Concetti Chiave
- Iterare una funzione consiste nel valutare ripetutamente la funzione a partire da un valore iniziale, noto come seme, generando una sequenza chiamata orbita.
- Il comportamento dell'orbita dipende sia dal seme scelto che dalla funzione iterata, portando a risultati molto diversi, da andamenti stabili a caotici.
- Le orbite possono presentare diversi comportamenti, come tendere verso un punto fisso, oscillare periodicamente o manifestare un andamento caotico.
- Piccole variazioni nel parametro c nella funzione f(x) = x² - c possono influenzare significativamente il comportamento delle orbite, rendendole caotiche o periodiche.
- I computer sono fondamentali per eseguire rapidamente calcoli complessi, come le iterazioni, semplificando il processo di analisi delle orbite.
Valutazione di Funzioni Iterazioni e orbite Iterare una funzione significa valutare la funzione ripetutamente. Nella prima iterazione, la funzione è valutata per un valore iniziale (chiamato seme ). Nella seconda iterazione la funzione è valutata per il valore uscito dalla prima iterazione e così via. La sequenza dei valori in uscita è chiamata orbita della funzione iterata per il seme assegnato. Una delle cose meravigliose dell'era dei computer è che possiamo demandare agli elaboratori elettronici calcoli noiosi (come quelli delle iterazioni), che essi svolgono in una frazione di secondo.
Procedura di iterazione
Ecco una procedura che valuta una funzione iterata per un seme assegnato. Questa procedura usa una variabile intervallo e una variabile indice per mantenere la traccia delle successive iterazioni. 
Reiteriamo la funzione 
per 
. 
troviamo la prima iterazione: Impostiamo l'intervallo delle iterazioni da 2 a un dato valore n: 
Reiteriamo la funzione e listiamo l'orbita: 
Quali sono gli effetti del seme sull'orbita?
JPG[/imgforce] Provate a cambiare il seme in 35, 88, e -10.
Quali risultati ci si può aspettare? L'orbita è rappresentata qui sotto. Quale effetto produce il seme sull'andamento dell'orbita? [imgforce alt=" " width="64" height="23px;" width="621" height="30"]https://cdn.skuola.net/news_foto/staticimages/fisica/orbite_iterazioni_funzioni_0/orbite_iterazioni_funzioni_01145.
Quali sono gli effetti del seme sull'orbita?
JPG[/imgforce] Provate a cambiare il seme in 35, 88, e -10.
Quali risultati ci si può aspettare? L'orbita è rappresentata qui sotto. Quale effetto produce il seme sull'andamento dell'orbita? [imgforce alt=" " width="64" height="23" class="img_force" /> 
Provate ad iterare le seguenti funzioni: 
Comportamenti delle orbite
JPG[/imgforce] A seconda della funzione da iterare e del valore per il seme scelto, si possono scoprire comportamenti molto diversi per l'orbita. Ecco i comportamenti di diverse orbite. [imgforce alt=" " width="273" height="143px;" width="61" height="23"]https://cdn.skuola.net/news_foto/staticimages/fisica/orbite_iterazioni_funzioni_0/orbite_iterazioni_funzioni_00030.
Comportamenti delle orbite
JPG[/imgforce] A seconda della funzione da iterare e del valore per il seme scelto, si possono scoprire comportamenti molto diversi per l'orbita. Ecco i comportamenti di diverse orbite. [imgforce alt=" " width="273" height="143" class="img_force" /> punto fisso 
tende a un punto fisso 
tende a un punto fisso 
tende all'infinito 
Qui l'orbita oscilla tra due valori ed è detta periodica con periodo 2. 
periodica
con periodo 4 
periodica con
periodo 6 
Qui non è riconoscibile alcuna struttura. Questo comportamento è detto caotico! Anche sistemi dinamici semplici possono presentare un andamento imprevedibile o caotico.
Iterazione di funzioni specifiche
Qui sotto itereremo una famiglia di funzioni della forma f(x) = x 2 – c, per vedere come piccole variazioni del valore di c possono dare origine a comportamenti molto diversi. 
Iterare la funzione 
per differenti valori di c (c è globalmente definito sotto), mantenendo costante il valore del seme 
. 
Prima iterazione: 
Intervallo delle iterazioni: 
Iterazione della funzione: 
Provate a far variare c da 0.1 a 0.2, poi 0.3, poi 0.4, poi 0.5, e così via fino a 2. Notate il diverso comportamento delle orbite! Per ogni valore di c, rappresentate il tipo di comportamento mostrato. lo facciamo noi per voi con il grafico di una funzione parametrica che presenta proprio c come parametro Il grafico seguente fa vedere l'animazione sulla variazione dell'orbita 
Per quali valori di c la funzione presenta un andamento caotico?
Domande da interrogazione
- Cosa significa iterare una funzione e quale è il risultato di questo processo?
- Qual è l'importanza del seme nell'iterazione delle funzioni?
- Quali comportamenti possono presentare le orbite durante l'iterazione?
- Come influisce il valore di c sulla funzione f(x) = x² - c durante l'iterazione?
- Quali sono le caratteristiche delle orbite caotiche?
Iterare una funzione significa valutarla ripetutamente a partire da un valore iniziale, chiamato seme. La sequenza dei valori ottenuti è nota come orbita della funzione iterata per il seme assegnato.
Il seme ha un impatto significativo sull'andamento dell'orbita. Cambiando il seme, come ad esempio in 35, 88 e -10, si possono osservare risultati diversi nell'orbita, evidenziando l'influenza del valore iniziale.
Le orbite possono mostrare comportamenti variabili, come convergere a un punto fisso, oscillare in modo periodico, o manifestare un andamento caotico, a seconda della funzione iterata e del seme scelto.
Piccole variazioni del valore di c possono generare comportamenti molto diversi nelle orbite. Cambiando c da 0.1 a 2, si possono osservare differenti andamenti, inclusi comportamenti caotici.
Le orbite caotiche non mostrano una struttura riconoscibile e possono presentare un andamento imprevedibile, anche in sistemi dinamici semplici, rendendo difficile prevedere il comportamento futuro della funzione iterata.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
