La divina proportione

Erman Di Rienzo La divina proportione

M-5

LA

DIVINA PROPORTIONE

[edr - Gennaio 2001]

www.matematicamente.it La Geometria ha due grandi tesori:

uno è il teorema di Pitagora; l’ altro è

la Sezione Aurea di un segmento.

Il primo lo possiamo paragonare ad un

oggetto d’ oro; il secondo lo possiamo

definire un prezioso gioiello.

- Johannes Kepler [1571-1630] -

In copertina: Ritratto di Fra Luca Pacioli [Napoli – Museo di Capodimonte]

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La Divina Proportione

Premessa

Il primo incontro con la Divina Proporzione in genere avviene in Geometria. La

del libro degli Elementi di Euclide recita così:

proposizione 11 II “ Come dividere

un segmento in modo che il rettangolo che ha per lati l’ intero segmento e la parte

, ovvero

minore sia equivalente al quadrato che ha per lato la parte maggiore”

di un segmento, cioè la parte media proporzionale

come trovare la Sezione Aurea

tra l’ intero segmento e la parte rimanente. La costruzione è tra le più classiche

tracciare il cerchio di pari diametro e

della Geometria: dato il segmento AB , quindi la

tangente ad esso in B

passante per il

secante per A

del cerchio. La parte

centro C

D ) è la

esterna della secante (

AE

sezione aurea del segmento,

C ) media

essendo la tangente ( AB

proporzionale tra l’ intera

) e la sua parte

secante ( AD

E ) [

esterna ( AE Euclide L. III –

], essendo e per

P. 36 ED = AB

alcune proprietà delle propor-

B

A S zioni:

AD : AB = AB : AE (AD-AB) : AB = (AB – AE) : AE

AS : AB = SB : AS AB : AS = AS : SB sia la Sezione

Volendo invece trovare quel segmento di cui un dato segmento AB

Aurea, si procede nel modo seguente:

del

- trovare il punto medio M D E

C

segmento dato; β

α

- costruire il quadrato sul seg-

e gli

mento dato; siano C D

altri due vetrici;

tracciare il cer-

- centrato in M ( ),

chio con raggio MC = MD

il prolun-

che interseca in S

.

gamento di AB

è il segmento cercato, di

AS β’

è la Sezione Aurea.

cui AB α’

e

Infatti i triangoli CAS SBD S

M B

A

sono simili perché rettangoli e

α α’

ed uguali

con gli angoli β β’

e , angoli alla circonferenza che

(essendo uguali i loro complementari

); quindi i cateti sono in proporzione:

sottendono lo stesso arco DS ( C.v.d.

AS : DB = CA : BS AS : AB = AB : AS – AB)

3

Ma cos’ ha di così importante questa sezione per meritarsi l’ aggettivo “ ?

Aureo”

Lo scopriremo attraverso le sue proprietà. Restando nella Geometria ne ricaviamo

immediatamente una: “Ogni segmento è sezione aurea della sua somma con la sua

; ed in effetti questo è quanto sopra si è dimostrato. Ne segue che:

sezione aurea”

“Tolta la sezione aurea la parte rimanente di un segmento è la sezione aurea

. E’ come se la sezione aurea si autorigenerasse

della sezione aurea del segmento”

per sottrazione o addizione.

Ma scopriamone altre caratteristiche. Sempre in Geometria una delle più

importanti caratteristiche della Sezione Aurea è la seguente: “Se in un triangolo

isoscele la base è la sezione aurea del lato allora l’ angolo al vertice è un quinto

dell’ angolo piatto, ovvero la base è il lato del decagono regolare inscritto nel

.

cerchio che ha per raggio il lato”

La dimostrazione è relativamente semplice: nel

isoscele sulla base , sezione

triangolo CAB a

, si individui per costruzione il

aurea del lato b

sul lato tale che ; il

punto M AC MB = CB

è isoscele e simile al triangolo

triangolo MBC

originario, quindi con i lati in proporzione:

. Ma essendo la sezione aurea

b : a = a : CM a

sarà: , da cui per l’ unicità

di b b : a = a : (b-a) , da

del quarto proporzionale sarà: CM = (b-a)

; quindi anche il triangolo è

cui AM = a AMB

; gli angoli alla

isoscele avendo AM = BM = a π ⋅ θ

è uguale a . Ne segue che

sua base sono pertanto uguali e l’ angolo in M - 2

γ = 2 ⋅ θ θ + 2 ⋅ γ = π θ + 4 ⋅ θ = π,

; quindi, essendo , sarà

A 5 ⋅ θ = π θ = π / 5; π / 5

cioè quindi ma essendo un

decimo dell’ angolo giro, ne discende che la base del

θ triangolo è il lato del decagono regolare inscritto nel

cerchio che ha per raggio il lato.

b

b E’ vero anche l’ inverso, cioè “se in un triangolo isoscele

π/5

M l’ angolo al vertice è di allora la base è la sezione

a . Se infatti nel triangolo isoscele sulla

aurea del lato” CAB

θ π/5,

γ l’ angolo al vertice è di essendo la somma

base a

θ π ed essendo gli angoli alla base

degli angoli interni pari a

C a B ⋅ π / 5 . Individuando per costru-

uguali, questi saranno di 2

sul lato tale che , ne segue che il triangolo è

zione il punto M AC MB = CB MBC

e simile al triangolo originario quindi con i lati in proporzione:

isoscele .

AC : CB = CB : MC

sarà isoscele avendo gli angoli alla base uguali;

Anche il triangolo BMA AB

, e quindi: – – , che

sarà quindi: MA = MB = CB MC = (AC MA) = (AC CB)

è la sezione aurea

sostituita nella proporzione precedente verifica che la base CB

del lato AC. 4

Collegando alternativamente i vertici del

decagono si ottiene il pentagono regolare

inscritto nel cerchio; tracciatone due diagonali

dallo stesso vertice, essendo l’ angolo alla

circonferenza metà di quello al centro di 2π/5,

si ripropone con il lato opposto al vertice il π / 5 2π / 5

π/5

;

triangolo isoscele con angolo al vertice di

ne segue che in un pentagono regolare il lato è

la sezione aurea della diagonale.

Si può altresì dimostrare che le diagonali si

intersecano secondo le loro sezioni auree. Per

questi motivi alla stella a cinque punte

disegnata dalle diagonali di un pentagono venivano riconosciuti poteri magici.

Ricordiamo il Faust di Goethe: quando il dottor Faust volendosi liberare del

diavolo Mefistofele lo invita ad uscire, questi si rifiuta, poiché sulla porta è appesa

una stella a cinque punte, dicendo: “Non posso uscire; me lo impedisce un piccolo

ostacolo: il piede della strega sulla soglia”. di lunghezza

Un’ altra caratteristica: un rettangolo abbia il lato maggiore a o ⋅

ed il doppio di questa: . E’

compresa tra quella del lato minore a a < a < 2 a

1 1 o 1 ;

allora possibile ritagliare dal rettangolo un quadrato di lato pari al lato minore a 1

e di lato minore .

resta un rettangolo con il lato maggiore di lunghezza a a = a - a

1 2 0 1

⋅ si può ritagliare un quadrato di lato in modo da ottenere un

Se a < a < 2 a a

2 1 2 2

rettangolo con il lato maggiore di a 2

e di lato minore .

lunghezza a a = a – a

2 3 1 2

si può ritagliare un

Se a < a < 2.a

3 2 3

in modo da ottenere un

quadrato di lato a 3

rettangolo con il lato maggiore di lun- a

e di lato minore .

ghezza a a = a – a 1

3 4 2 3

E così via finché si ottengono rettangoli a 5

con il lato maggiore compreso tra una e a 3

due volte il lato minore; prima o poi però a 4

a

si verifica che questa condizione non è 0

più soddisfatta ed il processo si arresta. Ci si chiede se esiste un valore del rapporto

tra base ed altezza del rettangolo originario per il quale il processo non si arresta

definiamo due grandezze e ,

mai. Per ottenere un’ espressione ricorsiva per a A B

n

ϕ ϕ

ed attraverso due costanti e soluzioni dell’ equazione:

legate ad a a

0 1 1 2

ϕ ϕ ϕ ϕ

2 , cioè: = e =

= 1 - 0 < ( 5 – 1)/2 < 1 – ( 5 + 1)/2 < -1

1 2

e , soluzioni del sistema:

Quindi siano A B A + B = a

0

ϕ ϕ

A + B = a

1 2 1

Siano cioè: ϕ ϕ

(a - a ) (a - a )

0 2 1 1 0 1

A = B =

ϕ ϕ

(ϕ - ) (ϕ - )

2 1 2 1

5

In questo modo saranno:

ϕ ϕ

10 20

=

a A + B = A + B

0 ϕ ϕ ϕ ϕ

11 21

a = A + B = A + B

1 1 2 ϕ ϕ ϕ ϕ

12 22

a = a – a = A (1 - ) + B (1 - ) = A + B

2 0 1 1 1

ϕ ϕ ϕ ϕ

12 12 13 23

a = a – a = A (1 - ) + B (1 - ) = A + B

3 1 2

. . . . . ϕ ϕ ϕ ϕ

1n-1 1n-1 1n 2n

= a – a = A (1 - ) + B (1 - ) = A + B

a n n-2 n-1

Perché si possa procedere con i tagli all’ infinito occorre che gli siano tutti

a n

positivi; ma essi sono somma di due addendi dei quali uno è sempre positivo

1n 2n

) e minore di , l’ altro ( ) è alternativamente positivo e negativo,

( A⋅ϕ A B⋅ϕ

secondo il valore di , maggiore di e crescente con in valore assoluto (essendo

n B n

) per cui per ottenere valori di tutti positivi occorre che sia , cioè

|ϕ | > 1 a B = 0

2 n

ϕ Quindi perché si possa procedere all’ infinito con i tagli

occorre che sia a = a .

1 1 0

occorre che l’ altezza del rettangolo sia la Sezione Aurea della base, come vedremo

nel prossimo paragrafo. rappresenta

Ancora: in un diagramma cartesiano un retta di equazione: y = x + 1

una crescita lineare, cioè una crescita nella quale l’ incremento si ottiene

“sommando” a quanto raggiunto sempre la stessa quantità.

Una crescita invece in cui l’

incremento si ottiene moltipli- 4

cando quanto raggiunto per una

quantità a questo proporzionale

si dice quadratica ed è rappre- 3

sentato da una parabola di Φ 2

2 .

equazione: y = x

I due diagrammi si incontrano in 2

che determina con gli

un punto P

assi cartesiani un rettangolo

aureo, quasi a significare l’ 1

equilibri tra una crescita lineare

ed una crescita quadratica. Φ

0 1 2 3

-3 -2 -1

In Matematica

Per analogia con la Geometria, dato un numero trattasi di trovare il medio pro-

u

tra il numero dato e la sua differenza con questo medio propor-

porzionale x u-x

zionale; in pratica trattasi di risolvere l’ equazione:

6 2 2 2 2

ovvero quindi

u : x = x : (u-x) x = u – ux x + ux - u = 0

che ha due soluzioni: 5 - 1

x = u

1 2

5 + 1

= - u

x 2 2

scartando la soluzione negativa si ricava che il rapporto tra il medio proporzionale

ed il numero vale:

x u 5 - 1 ϕ

= = 0,618033988749894848204586…

2

che ovviamente è un numero irrazionale (ma non trascendente). Viceversa il rap-

ed il numero vale:

porto tra il medio proporzionale x u

1 5 + 1 = Φ = 1,618033988749894848204586…

=

ϕ 2 ϕ

viene talora data alla prima ( ), talora alla

La denominazione di Rapporto Aureo

Φ) Φ ϕ

. E’ facile mostrare che tra le due vale la relazione: .

seconda ( 1 +

=

Vale altresì la relazione: 2

5 + 1 3 + 5

Φ = = Φ

2 = 1 +

2 2

ovvero: Φ Φ 2

= – 1<