Anomalia gravimetrica

C L

ORREZIONE PER LA ATITUDINE dg 0

In generale quello che interessa è conoscere la variazione della gravità sul geoide al variare

g 0

ds

della distanza orizzontale lungo la superficie terrestre.

   



( ) ( ) ( ) ( )

1 1

dg dg dg dg

d

  

0 0 0 0

 



ds d ds r d r d

0 0

 è la gravità sul geoide, alla latitudine di osservazione.

dove ( )

g 0

Ricordiamo che la gravità in funzione della distanza radiale e della latitudine ha espressione

2  

3 GMa J

  GM

   

   

2 2 2

2

, 3 sin 1 cos

g r r

2 4

2

r r  



  2

1 sin

Sostituendo l’espressione del geoide r a f

0

Si ottiene  

 

  

  2

1 sin

g g

0 0 equatore 3 GMJ

GM 

   =0)

2

2 è il valore della gravità all’equatore (r=a,

dove g a

0 2 2

2

equatore a a



( )

dg 0

Quindi, la quantità diventa pari a



d



( )

dg  

    

   

0 2 sin cos sin 2

g g

 0 0

equatore equatore

d

Sostituendo, si ottiene 1

dg   

  

sin 2

g 0 equatore

ds r

0 1

 

  

sin 2

dg g ds C

ORREZIONE PER LA LATITUDINE

 0 equatore r

0

Tale correzione è positiva muovendosi dai poli verso l’equatore essendo in questo caso ds < 0 2

C M

ORREZIONE PER LA AREA

L’attrazione luni-solare causa una perturbazione piccola e quasi periodica (con periodo di circa 12

ore) della gravità.

Una stima dell’ordine di grandezza del disturbo di marea sulla gravità di una Terra indisturbata si

effettua confrontando la Forza Gravitazionale di Marea, per unità di massa, e la Accelerazione di

Gravità di una Terra Sferica

P

ERTURBAZIONE SUL MODULO

 

Gma 

  

2 Forza Gravitazionale di Marea – componente radiale

3 cos 1

g 3

r R

GM

 Accelerazione di Gravità Terra Sferica

g 2

a  

Gma  

2

3 cos 1 3

  





3

g m a

R 

  

2

  3 cos 1

r  

GM

g M R

2

a V

P

ERTURBAZIONE SULLA ERTICALE

3 Gma 

   Forza Gravitazionale di Marea – componente trasversa

sin 2

g  3

2 R

GM

 Accelerazione di Gravità Terra Sferica

g 2

a 

 3 Gma  

 sin 2  

 3

   

3

g 3

2 m a

 





 R

 

 

  





 1 1 1  

tan sin 2

tg tg

   



 2  

GM

 

g M R

 



 

 2

a 3

Considerando che

Massa Distanza Terra‐

Luna/Sole

21 3

Luna 73.5x10 kg 384x10 km

30 6

Sole 1.9891x10 kg 150x10 km

3





m a 

  8



 M L

5 . 639 10 AREE UNARI





M R 3





m a  

    

8 8



 M S

0 . 45 5 . 639 10 2 . 560 10 AREE OLARI





M R

si trova che la combinazione degli effetti delle attrazioni luni-solare possono dar luogo a:

V M ’I

ARIAZIONE ASSIMA NELL NTENSITÀ DELLA GRAVITÀ

   

a. Equatore: punti sulla superficie della Terra lungo la congiungente Terra-

0

Luna e Terra Sole

   

TOTALE LUNA SOLE

g g g

 

r r r

g g

equatore equatore

   

  

        

8 8 2 8

5

.

639 10 2 .

560 10 3 cos 0 1 16 .

398 10

8

   

TOTALE 16

.

398 10

g g

r equatore

equatore  

       

8 2 6 2

TOTALE 16

.

398 10 9

.

78 / 1

.

60 10 / 0

.

160

g m s m s mGal

r equatore

  

Poli:

b. 90

   

TOTALE LUNA SOLE

g g g

 

r r r

g g

poli poli

   

  

         

8 8 2 8

5

.

638 10 2

.

560 10 3 cos 90 1 8

.

198 10



    8

TOTALE 8

.

198 10

g g

r poli

poli  

          

8 2 6 2

TOTALE 8

.

198 10 9

.

832 / 0

,

81 10 / 0

,

081

g m s m s mGal

r poli

0.24 mGal e una deviazione massima della verticale di 50 millisecondi d’arco. 4

C Z S

ORREZIONE PER LA DERIVA DELLE ERO TRUMENTALE

Come abbiamo visto nel paragrafo precedente analizzando la marea gravimetrica, il valore della

gravità è in generale variabile nel tempo sostanzialmente a causa dell’attrazione luni-solare e dalla

deformazione della crosta terrestre che ne consegue.

Se però escludiamo l’effetto della marea gravimetrica, la gravità è da pensarsi costante nel tempo.

Tuttavia, ripetendo la misura della gravità nello stesso punto si ottengono valori della gravità

diversi. Ciò dipende dal fatto che, inevitabilmente, col passare del tempo, lo strumento di misura

subisce uno spostamento dello zero – deriva dello zero - e i valori misurati ne sono influenzati.

Le cause della deriva sono varia:

- variazioni di temperatura (cambiano la lunghezza delle molle ed il valore delle costanti elastiche)

- variazioni di pressione (cambiano la spinta di Archimede e, in condizioni adiabatiche, provocano

effetti termici)

- eventuali sollecitazioni meccaniche

- invecchiamento

- isteresi delle molle

La deriva è ineliminabile, ma per alcuni gravimetri è piccola e con andamento lineare. Quindi, al

fine di correggere la misura della gravità per la deriva dello zero, solitamente si effettuano ripetute

misure di gravità in una stazione-base o in più stazioni secondo una procedura chiamata

“circuitazione”. Se la deriva è lineare nel tempo, essa risulterà distribuita fra le stazioni.

La correzione per la deriva è usualmente eseguita prima di ogni altra correzione. 5



g SI SOMMA

C A L – A F -

ORREZIONE IN RIA IBERA NOMALIA DI AYE FA

Lo scopo della correzione in Aria Libera è quello di compensare la diminuzione della gravità con il

crescere dell’altezza al di sopra della superficie di riferimento o del livello medio del mare

(Geoide).

Per questo motivo, per definire il valore della correzione in aria libera SI PRENDE IN

,

CONSIDERAZIONE SOLO LA QUOTA ’

TRASCURANDO L EFFETTO DELLE MASSE INTERPOSTE FRA LA

(geoide).

SUPERFICIE TOPOGRAFICA E LA SUPERFICIE DEL LIVELLO DI RIFERIMENTO

Riduzione al Geoide della gravità misurata nel punto stazione P

Il valore della correzione va sommato al valore della gravità misurato prima che questo venga

confrontato con la gravità di riferimento, per ottenere la cosiddetta Anomalia in Aria Libera

 

 

    

g g g g

FA obs FA ref

A A L F

NOMALIA IN RIA IBERA O DI AYE

Determiniamo la espressione della Correzione in Aria Libera 6

A. M T S

ODELLO ERRA FERICA

Supponiamo che si possa trascurare la componente verticale della forza centrifuga.

L’accelerazione di gravità nel punto P, sulla superficie topografica, alla quota h, può quindi

esprimersi come M



g G   2

P 

r h

Analogamente, l’accelerazione di gravità nel punto P’, corrispondente a P sulla superficie del

geoide, può esprimersi come M



g G

' 2

P r

Dividendo membro a membro

M

G    2

2

 2  

g r h

r h

   

 

1

P   2

  

M

g r

r h

' G

P 2

r

Essendo r la distanza della superficie del geoide in P’ dal centro della Terra

 2

 

h h

h

     

 

 

1 1 1 2 .....

h r  

r r r

g h

 

1 2

P

g r

'

P

Segue che 

 h h h

 

 

  

 

1 2 2 2

g g g g g

g g

' ' ' ' '

P P P P P P P



 r r r

M

 .

con g G

' 2

P r g , e ridurlo alla superficie del

In conclusione, per correggere il valore della gravità misurato in P, P

geoide, occorre sommare alla la quantità

g P

h h GM GMh

     

2 2 2

g g g g

' ' 2 3

FA P P P

r r r r

GMh

  2

g 3

FA r 7

Se si sostituiscono i valori dei parametri

 

  11 2 2

6

. 6732 10

G N m kg

  24

5 .

973 10

M kg 

 6378 .

139 6356 . 752

a c

   6367 .

4455

r km km

2 2



  

11 24

6 . 6732 10 5 . 973 10

 

    5

2 0 . 3088 10

g h h

 

3

FA metri

 3

6367 . 4455 10

 

  5

0 . 3088 10

g h

FA metri 

  5 2 ,segue che

Ricordando che 1 1 10 /

mGal m s GMh

  

2 0 . 3088 h

g    

/

3

FA mGal m metri

r

C A L

ORREZIONE IN RIA IBERA

P 0.3088 mGal

ER OGNI METRO DI TOPOGRAFIA LA CORREZIONE IN ARIA LIBERA È DI

B. M T E

ODELLO ERRA LLISSOIDICA

L’accelerazione di gravità nel punto P, sulla superficie topografica, alla quota h, può quindi

esprimersi come 2  

3 GMa J  

M   

     

2 2 2

2 3 sin 1 cos

g G r h

   

2 4

P  

2

r h r h

Analogamente, l’accelerazione di gravità nel punto P’, corrispondente a P sulla superficie del

geoide, può esprimersi come 2  

3 GMa J

M   

    

2 2 2

2 3 sin 1 cos

g G r

' 2 4

P 2

r r

Dividendo membro a membro 8

2  

3 GMa J  

M   

    

2 2 2

2 3 sin 1 cos

G r h

   

2 4

 

2

g r h r h

  .

P 2  

3

g GMa J

M   

   

2 2 2

' 2 3 sin 1 cos

P G r

4

2 2

r r   

  3



2   2

3 a J

M r h

 

   

2 2

2

1 3 sin 1 cos 



G     2

2

 

2 

 GM

r h r h

  



2   2 3

3 a J

M r

 

   

2 2

2

1 3 sin 1 cos

 

G 2 2

2

 

GM

r r h

Sviluppando questo rapporto e trascurando i termini in di ordine 2 o superiore, essendo

r h

 

 1

h r r

dopo alcuni passaggi matematici, si dimostra che

 

 

  

0 . 3088 1 0 . 00071 cos 2

g h

 

/

FA metri

mGal m

C A L

ORREZIONE IN RIA IBERA

T E

ERRA LLISSOIDICA

O SSERVAZIONI

1. La correzione in aria Libera deve essere sempre sommata al valore della gravità misurato,

indipendentemente dal tipo di topografia (monte o valle).

Il tipo di topografia viene specificato assegnando il segno alla variabile h:

2. :

Monte 

 

h > 0 0

g FA

il valore della gravità aumenta quando si riduce la misura sulla superficie del geoide, perchè

la distanza dal centro della Terra diminuisce

:

Valle 

 

h < 0 0

g FA

il valore della gravità diminuisce quando si riduce la misura sulla superficie del geoide,

perché la distanza dal centro della Terra cresce 9

 -

g SI SOTTRAE

C B P -

ORREZIONE DI OUGUER O DI IASTRA B

Cenni storici

Nel diciottesimo secolo la controversia sulla forma della Terra non era stata ancora risolta: alcuni

scienziati sostenevano che la Terra somigliava ad un ellissoide oblato (schiacciamento ai poli)

mentre altri scienziati sostenevano che la Terra somigliava più ad un ellissoide prolato (allungato ai



poli. E’ facile verificare che nel caso di una Terra ellissoidica, allo stesso angolo compreso fra due

verticali fisiche corrispondono sulla superficie terrestre archi di lunghezza differente. In particolare,

nel caso di una Terra approssimabile ad un ellissoide oblato (vedi figura), la lunghezza dell’arco

all’equatore risulta minore che ai poli.

Archi di superficie terrestre all’equatore e al polo, corrispondente allo stesso



angolo , per un modello di Terra ad ellissoide Oblato.

Nel 1735 l’accademia delle Scienze francese decise di risolvere la controversia inviando due

spedizioni, una vicino in Ecuador, vicino all’equatore, e una in Lapponia, vicino al polo nord, per

misurare la lunghezza degli archi che sottendono ad uno stesso angolo di 1°.

Bouguer fu uno dei responsabili della spedizione in Equador. Egli osservò che le Ande producevano

un’attrazione orizzontale sulla direzione del filo a piombo, causando una deviazione locale della

verticale. Decise quindi di includere nei propri calcoli l’attrazione gravitazionale prodotta

dell’intera massa della montagna. 10

Correzione proposta

Bouguer suggerì di

considerare la montagna come una massa sovrapposta alla superficie di una Terra uniforme.

1. considerare l’effetto gravitazionale di una montagna di altezza pari alla quota del punto

2. 

stazione e di estensione infinita nella direzione orizzontale PIASTRA

3. Calcolo per il calcolo della correzione di Bouguer (o di piastra) per

una topografia positiva (a) e una topografia negativa (b)

Calcolando l’attrazione gravitazionale nel punto stazione di questa piastra, Bouguer ottenne la

seguente relazione per la correzione di Bouguer

   



   8

2 0

.

04185 10  

g G h h  

3

 

B metri

2 /

kg m



 

/

mGal m kg

 

C B

ORREZIONE DI OUGUER

La dimostrazione di questa relazione sarà fatta in seguito (vedi esercitazioni) 11

 3

Con è la densità delle rocce (in kg/m ) che costituiscono la montagna e quota (in m)

h

3 (valore medio delle rocce affioranti), si ottiene

Per rocce di densità pari a 2600 kg/m   0 . 1

g h

   

/

B mgal m metri

1

 



g g

B FA

3

O SSERVAZIONI

1. La correzione di Bouguer ha segno opposto a quello della correzione in Aria Libera, quindi