Successioni reali e limite di successione

Luca Lussardi Appunti di Analisi I

Successioni reali e limite di

successioni

La prima classe di funzioni di notevole interesse è costituita dalle successioni reali, ovvero dalle

→

funzioni x : che ad ogni numero naturale n assegnano un ben preciso numero reale x(n),

N R

che viene anche denotato con x , ed è detto termine generale della successione.

n

Una successione di termine generale x può quindi essere concepita, in base alla definizione, come

n

una ”sequenza” infinita di numeri reali: da ciò deriva il termine successione.

Limite di successioni

Il concetto di limite è il concetto chiave dell’intera Analisi Matematica. Storicamente l’idea di

limite è molto antica ma la sua formalizzazione attuale risale a meno di 200 anni fa. Inoltre, il

primo concetto di limite a farsi strada fu quello di funzioni definite sui numeri reali, e non solo sui

numeri naturali. Tuttavia è molto più semplice dare la definizione di limite di successioni, e poi, in

un secondo momento, ricavare la definizione di limite di funzioni. L’idea del limite di successioni

è quella di studiare il comportamento della successione quando n diventa arbitrariamente grande.

È di notevole interesse cercare di capire se x tende a stabilizzarsi vicino ad un certo numero

n

reale, oppure tende ad essere grandissimo, o ancora ha un comportamento oscillatorio.

Sia x il termine generale di una successione reale (più brevemente: sia x una successione reale),

n n

∈

e sia ` si dice che

R; lim x = `

n

n→+∞

∈ ≥ |x −

se per ogni ε > 0 esiste ν tale per cui per ogni n ν si ha `| < ε.

N n

In questa definizione si sta dicendo che il termine generale x è vicino al numero ` a meno di un

n

errore ε > 0 piccolo quanto si vuole, a patto che n sia abbastanza grande. Si dice anche che x n

→ →

tende ad ` per n che tende a +∞ , e si scrive anche x ` per n +∞. In questo caso la

n

successione x si dice anche convergente.

n ≥

Sia x = 1 e x = 1/n per n 1; allora si ha lim x = 0. Quello che

Esempio: 0 n n→+∞ n

|x −

basta verificare è l’esistenza di ν come da definizione. Se dovrà essere 0| < ε, allora dovrà

n

essere 1/n < ε ovvero n > 1/ε. Basta quindi scegliere, per esempio, ν come il primo numero

∈ ≥

naturale tale per cui ν > 1/ε; allora si ha che per ogni ε > 0 esiste ν tale che se n ν si ha

N

|x −

proprio 1/n < ε che equivale a 0| < ε.

n

Si dice invece che lim x = +∞

n

n→+∞

∈