Serie: Determinare il carattere della serie sum_{n=0}^(+infty)(n^2+2)/2^n

Determinare il carattere della serie:

\[ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^2 + 2}{2^n}. \]

Soluzione. Si ha che

\[ \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{n^2 + 2}{2^n}} = \frac{1}{2} \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n^2 + 2} = \frac{1}{2} \lim_{n \to +\infty} (n^2 + 2)^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{2} \lim_{n \to +\infty} e^{\frac{1}{n} \log(n^2 + 2)} = \frac{1}{2} < 1. \]

Allora la serie data converge, per il criterio della radice.