Concetti Chiave
- Una perlina di massa si muove su un filo circolare in assenza di gravità, ricevendo una velocità iniziale.
- La forza di attrito agisce sulla perlina e dipende dalla forza centripeta, con un coefficiente di attrito dinamico μ.
- L'accelerazione della perlina è espressa come a = -μ(v²/r), indicando che la velocità diminuisce nel tempo.
- Si utilizza un'equazione differenziale per descrivere la variazione della velocità nel tempo, separando le variabili.
- La soluzione finale fornisce la velocità della perlina in funzione del tempo: v(t) = (v₀r) / (r + μv₀t).
Si consideri una perlina di massa
[math]m[/math]
libera di muoversi su un filo rigido sottile circolare di raggio [math]r[/math]
. La perlina riceve una velocità iniziale [math]V_0[/math]
e il coefficiente di attrito dinamico tra il filo e la perlina è [math]\mu;[/math]
. L'esperienza viene eseguita in un veicolo spaziale alla deriva nello spazio (c'è dunque assenza di gravità ). Dimostrare che la velocità della pallina in funzione del tempo è [math]v(t)=\frac{v_0r}{r+ \mu v_0t}[/math]
Calcoliamo la forza d'attrito. La forza centripeta è:
[math]F_c=m\frac{v^2}{r}[/math]
La forza di attrito è perciò: [math]F_a=\mu\cdot F_c=\mu\cdot m \cdot \frac{v^2}{r}[/math]
L'accelerazione della pallina è dunque, semplificando la massa: [math]a=-\mu\cdot \frac{v^2}{r}[/math]
ovvero [math]\frac{dv}{dt}=-\mu\cdot \frac{v^2}{r}[/math]
Questa equazione differenziale si può risolvere seeparando le variabili Si ottiene: [math]\frac{dv}{v^2}=-\mu \frac{dt}{r}[/math]
Integrando entrambi i membri si ha: [math]\int_{v_0}^v\frac{dv}{v^2}=-\frac{\mu}{r}\int_{0}^t dt[/math]
Sono due integrali facili, abbiamo subito [math]-\frac{1}{v}+\frac{1}{v_0}=\frac{\mu}{r} \cdot t[/math]
Esplicitando rispetto a [math]v[/math]
, otteniamo facilmente la relazione del testo. [math]v=\frac{v_0r}{r+ \mu v_0t}[/math]
FINE
Domande da interrogazione
- Qual è l'effetto dell'attrito sulla velocità della perlina nel tempo?
- Come si determina l'accelerazione della perlina in assenza di gravità?
- Qual è il procedimento per risolvere l'equazione differenziale che descrive il moto della perlina?
L'attrito dinamico riduce la velocità della perlina nel tempo, seguendo la relazione \( v(t) = \frac{v_0 r}{r + \mu v_0 t} \), dove \( \mu \) è il coefficiente di attrito e \( v_0 \) è la velocità iniziale.
L'accelerazione della perlina è data da \( a = -\mu \cdot \frac{v^2}{r} \), che indica che l'accelerazione è negativa a causa della forza di attrito che agisce contro il movimento.
L'equazione differenziale \( \frac{dv}{dt} = -\mu \cdot \frac{v^2}{r} \) si risolve separando le variabili e integrando, portando alla formula finale per la velocità in funzione del tempo.
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