Equazione in forma implicita: dati
[math]a, b, c \in \mathbb{R}[/math]
, con
[math]a[/math]
e
[math]b[/math]
non contemporaneamente nulli, l'equazione cartesiana di una retta in forma implicita è
[math]ax + by + c = 0[/math]
Equazione di una retta in forma esplicita: se
[math]b \ne 0[/math]
, posto
[math]m = -\frac{a}{b}[/math]
e
[math]q = -\frac{c}{b}[/math]
si ottiene l'equazione cartesiana in forma esplicita di una retta, ovvero
[math]y = mx + q[/math]
.
Il termine
[math]m[/math]
si dice
coefficiente angolare, il termine
[math]q[/math]
si dice
quota.
Retta parallela all'asse [math]x[/math]
: l'equazione di una generica retta parallela all'asse
[math]x[/math]
è
[math]y = k[/math]
, ottenuta dall'equazione in forma implicita per
[math]a=0[/math]
e
[math]k = -\frac{c}{b}[/math]
. Il coefficiente angolare di una retta di questo tipo è
[math]0[/math]
, mentre la quota è
[math]k[/math]
.
Retta parallela all'asse [math]y[/math]
: l'equazione di una generica retta parallela all'asse
[math]y[/math]
è
[math]x = h[/math]
, ottenuta dall'equazione in forma implicita per
[math]b=0[/math]
e
[math]h = -\frac{c}{a}[/math]
. Per rette parallele all'asse
[math]y[/math]
non sono definiti né il coefficiente angolare né la quota.
Equazione parametrica: l'equazione parametrica di una retta parallela all'asse
[math]y[/math]
, avente equazione cartesiana
[math]x = x_0[/math]
, è
[math]\egin{cases} x = x_0 \\ y = t \ \end{cases} qquad t \in \mathbb{R}[/math]
Invece l'equazione parametrica di una retta avente equazione cartesiana
[math]y = mx + q[/math]
è
[math]\egin{cases} x = t \\ y = mt + q \ \end{cases} qquad t \in \mathbb{R}[/math]
Equazione di una retta passante per due punti: l'equazione della retta passante per due punti distinti
[math]A = (x_1, y_1)[/math]
e
[math]B = (x_2, y_2)[/math]
è
[math](x - x_1) (y_2 - y_1) = (y - y_1) (x_2 - x_1)[/math]
Coeff. angolare di una retta passante per due punti: il coefficiente angolare della retta passante per due punti distinti
[math]A = (x_1, y_1)[/math]
e
[math]B = (x_2, y_2)[/math]
vale
-
[math]m = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}[/math]
se
[math]x_1 \ne x_2[/math]
- non è definito se
[math]x_1 = x_2[/math]
, dato che in tal caso la retta è parallela all'asse
[math]y[/math]
ed ha equazione
[math]x = x_1[/math]
Condizione di parallelismo: due rette di equazione
[math]ax + by + c = 0[/math]
e
[math]a'x + b'y + c' = 0[/math]
sono parallele se e solo se
[math]a \cdot b' - b \cdot a' = 0[/math]
.
Se le due rette possono essere scritte in forma esplicita,
[math]y = mx +q[/math]
e
[math]y = m'x + q'[/math]
, la condizione di parallelismo diventa
[math]m = m'[/math]
, ossia i coefficienti angolari devono essere uguali.
Intersezione fra due rette: se due rette di equazione
[math]a x + by + c = 0[/math]
e
[math]a' x + b'y + c' = 0[/math]
non sono parallele, allora hanno uno e un solo punto di intersezione, le cui coordinate
[math](x,y)[/math]
sono date dalla risoluzione del sistema
[math]\egin{cases} ax + by + c = 0 \\ a'x + b'y + c' = 0 \ \end{cases}[/math]
Condizione di perpendicolarità : due rette di equazione
[math]ax + by + c = 0[/math]
e
[math]a'x + b'y + c' = 0[/math]
sono ortogonali se e solo se
[math]a \cdot a' + b \cdot b' = 0[/math]
.
Se le due rette possono essere scritte nella forma esplicita
[math]y = mx + q[/math]
e
[math]y = m'x + q'[/math]
, la condizione di perpendicolarità diventa
[math]m = - \frac{1}{m'}[/math]
, ossia
[math]m \cdot m' = -1[/math]
.
Fascio improprio di rette: si dice fascio improprio di rette l'insieme di tutte le rette parallele ad una retta data, della base del fascio.
Se
[math]ax + by + c = 0[/math]
è l'equazione della retta data, base del fascio, al variare di
[math]k \in \mathbb{R}[/math]
l'equazione
[math]ax + by + k = 0[/math]
rappresenta l'equazione del fascio improprio.
Se
[math]y = mx + q[/math]
è l'equazione in forma esplicita della base del fascio, l'equazione del fascio improprio, al variare di
[math]k \in \mathbb{R}[/math]
, è
[math]y = mx + k[/math]
.
Casi particolari:
[math]x = k[/math]
rappresenta l'equazione del fascio di rette parallele all'asse
[math]y[/math]
,
[math]y = k[/math]
rappresenta invece l'equazione del fascio di rette parallele all'asse
[math]x[/math]
.
Equazione della retta passante per un punto e parallela ad una retta data: l'equazione della retta passante per un punto
[math](x_0, y_0)[/math]
e parallela alla retta di equazione
[math]ax + by + c = 0[/math]
è
[math]ax + by - a x_0 - b y_0 = 0[/math]
Equazione della retta passante per un punto e perpendicolare ad una retta data: l'equazione della retta passante per un punto
[math](x_0, y_0)[/math]
e perpendicolare alla retta di equazione
[math]a x + by + c = 0[/math]
è
[math]bx - ay - b x_0 + a y_0 = 0[/math]
Fascio proprio di rette: si dice fascio proprio di rette con centro
[math]P[/math]
l'insieme di tutte le rette del piano passanti per
[math]P[/math]
. Se
[math]ax + by + c = 0[/math]
e
[math]a'x + b'y + c' = 0[/math]
sono due rette (non parallele) incidenti nel punto
[math]P = (x_0, y_0)[/math]
, allora, al variare di
[math]h, k \in \mathbb{R}[/math]
non contemporaneamente nulli, l'equazione del fascio di rette proprio con centro
[math]P[/math]
è
[math]h (ax + by + c) + k(a'x + b'y + c') = 0[/math]
Posto
[math]\gamma = \frac{h}{k}[/math]
, l'equazione
[math]\gamma (ax + by + c) + a'x + b'y + c'=0[/math]
rappresenta al variare di
[math]\gamma \in \mathbb{R}[/math]
l'insieme di tutte le rette del piano passanti per
[math]P[/math]
, ad eccezione della retta di equazione
[math]ax + by + c = 0[/math]
.
Caso particolare: dato un punto
[math]P = (x_0, y_0)[/math]
, l'equazione del fascio proprio con centro
[math]P[/math]
è descritto, al variare di
[math]h, k \in \mathbb{R}[/math]
non contemporaneamente nulli, dall'equazione
[math]h (x - x_0) + k (y - y_0)[/math]
Pertanto al variare di
[math]m \in \mathbb{R}[/math]
l'equazione
[math]y - y_0 = m (x - x_0)[/math]
individua l'insieme di tutte le rette del piano passanti per
[math]P[/math]
, ad eccezione della retta di equazione
[math]x = x_0[/math]
.
Distanza punto-retta: la distanza fra un punto
[math]P = (x_0, y_0)[/math]
e una retta di equazione
[math]a x + by + c = 0[/math]
vale
[math]d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}[/math]
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