Alpha centauri: la stella a noi più vicina ...

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Alpha Centauri, la stella più vicina alla Terra, si trova a 4,3 anni-luce e ha una massa di 2,188 x 10^30 kg. Scopri come calcolare il raggio di Schwarzschild e la velocità di fuga, comprendendo i concetti di relatività e gravità.

Concetti Chiave

  • Alpha Centauri è la stella più vicina alla Terra, situata a 4,3 anni-luce di distanza, con una massa di 2,188 × 10^30 kg e un diametro di 1.670.400 km.
  • Il raggio di Schwarzschild rappresenta il valore oltre il quale un corpo celeste diventa un buco nero, calcolato in base alla velocità di fuga e alla massa.
  • La velocità di fuga da un corpo celeste aumenta all'aumentare della massa e della densità, raggiungendo la velocità della luce in corrispondenza del raggio di Schwarzschild.
  • Per calcolare il raggio di Schwarzschild si utilizza la formula R = 2GM/v^2, dove G è la costante di gravitazione universale e v è la velocità della luce.
  • Il raggio di Schwarzschild calcolato per Alpha Centauri è di 3,24 km, ma ha valore solo teorico poiché la sua massa non consente la formazione di un buco nero.

Testo dell'esercizio

Alpha centauri (avente massa
[math]m = 2,188 \cdot 10^{30} kg [/math]
e diametro
[math]d=1670400 km[/math]
), posta ad appena
[math]4,3[/math]
anni-luce dalla Terra, è la stella a noi più vicina.
Calcola il suo raggio di Schwarzschild.

(Il calcolo ha valore solo matematico, poiché in realtà, Alpha Centauri ha una massa troppo piccola per diventare un buco nero)

Svolgimento dell'esercizio

Per prima cosa, ricordiamo che cos’è il raggio di Schwarzschild.
Se un corpo celeste mantiene invariata la sua massa ma il suo raggio diminuisce (come accade per esempio nel caso di una stella che sta esaurendo il suo combustibile), la velocità di fuga da esso aumenta.

La velocità di fuga, cioè la velocità minima che permette di sfuggire all’attrazione di un pianeta e di giungere a distanza infinita con velocità nulla, è data dalla formula:

[math] v = \sqrt{ \frac{2 GM}{R} } [/math]

Se, però, il raggio continua a diminuire la velocità aumenta fino a raggiungere la velocità della luce, potendo perfino superarla.

Poiché, però, secondo la teoria della relatività di Einstein stabilisce che nessun oggetto può muoversi a velocità maggiore di quella della luce, è impossibile che un oggetto possa allontanarsi da questo corpo celeste, che si è trasformato in un buco nero.

Riassumendo, quindi, il valore di R per cui, dato un corpo celeste di massa

[math]M[/math]
, si ha che la velocità di fuga da esso è uguale alla velocità della luce, è detto raggio di Schwarzschild.

Trasformiamo i dati fornitici dal problema nelle giuste unità di misura:

[math]d=1670400 km = 1670400000 m [/math]

[math] r = d/2 = \frac{1670400000}{2} m = 835200000 m = 8,35 \cdot 10^8 m [/math]

Sappiamo che

[math]G[/math]
, la costante di gravitazione universale, vale
[math] 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{N \cdot m^2}{kg^2}[/math]
.

La velocità della luce, corrispondente in questo caso v, cioè alla velocità di fuga, vale

[math] 300000 km/s = 3,00 \cdot 10^5 km/s = 3,00 \cdot 10^8 m/s [/math]
.

Ricaviamo il raggio dalla formula della velocità di fuga:

[math] v = \sqrt{ \frac{2 GM}{R} } [/math]

[math] v^2 = \frac{2 GM}{R} [/math]

[math] R v^2 = 2 GM \to R = \frac{2 GM}{v^2} [/math]

Determiniamo il valore di

[math]R[/math]
:
[math] R = \frac{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{N \cdot m^2}{kg^2} \cdot 2,188 \cdot 10^{30} kg }{(3,00 \cdot 10^8 \frac{m}{s})^2} = [/math]

[math] = 3,24 \cdot \frac{ 10^{-11} \cdot 10^{30} }{ 10^{16}} m = 3,24 \cdot 10^3 m = 3,24 km [/math]
Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Qual è la distanza di Alpha Centauri dalla Terra?

    2. Alpha Centauri si trova a 4,3 anni-luce dalla Terra, rendendola la stella più vicina a noi.

  2. Cos'è il raggio di Schwarzschild e perché è importante?

    3. Il raggio di Schwarzschild è il valore di R per cui la velocità di fuga da un corpo celeste è uguale alla velocità della luce, indicando il limite oltre il quale un oggetto diventa un buco nero.

  3. Qual è la formula per calcolare la velocità di fuga?

    4. La velocità di fuga è calcolata con la formula \( v = \sqrt{ \frac{2 GM}{R} } \), dove G è la costante di gravitazione universale, M è la massa del corpo celeste e R è il suo raggio.

  4. Qual è il raggio di Schwarzschild calcolato per Alpha Centauri?

    5. Il raggio di Schwarzschild per Alpha Centauri è stato calcolato essere di 3,24 km, sebbene la stella non abbia massa sufficiente per diventare un buco nero.

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