Matematica e Statistica per l'economia - le funzioni polinomiali

− 2

y = x + 7x + 5

C E .

AMPO DI SISTENZA

Poiché la funzione data è polinomiale, essa risulta definita su tutto l’asse reale, cioè:

{x∈R: − ∞ ∞}

C.E. = < x < +

I A .

NTERSEZIONI CON GLI SSI

Per determinare l’intersezione della funzione con gli assi cartesiani occorre risolvere i seguenti due

sistemi:

=

 =



x 0 x 0

⇒ ⇒

  A = (0, 5) è il punto di intersezione della funzione con l’asse y

=

= − + +

2 

 y 5

y x 7 x 5 =

 y 0

= = =

   

y 0 y 0 y 0

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

    ± + ±

7 49 20 7 69

= − + + − + + = − − = = =

2 2 2

   

0 x 7 x 5 x 7 x 5 0 x 7 x 5 0 x

 1,2 2 2



 =

y 0

    

− +

−

 7 69 7 69

7 69 = =

⇒ = ≅ − ⇒    

 B , 0 C ,0

   

x 0,65 e

1    

2 2

 2

 +

7 69 sono le due intersezioni della funzione con l’asse x

= ≅ +

 x 7,65

 2 2

S F .

EGNO DELLA UNZIONE

Per lo studio del segno della funzione occorre risolvere la disequazione:

y > 0

dalla quale risulta poi possibile ricavare sia i valori della x per i quali la funzione è positiva, ovvero

si trova al di sopra dell’asse x, che quelli per i quali è negativa, ovvero si trova al di sotto dell’asse

x. Nell’esempio in esame, quindi, si ha: − +

7 69 7 69

< <

⇒ − ⇒ − − ⇒

2 2 x

y > 0 x + 7x + 5 > 0 x 7x 5 < 0 2 2

Ne segue che la funzione data è positiva per valori interni ad x ed x :

1 2

− +

7 69 7 69

= =

x x

1 2

2 2

− − − − − − − − − −

+ + + + +

y < 0 y > 0 y < 0

L E C E .

IMITI AGLI STREMI DEL AMPO DI SISTENZA

Per il calcolo dei limiti delle funzioni polinomiali, occorre ricordare che, in generale, vale la

seguente proprietà:

n n−1 n−2

Se y = a x + a x + a x + … + a x + a è una generica funzione polinomiale nella variabile x,

0 1 2 n−1 n

−∞

allora il suo limite, per x che tende a +∞ o (x→±∞), si ottiene calcolando il limite, per x→±∞,

del monomio di grado massimo che figura nel polinomio, cioè: +∞ ∀

 se a èpositivo

, n

( ) ( ) ( )

− −

+ + + + = = = 0

n n 1 n 2 n n 

a x a x a x ... a a x a x

lim lim lim −∞ ∀

0 1 2 n 0 0  se a ènegativo

, n

→+∞ →+∞ →+∞

x x x 0

+∞

 se n è pari ed a èpositivo

0

 −∞



( ) ( ) ( ) se n è pari ed a ènegativo

− −

+ + + + = = = 0

n n 1 n 2 n n 

a x a x a x ... a a x a x

lim lim lim −∞

0 1 2 n 0 0  se n è dispari ed a è positivo

→−∞ →−∞ →−∞

x x x 0

+∞

 se n è dispari ed a è negativo

0

Risulta allora possibile, in virtù di quanto sopra esposto, calcolare i limiti agli estremi del campo di

esistenza di tutte le funzioni polinomiali.

Nell’esempio si ha:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= − + + = − = − = − +∞ = − +∞ =−∞

2

2 2 2

y x 7 x 5 x x

lim lim lim lim

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

x x x x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= − + + = − = − = − −∞ = − +∞ =−∞

2

2 2 2

y x 7 x 5 x x

lim lim lim lim

→−∞ →−∞ →−∞ →−∞

x x x x

→ ∞, → − ∞ → − ∞, → − ∞.

Ne segue che, per x + la y e, per x la y

S S D P .

TUDIO DEL EGNO DELLA ERIVATA RIMA

Ricordando che (cfr. capitolo sulle derivate):

− D[P (x) + P (x) + … + P (x)] = D[P (x)] + D[P (x)] + … + D[P (x)]

1 2 n 1 2 n

− n n n−1

D(a x ) = a D(x ) = a nx

0 0 0

− D(x) = 1

− D(a ) = 0 dove con a si indica una qualunque costante

0 0

si ottiene, nell’esempio: − −

2 2

D(− x + 7x + 5) = D(− x ) + D(7x) + D(5) = 2x + 7 + 0 = 2x + 7

Per lo studio del segno della derivata prima si procede in maniera analoga a quanto fatto

precedentemente per lo studio del segno della funzione. Occorre, cioè, risolvere la disequazione:

D(y) > 0

Nel caso in esame, quindi: 7

<

− ⇒ ⇒ x

2x + 7 > 0 2x – 7 < 0 2 7

<

Ne segue che la derivata prima è positiva per , cioè:

x 2

7

=

x 2 − − − − − − − − − −

+ + + + + + + + + +

Crescenza Decrescenza

M

7

=

Per , valore in cui la derivata prima si annulla, la funzione presenta un Massimo M.

x 2 7

=

Per determinare l’ordinata corrispondente al valore dell’ascissa , è sufficiente sostituire tale

x 2

− 2

valore nella funzione di partenza y = x + 7x + 5. Pertanto si ha