Anomalia di Bouguer

  

  3

4 4

G G R

 R

  

2

' '

g r dr

2 2

m 3

0

a a



La così calcolata rappresenta il contributo alla anomalia di gravità lungo la direzione della

g m

linea che unisce il punto P e il centro della sfera sepolta.



 3

4

G R

 

   

cos cos

g g 2

z m 3

a

b b

  

ma cos  

2 2 2

a x y b  

 

3 3

4 4

G R b G R b



    





cos

per cui g g  

2 3 / 2

z m 3  

  2 2 2

2 2 2

 

2 2 2 x y b

3 x y b

x y b 

 

 3 3

4

G R b

 

 

g  

  3 / 2

2

z 3  

2 2 2

 

b x y b

A

NOMALIA DI GRAVITÀ PRODOTTA DA UN CORPO SFERICO SEPOLTO ALLA PROFONDITÀ B

il cui andamento in funzione di x e y è quello di una come rappresentato nella figura

campana, 

 

 3

4

G R

 

seguente, dove la anomalia di gravità è normalizzata rispetto al suo valore massimo ,

 

2

3

 

b

 0

ottenuto nel punto O’, proiezione del centro della sfera sulla superficie a profondità z

Si noti che, data la simmetria della sfera, le isoanomale sono circonferenze concentriche, i cui valori

 

   

o , rispettivamente, come

decrescono verso l’esterno o verso l’interno, a seconda che 0 0

appare più evidente dalla seguente mappa orizzontale



A ’ , R e b

NALIZZIAMO L INFLUENZA DEI PARAMETRI

V P b

ARIAZIONE DELLA ROFONDITÀ



Assegnati e R, all’aumentare della profondità, l’intensità della anomalia diminuisce in modo

rapido, ma interessa una regione più estesa

V R R

ARIAZIONE DEL AGGIO



Assegnati e b, all’aumentare del raggio, l’intensità della anomalia aumenta e interessa una

regione più estesa 

V A D

ARIAZIONE DELLA NOMALIA DI ENSITÀ

 ,

Assegnati e b, all’aumentare di l’intensità della anomalia aumenta e interessa una regione più

estesa

I A G

NDETERMINAZIONE NELLA INTERPRETAZIONE DELLA NOMALIA DI RAVITÀ

,

Come già detto in generale, le combinazioni di R e b che generano anomalia di gravità

indistinguibili sono infinite, come appare evidente nella figura seguente

A NOMALIA DI GRAVITÀ PRODOTTA DA UNA FAGLIA VERTICALE

Per semplicità schematizziamo la faglia verticale con una struttura limitata superiormente da due

semipiani orizzontali posti alla profondità e (h > ) e raccordati da un semipiano verticale.

h h h

1 2 2 1

Ai fini del calcolo della anomalia di gravità supponiamo inoltre che la struttura:

a. sia infinitamente estesa verso il basso; 



b. abbia una densità differenziale uniforme pari a .

Essendo la struttura infinitamente estesa nelle direzioni orizzontali x e y, il contributo alla anomalia

di gravità prodotto dal terreno che si trova al di sotto della profondità sarà costante in tutti i punti

h

2

del piano xy (equivale al contributo di una struttura piana infinitamente estesa), per cui l’andamento

della anomalia dovuta alla faglia sarà dovuto solo alla struttura anomala compresa fra i due piani

alle profondità e (volume giallo in figura).

h h

1 2

  

  

Indicata con la differenza di densità fra la struttura anomala e le rocce esterne, la

2 1

anomalia di gravità prodotta dalla faglia nel punto P della superficie terrestre sarà dato da:

 

 h

cos 2 dy

   

 

      

g G dV G zdz dx     3 2

2

faglia 2 2

    2

r x x y y z

 

0

V h 0 0

1

faglia

    

2 2

     2

r x x y y z

 0 0



essendo  z z

  

cos

    

2 2

    2

 r x x y y z

 0 0

Procedendo con l’integrazione, si ottiene

 

h

2 dy

  



    

g G zdz dx     3 2

faglia 2 2

    2

x x y y z

 

0

h 0 0

1   

h

2 dy

  



 

2  

G zdz dx     3 2

2 2

    2

x x y y z

0 0

h 0 0

1  dy

 , effettuiamo il seguente cambio di

Al fine di risolvere l’integrale  

    3 2

2 2

    2

x x y y z

0 0 0

variabile:

 

  

2

  

2 2

 a x x z dy ds

 





0

    

      3 2 3 2

   

2 2 2 2

    2

s y y a s

x x y y z 

0

0 y

0 0 0

Quindi, 

 2

1

ds a ds

 



   

3 2 3 2

2

 

2 2 2 2

a

a s a s

 

y y

0 0

 

   

2 2 2 2 2 2

1 1

a s s a s s

 



    

ds ds

3 2 3 2

2 2 



2 2 2 2

a a

a s a s

 

y y

0 0

 

 



2 2 2

1 a s s

 

 

 

   

ds ds

3 2 3 2

2  

2 2 2 2

 

a  

a s a s

 

y y

0 0

 

 

  

 

1 1 2

s s



1 2

 

   

2 2

 

   

a s ds ds

3 2

2 2

  

2 2

 

a  

a s

 

y y

0 0

 

   

1 1 1

 

  

 

 

ds s d ds

2  

2 2 2 2

 

 

a  

a s a s

 

y y

0 0

Integrando per parti:

 



 

  



1 1 1 1

 

 

   



ds s ds

2 

   

2 2 2 2 2 2 



a a s a s a s

 

 



y y

y

0 0

0

 

 



 

1 1 1 1

 

 

 

  

ds s ds

 

2  

  

2 2 2 2 2 2

a a s a s a s

 

 

 



y y

y

0 0

0

 



1 1

 

 s

 

2 

2 2

a a s

 

 y

0

In conclusione, 

 

 



ds s

 

  



3 2

 

2 2 2 2 2

a s a a s 



 

y y

0 0

Ritornando alle variabili originali,

 

ds dy

 

 

 

      3 2

3 2



2 2 2 2

    2

a s x x y y z

 0

y 0 0

0  



 

 



y y

 0

 

 

     

2 2 2

 

     

2 2

x x z x x z y y

 

0 0 0 0

 



 

 

1

 

  

 

  2

  2

  x x z

2

  

2

 

1

0

x x z  

0 2

 



y y

 

0 0

1 1 1

 

   

    

    2

2

2  

       2

2

2 0 1 1 x x z

x x z x x z 0

0

0

La anomalia di gravità prodotta da una faglia verticale sarà quindi data da

 

h h

2 2

dx zdx

   

 

   

    

2 2

g G zdz G dz

   

2 2

   

faglia 2 2

x x z x x z

0 0

0 0

h h

1 1

Ma  

  

zdx zd x x

 

   

 

0

   

2 2

   

2 2

x x z x x z

0 0 0 0 

 

x x

 

0

zd 

 

 

  x x

z



   

0

actg

 

2  



  z

x x

0 0



 

0 1

 

 

 

z

 

 

   

x x

   

   

0 0

actg actg

2 2

   

z z

Quindi 

 

h  

2 x





     

2 0

g G dz actg

 

faglia 2  

 

z

h

1 

h h  

2 2 x

 

 

     

2 2 0

G dz G actg dz

2  

z

h h

1 1

 h  

2 x



 

   

h  

2 2 0

2 dz

G z G actg

2  

h z

1 h

1 h  

2

  x



 

      

2 0

G h h G actg dz

2 1  

z

h

1

Determiniamo infine l’integrale

 

h

2 x

 

 

0

actg dz integrando per parti

z

h

1 h

  

     h

h h 2 1

2 2 2

x x x x

 

  

  

   

    

    

0 0 0 0

1 actg dz d z actg dz z actg z dz

2 2

 



      

z z z z

x

  

h

h h 0

h 1

1 1 1

1  

z

     

h 1

2

x x x



   

      

 

0 0 0

h actg h actg z dz

   

2 1 2 2

 

     

h h z

x

2 1   

h 0

1

1  

z

    h 2 1

2

x x z



   

     

0 0

h actg h actg x z dz

   

2 1 0 

2 2 2

   

h h z x z

2 1 h 0

1

    h

2

x x z



   

     

0 0

h actg h actg x dz

   

2 1 0 

2 2

   

h h z x

2 1 h 0

1

    h

1 2

2

x x z



   

    

0 0

h actg h actg x dz

   

2 1 0 

2 2

2

   

h h z x

2 1 h 0

1

     

 

h

1 2

x x 



  

     

2 2

0 0 ln

h actg h actg x d z x dz

   

2 1 0 2 0

   

h h

2 1 h

1

     

1

x x h

   

     

2 2 2

0 0 ln

h actg h actg x z x

   

2 1 0 2 0

   

h

h h

1

2 1  



2 2

    1 h x

x x  

2

   

    

0 0 ln 0

h actg h actg x

     

2 1 0 

2 2

2

   

h h h x

 

2 1 1 0

In conclusione  



 

2 2

    1 h x

  x x 



  2

   

         

 

0 0

2 ln 0

g G h h G h actg h actg x

    



2 1 2 1 0 

2 2

faglia 2

 

   

h h h x 



 

2 1 1 0

A G P F V

NOMALIA DI RAVITÀ RODOTTA DA UNA AGLIA ERTICALE

Si noti che tale anomalia non dipende da y ma solo dalla distanza dal piano di faglia.

x 0

 in funzione di è rappresentato nella figura seguente, dove la funzione

L’andamento di x

g 0

faglia  



 

 è stata normalizzata rispetto al suo valore massimo . Le caratteristiche della

G h h

g 2 1

faglia

mappa della anomalia di gravità possono essere riassunte in:

Le sono nella

a. ISOANOMALE LINEE PARALLELE DIREZIONE ORIZZONTALE LUNGO CUI SI

;

ESTENDE LA FAGLIA

Per distanze x molto grandi dal piano verticale di faglia, la anomalia di gravità tende ad un

   



   

2 che rimane costante e

,

g G h h

V M ,

ALORE ASSIMO DIPENDE DALLA

2 1



faglia x

0  

 e non dalle singole profondità

h h

A D (

NOMALIA DI ENSITÀ E DAL RIGETTO DELLA FAGLIA 2 1

e ). Infatti:

h h

2 1 

  

 



2 2









  

 1 h x

  x x  

  





 2

  

 

    

 

lim 2 ln

0 0 

 0

g G h h G h actg h actg x







  

 2 1 2 1 0 

2 2



faglia x 2

 









0

x 

 h h h x

 

0   

2 1 1 0



  



1

     

 

           



2 ln

G h h G h actg h actg x 



2 1 2 1 0 

2 

 

   



 

 

        

2 0

G h h G h h 



2 1 2 1

2 2 



 

 

 

     

G h h G h h

2 1 2 1

 



  

2

G h h c.v.d.

2 1    

 

    

2

g G h h

D

IPENDENZA LINEARE DI DALLA ANOMALIA DI DENSITÀ

2 1



faglia x

0

   

 

 

   

2 h h

g G h h

D

IPENDENZA LINEARE DI DAL RIGETTO DELLA FAGLIA 2 1

2 1



faglia x

0

La distribuzione delle isoanomale è simmetrica rispetto alla posizione del piano verticale

b. della faglia, dove la anomalia di gravità è la metà del valore massimo,

   



    ; infatti

g G h h

2 1



faglia 0

x

0  

 

     



  2

 

0 0 1 0

  h

       

          

2 0 ln 2

 

 

g G h h G h actg h actg

     

2 1 2 1 

2



faglia 2 0

 

0      

x h h h

 

0 2 1 1

 

 

 

        

2 0 0 0

G h h G h h

2 1 2 1

 



  

G h h c.v.d.

2 1

c. Il gradiente della Anomalia di Gravità in x =0 è pari a

0

  

  

 



 2 2

    

 1 h x

d g  

d x x  

      2

        

 

2 ln

0 0

faglia 

 0

G h h G h actg h actg x

     

2 1 2 1 0 

2 2

2

 

    



dx dx h h h x

 

  

1

0 0 2 1 0 

 

 

  



 

2 2 2 2

  

 



1 1 1 1 1 1 1

h x x x

 





 2 

        

2 2

2 ln 



0 0 0

G h h x h x   

 

  

2

2 1 0

 



 2

2 2 2 2

2 2 

2 2 2 2 

2 2

0

x x

h h h x h x 





 h x h x 

  

   1

2 1 1

  2

1 1 1

0 0 0 0

0 0

  

 2 2 

2 2

h h h x 

 

 1

2 1 0 

 

 

  

 



2 2

2 2 2 2

  

 



1 1 1

h x x x

h h  

 

 2   

     2 2

2 ln 

 0

0 0

2 1

G x h x   

    

0 2



     2

2 2 2 2 2 2 2 2



2 2 2 2 

2 2

0