Serie: sum_{n=1}^(+infty)((1+1/n)^n-e)/n^alpha

Discutere, al variare di α ∈ la convergenza della serie

R, n

1 − e

1 +

+∞ n

X .

α

n

n=1

Osserviamo che il numeratore può essere riscritto nel seguente modo

soluzione. !

n

1 1

n log 1+ −1

n

− e = e e − 1 .

1+ n

Ora, per un noto limite notevole

1

log 1 + n − 1=0

lim 1

n→+∞ n

per cui

1

n log 1+ −1

n

e − 1

è asintotico ad 1

n log 1 + − 1.

n

1 = t, si ha che

Osserviamo infine che, chiamando n 1 log(1 + t)

n log 1 + − 1= − 1

n t

+

è asintotico a t ( per t → 0 ); infatti, applicando il Teorema de de l’Hôpital:

log(1+t) − 1 −t 1

t

lim = lim = − .

t 2t(1 + t) 2

+ +

t→0 t→0

Essendo tale limite diverso da zero e finito, la serie iniziale diventa equivalente, per il criterio del

confronto asintotico, alla serie +∞ 1

X α+1

n

n=1

che converge se e solo se α + 1 > 1, che dà α > 0.