Elettromagnetismo: Distiribuzioni piane indefinite di carica

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Scopri le distribuzioni piane indefinite di carica e il loro impatto sul campo elettrico. Approfondisci il calcolo della densità superficiale di carica nel vuoto e in mezzi isolanti, analizzando forze e relazioni fondamentali in elettromagnetismo.

Concetti Chiave

  • Si analizzano le distribuzioni piane infinite di carica nel vuoto e in un mezzo isolante, focalizzandosi sul campo elettrico e sulla forza elettrica sulle particelle vicine.
  • Viene fornito un esercizio pratico in cui una carica è soggetta a una forza di -5000 N, permettendo di calcolare la densità superficiale di carica nel vuoto.
  • La formula per calcolare il campo elettrico generato da una distribuzione piana infinita è E = σ / (2 ε₀), da cui si ricava la densità superficiale di carica.
  • In un mezzo isolante, la densità superficiale di carica viene calcolata considerando la costante dielettrica, utilizzando la formula σ = F/q * 2 ε₀ ε_r.
  • I risultati ottenuti mostrano che la densità superficiale di carica nel vuoto è 3,5 × 10⁻⁵ C/m² e in un mezzo con ε_r = 2,5 è 8,95 × 10⁻⁵ C/m².

In questo appunto andremo ad approfondire che cosa succede quando si ha a che fare con distribuzioni piane indefinite di carica, sia nel vuoto che in un mezzo isolante. In particolare studieremo che rapporto c'è tra il campo generato da tale distribuzione e la forza elettrica agente sulla particella in prossimità di essa. Facciamo un esercizio, per capire meglio.

Testo dell'esercizio

La carica
[math] q_1 = - 2,5 \cdot 10^{-3} C [/math]
, posta nel vuoto in prossimità di un distribuzione piana infinita di carica, è soggetta ad una forza di intensità
[math]-5000N[/math]
.
  • Calcolare la densità superficiale di carica che si trova nel vuoto.
Immagina che la carica e il piano fossero invece immersi in un mezzo con costante dielettrica pari a
[math]\varepsilon_r = 2,5[/math]
.
  • Calcola allora la densità superficiale di carica che si trova nel piano.

Svolgimento dell'esercizio

Poiché ci troviamo in prossimità di una distribuzione piana infinita di carica, l'intensità del campo elettrico è data dalla formula
[math] E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} [/math]
. Da qui, ricaviamo la densità di carica, perché
[math] E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \to \sigma = 2 E \cdot \varepsilon_0 [/math]
.
Esprimiamo il campo elettrico come forza fratto carica e determiniamo la densità superficiale di carica nel vuoto:

[math] \sigma = F/q \cdot 2\varepsilon_0 = \frac{- 5000 N}{-2,5 \cdot 10^{-3} C} \cdot 2 \cdot 8,854 \cdot 10^{-12} \frac{C^2}{N \cdot m^2} = 3,5 \cdot 10^{-5} \frac{C}{m^2} [/math]

Nel caso in cui ci troviamo in un mezzo isolante, la costante dielettrica assoluta vale

[math]\epsilon = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r [/math]
.

Di conseguenza, la densità superficiale di carica sarà data dalla formula:

[math] \sigma = F/q \cdot 2 \epsilon = F/q \cdot 2 \varepsilon_0 \varepsilon_r [/math]

In definitiva:

[math] \sigma = \frac{- 5000 N}{-2,5 \cdot 10^{-3} C} \cdot 2 \cdot 8,854 \cdot 10^{-12} \frac{C^2}{N \cdot m^2} \cdot 2,5 = 8,95 \cdot 10^{-5} C/m^2 [/math]

Domande da interrogazione

  1. Qual è la relazione tra il campo elettrico e la densità superficiale di carica in prossimità di una distribuzione piana infinita?

    2. La densità superficiale di carica è direttamente proporzionale all'intensità del campo elettrico, secondo la formula \( E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \), da cui si ricava \( \sigma = 2 E \cdot \varepsilon_0 \).

  2. Come si calcola la densità superficiale di carica nel vuoto?

    3. La densità superficiale di carica nel vuoto si calcola utilizzando la formula \( \sigma = \frac{F}{q} \cdot 2 \varepsilon_0 \), dove \( F \) è la forza e \( q \) è la carica. Nel caso specifico, si ottiene \( \sigma = 3,5 \cdot 10^{-5} \frac{C}{m^2} \).

  3. Qual è l'effetto della costante dielettrica su una distribuzione piana di carica in un mezzo isolante?

    4. In un mezzo isolante, la densità superficiale di carica si calcola con la formula \( \sigma = \frac{F}{q} \cdot 2 \epsilon \), dove \( \epsilon = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \). Questo porta a un valore di \( \sigma = 8,95 \cdot 10^{-5} C/m^2 \) nel caso considerato.

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