tassellatura non periodica. Tutti i lati hanno la stessa lunghezza. Il pezzo più grande

ha angoli di 72 e 108 gradi e quello più piccolo di 36 e 144 gradi. La non periodicità può essere indotta

tramite una coloratura come quella suggerita da Penrose e che si vede nella fi