Le progressioni geometriche

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Progressioni geometriche

Cominciamo con due esempi:

Consideriamo la successione di numeri:

Esempio 1 3, 6, 12, 24, 48, 96



 

 2

 2 2

2

2

La successione è tale che si passa da un termine al successivo moltiplicando

il precedente per 2. Si dice anche che la successione precedente è una pro-

‘3’ è il primo termine della progressione, ‘96’ è l’ul-

gressione geometrica.

timo termine e ‘2’ (il numero che moltiplica un termine per avere il succes-

sivo) si chiama ragione della progressione. Inoltre, visto che i termini au-

mentano sempre, la progressione considerata è crescente.

Consideriamo la successione di numeri:

Esempio 2 36, 24, 12, 6



  ½

½ ½

La successione è tale che si passa da un termine al successivo moltiplicando

½.

il precedente per La successione precedente è una progressione

½.

geometri-ca di ragione I termini della successione diminuiscono sempre

e la pro-gressione considerata è decrescente.

Possiamo generalizzare quanto visto negli esempi con la seguente definizione:

Una progressione geometrica é una successione di numeri reali tali che il rapporto tra due termini

consecutivi della successione è costante.

Questa costante si chiama ragione della progressione stessa: se la ragione è positiva e maggiore di 1, la

successione è crescente; se la ragione è compresa tra zero e 1 (1 esclu-so), la succesione è decrescente;

se la ragione è uguale a 1 la successione é costante (tutti i suoi termini sono uguali); se la ragione é

negativa la successione é oscillante (i suoi termini sono alternativamente positivi e negativi).

Simbolicamente, indicando con a il termine n-simo della successione e con q la sua ra-gione, possiamo

n

scrivere:

a = a q

2 1 2

a = a q = a qq = a q

3 2 1 1

2 3

a = a q = a q q = a q

4 3 1 1

... n-2 n-1

a = a q = a q q = a q

n n-1 1 1

dove l’ultima espressione:

R. SANTORO: Progressioni geometriche 2



 n 1

a a q (1)

n 1

fornisce una relazione generale per calcolare il termine di posto n (a ) di una progressione geometrica

n

di cui si conosce il primo termine (a ) e la ragione (q).

1

Calcolare il quinto termine di una progressione geometrica per cui il primo

Esempio 3 ¾.

termine vale 2 e la ragione vale

Applicando la formula precedente, abbiamo subito:

4

 

3 81 81

     

 

4 .

a a q 2 2

 

5 1 4 256 128

Calcoliamo l’interesse

Esempio 4 composto di un capitale C depositato in banca per

0

n anni con un interesse percentuale annuo uguale a i.

Alla fine di ogni anno abbiamo la seguente situazione:

Anno Capitale

1 C + i C = C (1+i) = C

0 0 0 1 2

2 C + i C = C (1+i)+i C (1+i) = C (1+i)(1+i) = C (1+i) = C

1 1 0 0 0 0 2

2 2 2 3

3 C + i C = C (1+i) +i C (1+i) = C (1+i) (1+i) = C (1+i) = C

2 2 0 0 0 0 3

... ... n

n C (1+i) = C

0 n

Possiamo allora notare che

 la successione:

C , C , C , C ,..., C

0 1 2 3 n

é una progressione geometrica il cui primo termine é C e la cui ragione é

0

1+ i;

 alla fine dell’n-simo

il capitale C anno di deposito é dato da

n  

  n

C C 1 i

n 0

Allora se C = 1 ML (un milione di lire) e i = 7%, dopo 10 anni il capitale

0

sarà uguale a: 10 10

   

7 107

    

    ,

C 1 1 ML 1967

. ML

   

10 100 100

cioè quasi raddoppiato (ma certament