Verifica scritta, classe I, gennaio 2009,

Verifica scritta 1A Scientifico 20/01/2009

Gli esercizi hanno tutti lo stesso punteggio = 0,5/10. Voto massimo: 10,5/10 (10 e lode)

Gli asterischi tra parentesi indicano il grado di difficoltà degli esercizi:

(*) facile ; (**) medio ; (***) impegnativo ; (****) difficile.

Esercizio 1. (*) Calcola il M.C.D. dei numeri 68 e 22 utilizzando l’algoritmo di Euclide. Come si

calcola il m.c.m.? 32

− .

Esercizio 2. (*) Scrivi una frazione molto “vicina” a 7

4

3

1 −

− x facendo riferimento al triangolo di Tartaglia. Cal-

Esercizio 3. (*) Svolgi l’espressione 2 4

−1.

cola il valore dell’espressione per x = 2

− −

Esercizio 4. (*) Svolgere l’espressione (3 x 1)(x + 2) + (x + 2) . 2

−

Esercizio 5. (*) Determina quoziente e resto della divisione polinomiale [2 (x + 3) (x + 3) ] : (x+3).

3 2

−

Esercizio 6. (*) Fattorizza il polinomio x 2x .

2

−2

Esercizio 7. (*) Fattorizza il polinomio x + x + 1.

1 1 1

2

− −

Esercizio 8. (*) Fattorizza il polinomio x x + .

3 6 6

5 4 3

−

Esercizio 9. (*) Determina le radici del polinomio x + 5 x 36 x .

3 4 2 2

− −

Esercizio 10. (**) Calcola quoziente e resto della divisione (a + ab a b + b) : (a b) considerando

i polinomi scritti nella variabile a.

Esercizio 11. (**) Scrivi, se possibile, un polinomio di quinto grado tale che, se lo dividiamo per

3

2 − − x + 1 come resto.

(x 2), otteniamo 2

Esercizio 12. (**) Scrivi, se possibile, un polinomio di sesto grado in modo tale che non abbia radici

e abbia termine noto nullo. 5

−

Esercizio 13. (**) Scrivi, se possibile, un polinomio di quarto grado con termine noto uguale a 3

−1

ed avente come uniche radici x = e x = 4.

1 2

Esercizio 14. (**) Scrivi, se possibile, un polinomio di ottavo grado in modo tale che risulti divisibile

2 −

per il polinomio (x + x 1). 3 2

Esercizio 15. (**) Determina k in modo tale che il polinomio x + k x + x + 6 abbia per radice x = 2.

Fattorizza infine il polinomio ottenuto. 1

Esercizio 16. (***) Scrivi, se possibile, un polinomio di secondo grado con coefficiente direttivo ,

2

−2

con termine noto 5 ed avente come radici x = e x = 6.

1 2

Esercizio 17. (***) Scrivi, se possibile, un numero intero negativo con tutte le seguenti proprietà: è

un multiplo di 47; il suo valore assoluto è maggiore di 10000; può essere scritto come differenza di due

quadrati non nulli. 3 2

− −

Esercizio 18. (***) Si trovi una fattorizzazione per il polinomio x + (−k 2) x + (2 k 8) x + 8 k

al variare del parametro k (suggerimento: si trovi prima di tutto una radice del polinomio).

Esercizio 19. (***) Dimostra che il cubo di un numero che finisce per 2 finisce per 8. Dimostra inoltre

che la penultima cifra (cioè quella che viene scritta prima dell’8 finale) è sempre pari.

347 234

Esercizio 20. (****) Il numero 5 + 7 è pari o dispari? Motiva adeguatamente la risposta.

Esercizio 21. (****) Dimostra che è impossibile trovare un quadrato perfetto della forma 4 n + 3, dove

n è un numero intero positivo.

Soluzioni verifica scritta 1A Scientifico 20/01/2009

Esercizio 1. · ·

68 = 3 22 + 2 ; 22 = 2 11 + 0. M.C.D.(68 ; 22) = 2 (ultimo resto = 0).

· ·

68 22 68 22 · ·

m.c.m.(68 ; 22) = = = 68 11 = 68 (10 + 1) = 680 + 68 = 74