Massimi e minimi 5

Sia

\( f(x) = 4xe^{-(x+4)}, \quad x \in \mathbb{R}. \)

Sia \( x_M \) l'unico punto di massimo locale della funzione \( f \). Quanto vale \( \log \left(\frac{f(x_M)}{4}\right) - x_M \) ?

Soluzione. La funzione data è derivabile dove è definita, ovvero su tutto \(\mathbb{R}\). Si ha

\( f'(x) = 4e^{-(x+4)} - 4xe^{-(x+4)} = 4e^{-(x+4)}(1 - x). \)

Dunque \( f'(x) = 0 \) se e solo se \( x = 1 \). Tale punto critico risulta essere di massimo locale per \( f \) dal momento che si ha \( f'(x) > 0 \) per \( x < 1 \), e \( f'(x) \leq 0 \) per \( x \geq 1 \). Dunque \( x_M = 1 \) da cui

\( \log \left(\frac{f(x_M)}{4}\right) - x_M = \log(e^{-5}) - 1 = -6. \)