Equazioni differenziali ordinarie 21

Sia u : → la soluzione del problema di Cauchy

R R  ′′ ′

u (x) − 5u (x) + 4u(x) = 0

 u(0) = 2

′

u (0) = 5.



(iv)

Calcolare u (0). Considerata poi l’equazione

′′ ′ 4x

u (x) − 5u (x) + 4u(x) = e ,

provare che tutte le soluzioni verificano la condizione

lim u(x) = 0.

x→−∞

′′ ′

Anzitutto si ha u (0) = 5u (0) − 4u(0) = 25 − 8 = 17. Poi

soluzione. ′′′ ′′ ′

u (x) = 5u (x) − 4u (x)

′′′

da cui u (0) = 85 − 20 = 65. Infine

(iv) ′′′ ′′

u (x) = 5u (x) − 4u (x)

iv

che dà u (0) = 325 − 68 = 257. Quanto alla seconda parte si ha che l’equazione caratteristica è

data da 2

λ − 5λ + 4 = 0

cha ha come soluzioni λ = 1 e λ = 4. Pertanto le soluzioni dell’omogenea associata sono date

1 2

da x 4x

ū(x) = c e + c e .

1 2

In questo caso l’esponente del termine noto contiene una radice caratteristica semplice; cerchiamo

quindi soluzioni particolari della forma 4x

u (x) = axe .

p

Si ha ′ 4x 4x ′′ 4x 4x

u (x) = ae + 4axe , u (x) = 8ae + 16axe .

p p

Inserendo il tutto nell’equazione si trova

4x 4x

e (16ax + 8a − 5a − 20ax + 4ax) = e

13 . La soluzione generale è quindi data da

per ogni x ∈ ovvero a =

R, 1

x 4x 4x

u(x) = c e + c e + xe

1 2 3

da cui lim u(x) = 0, ∀c , c ∈ R.

1 2

x→−∞