Problemi di massimo sulla piramide

Problema di massimo su piramide

Una piramide VABC ha per base un triangolo rettangolo ABC i cui cateti AB ed AC misurano

rispettivamente 15cm e 20 cm; l’altezza della piramide coincide con lo spigolo laterale VA e la

faccia VBC forma con il piano di base un angolo il cui coseno è . Calcolare l’area laterale della

√

piramide.

Determinare a che distanza dal vertice occorre condurre un piano parallelo alla base in modo che

risulti massimo il volume della piramide di vertice A e con base il poligono secondo cui il piano ta-

glia la piramide VABC.

Risoluzione: V A

C B

H

Sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa nel triangolo rettangolo ABC. Lo spigolo VA, essendo

altezza della piramide, è perpendicolare in A al piano della base, quindi è perpendicolare a tutte le

rette di tale piano passanti per A ( in particolare le rette AB, AC, AH ). Essendo VA perpendicolare

in A al piano ABC ed AH perpendicolare in H alla retta BC, per il teorema delle tre perpendicolari

risulta VH perpendicolare in H a BC e la retta BC perpendicolare in H al piano AVH; ne segue che

l’angolo AĤV è quello che la faccia laterale VBC forma con il piano di base e di cui è dato il cose-

no. Occorre procedere nei triangoli rettangoli ABC e VAH.

Applicando il teorema di Pitagora nel triangolo ABC si ha: = cm = 25cm; ora si

√15 + 20

può calcolare = : = 12cm.

Nel triangolo rettangolo VAH, mediante teorema trigonometrico per i triangoli rettangoli, si ha

12 ∶

:

= cos AĤV cm ; dal teorema di Pitagora applicato allo stesso

= cm = 6√29

√

triangolo si ha = cm = 30cm.

6√29 − 12