Il teorema della divergenza di Gauss

Il teorema della divergenza di Gauss

a cura di Flavio Cimolin

(pagina a cura di Roberto Modaffari) (ultimo aggiornamento: 22/10/2005)

Osservando l'enunciato del celebre teorema della divergenza (o di Gauss), che assieme a quello del

rotore (o di Stokes), costituisce una pietra miliare dell’analisi matematica a più variabili, ci si può

permettere tranquillamente di restare basiti e perché no affascinati dall’incredibile bellezza che il

linguaggio matematico è in grado di assumere. La scrittura risulterà sicuramente oscura ai più, a

causa degli strani simboli che si ritrovano, totalmente inaccessibili per chi non conosce gli operatori

differenziali e gli altri concetti fondamentali dell’analisi.

Il teorema si può esprimere a parole affermando che “Il flusso di un campo vettoriale attraverso

una superficie chiusa eguaglia l’integrale della divergenza del campo nella regione racchiusa

dalla superficie stessa”.

Parole molto astruse a definire con rigorosità matematica un concetto che può essere ben compreso

attraverso la sua pura interpretazione fisica. Applichiamolo ad esempio ad un caso idraulico: il

teorema dice che la quantità d’acqua totale che esce da una superficie chiusa è uguale alla quantità

d’acqua erogata da tutti i rubinetti che sono all’interno della superficie, quella scritta, cioè, non è

altro che un’equazione di bilancio.

Come accennavamo all'inizio, il teorema fa coppia naturale con un'altro, quello del rotore, o di

Stokes. Quest'ultimo afferma che “Il flusso del rotore di un campo vettoriale attraverso una

e si scrive in

superficie eguaglia la circuitazione del campo sul bordo della superficie stessa”

formule come:

Tali teoremi hanno una moltitudine di applicazioni, ad esempio in fisica servono a descrivere i

fenomeni elettrici ed elettromagnetici, permettendo la riformulazione differenziale di leggi espresse

in forma integrale, arrivando così alle famose equazioni di Maxwell.

Dal punto di vista matematico è molto interessante osservare come questi teoremi consentano di

scambiare un'integrazione su di un volume con un'integrazione sulla superficie che lo racchiude

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