Analisi I e II università : Massimi e minimi relativi in R^n

Gianni Sammito Appunti di Analisi II n

Massimi e minimi relativi in R

n

Si consideri una funzione f : A → R, con A ⊆ R , e sia x ∈ A un punto interno ad A.

Definizione: si dice che x è un punto di massimo relativo per f se ∃B(x, r) ⊂ A tale che

f (y) ≤ f (x) ∀y ∈ B(x, r). Si dice invece che x è un punto di minimo relativo per f se

∃B(x, r) ⊂ A tale che f (y) ≥ f (x) ∀y ∈ B(x, r).

Data una funzione, per trovare i punti di massimo e/o minimo relativo si può sfruttare il seguente

Teorema. n

Teorema: se f : A → R, con A ⊂ R aperto, è derivabile in un punto x ∈ A interno ad

A e x è un punto di massimo o minimo relativo, allora

∇f (x) = (0, 0, . . . , 0)

Dunque in prima battuta, per cercare gli eventuali punti di massimo e minimo relativo di f , si

calcolano le derivate parziali e risolve il sistema in cui tutte tali derivate si azzerano

 ∂f

 (x , x , . . . , x ) = 0

 1 2 n

 ∂x

 1

 ∂f (x , x , . . . , x ) = 0

1 2 n

∂x 2 ..



 .





 ∂f (x , x , . . . , x ) = 0

1 2 n

∂x n 2

Esempio: calcolare massimi e minimi relativi delle seguenti funzioni R → R cosı̀ definite

2 2 2 2 2 2

f (x, y) = x + y g(x, y) = 1 − x − y h(x, y) = y − x

∇f (x, y) = (2x, 2y) ∇f (x, y) = (0, 0) =⇒ x = y = 0

∇g(x, y) = −2x, −2y) ∇g(x, y) = (0, 0) =⇒ x = y = 0

∇h(x, y) = (−2x, 2y) ∇h(x, y) = (0, 0) =⇒ x = y = 0

Quindi (0, 0) è un punto critico per le tre funzioni.

2 2 2

f (x, y) = x + y ≥ 0 ∀(x, y) ∈ R

Perciò (0, 0) è un punto di minimo assoluto (quindi anche relativo) per f .

2 2 2

g(x, y) = 1 − (x + y ) ≤ 1 ∀(x, y) ∈ R

Dato che g(0, 0) = 1, allora (0, 0) è un punto di massimo assoluto (quindi anche relativo) per g.

2

Per quanto riguarda h, la restrizione h(x, 0) = −x equivale ad una parabola concava con vertice

nell’origine, per questo il punto (0, 0), relativamente a questa restrizione, rappresenterebbe un

1

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2

massimo. Invece la restrizione h(0, y) = y rappresenta una parabola convessa con vertice nell’o-

rigine, pertanto, relativamente a questa restrizione, il punto (0, 0) rappresenterebbe un minimo.

Pertanto (0, 0) per h non è né un punto di massimo né un punto di minimo, ma è un punto di sella.

n 1

Teorema di Fermat: sia f : A → R, con A ⊂ R aperto e f ∈ C (A), sia x ∈ A un

punto interno ad A, e supponiamo inoltre che x sia un punto di massimo o minimo relativo.

n

Allora ∇f (x) = O, dove con O si intende il vettore nullo di R .

Definizione: i punti in cui il gradiente si annulla sono detti punti critici. Sia f definita come

sopra, allora l’insieme dei punti critici è dato da

{x ∈ A : ∇f (x) = O}

Definizione: un punto critico che non è né un massimo né un minimo è un punto di sella. Più

precisamente, se x è un punto critico, e in ogni intorno di x esistono due punti y e z tali che

f (y) > f (x) e f (z) < f (x) allora x è un punto di sella.

Quindi per capire se un punto critico x di f è un punto di massimo, di minimo o di sella si

deve studiare la disequazione f (y) − f (x) ≥ 0 per y appartenente ad un intorno di x.

2 2 3

Esempio: trovare massimi e minimi relativi di f : R → R : (x, y) → x + y − xy

¡ ¢

1 2

Dato che f ∈ C R per il Teorema di Fermat i suoi eventuali punti di massimo e minimo

relativo sono punti critici. ∂f

∂f 2 2

(x, y) = 3y − x ∇f (x, y) = (2x − y, 3y − x)

(x, y) = 2x − y ∂y

∂x ½ ½ ½

2 2

2x − y = 0 x = 3y x = 3y

= =

2 2

3y − x = 0 6y − y = 0 y(6y − 1) = 0

¢

¡ 1

1 .

,

Le soluzioni del sistema sono (x, y) = (0, 0) e (x, y) = 6

12

Se (0, 0) fosse un punto di minimo, allora, per ogni (x, y) in un intorno di (0, 0), risulterebbe

(osservando che f (0, 0) = 0) 2 3

f (x, y) − f (0, 0) ≥ 0 =⇒ x + y − xy ≥ 0 3

Osserviamo come si comporta la f lungo la retta x = 0, studiamo cioè la restrizione f (0, y) = y ,

rappresentata in Figura 1.

Tale restrizione è positiva per y > 0, negativa per f (0, y) < 0, cosı̀ come evidenziato in Figura 2.

Comunque si comporti ogni altra restrizione di f , esisteranno punti appartenenti all’intorno di

(0, 0) per cui f (x, y) > f (0, 0), altri appartenenti allo stesso intorno per cui f (x, y) < f (0, 0). Di

conseguenza (0,