Calcolo di un angolo formato da due vettori

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Erectus
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Scopri come calcolare l'angolo formato da due vettori attraverso l'uso di proprietà goniometriche e definizioni di modulo. Approfondisci il calcolo vettoriale e impara a determinare l'ampiezza dell'angolo acuto tra i vettori in modo chiaro e preciso.

Concetti Chiave

  • Il calcolo dell'angolo compreso tra due vettori si basa sulla formula del prodotto vettoriale, che coinvolge i moduli dei vettori e il seno dell'angolo.
  • Utilizzando i moduli dei vettori e il modulo del prodotto vettoriale, si trova che il seno dell'angolo è 1/2, corrispondente a un angolo di 30 gradi.
  • Il prodotto vettoriale di due vettori ha una direzione perpendicolare ai vettori stessi e il suo modulo è determinato dalla formula specificata.
  • Il vettore risultante dal prodotto vettoriale cambia verso se i fattori sono invertiti, mantenendo modulo e direzione secondo la proprietà anticommutativa.
  • La proprietà anticommutativa implica che il prodotto vettoriale di due vettori ha lo stesso modulo ma direzione opposta se gli operandi sono scambiati.

In questo appunto imparerai a calcolare l'angolo compreso tra due vettori, oltre a ricordare alcune proprietà fondamentali del calcolo vettoriale e, in particolare, del prodotto vettoriale.

Testo dell'esercizio

I due vettori
[math]\vec{a}[/math]
e
[math]\vec{b}[/math]
hanno modulo rispettivamente di
[math]5,0[/math]
e
[math]8,0[/math]
unità. Il vettore
[math]\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}[/math]
ha modulo pari a
[math]20[/math]
unità.
  • Calcola l'ampiezza dell'angolo acuto formato dalle direzioni dei due vettori
    [math]\vec{a}[/math]
    e
    [math]\vec{b}[/math]
    .
  • Il vettore
    [math]\vec{d} = \vec{b} \times \vec{a}[/math]
    ha lo stesso modulo di
    [math]\vec{c}[/math]
    ?

Svolgimento (1)

Possiamo calcolare il modulo del vettore risultante dal prodotto vettoriale di altri due vettori con la formula
[math]|\vec{c}| = |\vec{a} \cdot \vec{b}| = |a||b| \cdot \sin (\alpha)[/math]
Di conseguenza, se vogliamo calcolare l'ampiezza dell'angolo formato dai due vettori, ricaviamo il seno dell'angolo dalla formula precedente, chiamando per comodità di notazione
[math] a = |\vec{a}|, b = |\vec{b}|, c = |\vec{c}| [/math]
.
[math]c = ab \cdot \sin (\alpha) \to \sin (\alpha) = \frac{c}{ab} [/math]
Quindi:
[math]\\sin (\alpha) = \frac{c}{ab} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}[/math]
Dalla goniometria, sappiamo che se il seno di un angolo è uguale ad
[math]\frac{1}{2}[/math]
, l'angolo ha un'ampiezza di
[math]30°[/math]
.

Altrimenti, possiamo calcolare, con la calcolatrice, l'angolo a cui corrisponde il seno noto:

[math]\alpha = arcsin (\frac{1}{2}) = 30°[/math]

Svolgimento (2)

Il vettore
[math]\vec{d} = \vec{b} \times \vec{a}[/math]
ha lo stesso modulo e la stessa direzione del vettore
[math]\vec{c}[/math]
, poiché è dato dalla stessa formula; tuttavia, questo vettore avrà verso opposto, infatti vale la proprietà anticommutativa:
[math] \vec{b} \times \vec{a} = - \vec{a} \times \vec{b}[/math]
In sintesi, si conserva la direzione e il modulo, ma non il verso!

Domande da interrogazione

  1. Come si calcola l'angolo compreso tra due vettori utilizzando il prodotto vettoriale?

    2. L'angolo compreso tra due vettori può essere calcolato utilizzando la formula del prodotto vettoriale, che stabilisce che il modulo del vettore risultante è dato da \( |\vec{c}| = |\vec{a}||\vec{b}| \cdot \sin(\alpha) \). Da questa formula, si ricava il seno dell'angolo: \( \sin(\alpha) = \frac{c}{ab} \).

  2. Qual è l'ampiezza dell'angolo acuto formato dai vettori \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\)?

    3. L'ampiezza dell'angolo acuto formato dai vettori \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) è di \(30^\circ\), poiché il seno dell'angolo è uguale a \(\frac{1}{2}\), il che corrisponde a \(30^\circ\) secondo la goniometria.

  3. Il vettore \(\vec{d} = \vec{b} \times \vec{a}\) ha lo stesso modulo di \(\vec{c}\)?

    4. Sì, il vettore \(\vec{d}\) ha lo stesso modulo di \(\vec{c}\), ma la sua direzione è opposta a causa della proprietà anticommutativa del prodotto vettoriale, che stabilisce che \(\vec{b} \times \vec{a} = -\vec{a} \times \vec{b}\).

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