Esercizi, Metodi Matematici per l'ingegneria 2

Name: Esercizi, Metodi Matematici per l'ingegneria 2
Rating: 5.0 (1 reviews)
Author: Julia Ires Luna

Revisionato il 02/09/2026

di Julia Ires Luna

Publisher

Vota 5,0/5 (1)

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

Appunti teorici, con esempi di esercizi spiegati e svolti, schemi per sostenere lo scritto di Metodi Matematici per l'ingegneria 2 - Prof.ssa C. Drago. Gli argomenti trattati sono i seguenti: …

Esame Metodi Matematici per l'ingegneria 2

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Drago Concettina Rita

Università Università degli Studi di Catania

A.A. 2013-2014

62 pagine

3 download

Appunto

Scarica

Estratto del documento

1) Successione di funzione

Convergenza puntuale

Data la successione di funzioni \( f_n(x) \).

Sia \( x \in [0; +\infty] \).

\( x = 0 \rightarrow f_n(x) = 0 \).

\( x > 0 \rightarrow \) fissiamo il limite.

La funzione limite è: \( f(x) = 0 \), \( x \in [0; +\infty) \).

Convergenza uniforme

Consideriamo la quantità: \( |f_n(x) - f(x)| = \ldots \).

Dobbiamo determinare l'estremo superiore.

\( |f_n(x) - f(x)| = \sup \), \( x \in [0; +\infty) \).

Verifichiamo che essa sia derivabile.

Vediamo se esistono massimo assoluto, derivando: \( f'_n(x) \) e trovando i valori per cui si annulla.

Sostituire il valore \( x_{max} \) nelle \( f_n(x) \).

Facciamo il limite: \(\lim_{m \to +\infty} \sup_{x \in [0;+ \infty)}|f_n(x)-f(x)| = \lim_{m \to +\infty} f_m(x_{max})=\).

Esercizio - Esempio

\( f_n(x) = \frac{mx+1}{mx^2+1} \) \( x \in [0; +\infty) \).

Convergenza puntuale.

Per \( x=0 \) \( f_n(0) = 1 \).

Per \( x>0 \) \(\lim_{m \to +\infty} \frac{mx+1}{mx^2+1} = 1\).

1) Successione di funzione

Convergenza puntuale

Data la successione di funzioni f_n(x).

Sia x ∈ [0;+∞].

x=0 → f_m(x)=0.

x>0 → lim x=0.

La funzione limite è: f(x)=0, x∈[0;+∞].

Convergenza uniforme

Consideriamo la quantità: |f_m(x)-f(x)| = ...

Dobbiamo determinare l'estremo superiore.

|f_m(x)-f(x)| = sup, x∈[0;+∞].

Verifichiamo che essa sia derivabile.

Vediamo se esistono massimo assoluto, derivando: f'_m(x) = ... Sostituire il valore x_max nelle f_m(x).

Facciamo il limite: lim sup |f_m(x)-f(x)| = ...

Esercizio - Esercizio

f_m(x) = ^mx+1/_mx²+1, x∈[0;+∞].

Convergenza puntuale.

Per x=0, f_m(0)=1.

Per x>0, lim ... la succ. converge puntualmente a 1.

La funzione limite è: f(x) = 1 ∀ x ∈ [0; +∞).

Convergenza uniforme

sup [0;+∞] |fₙ(x) - f(x)| = sup [0;+∞] |mx+1/nx²+1 -1| = sup [0;+∞] mx+1-nx²+1/nx²+1 = sup [0;+∞] mx(1-x)/nx²+1.

Studiamo il segno della derivata:

g'ₙ(x) = mn-2mx/2nx = 1-2x/2xn > 0.

1-2x > 0.
x ≤ 1/2n > 0.
2x > 0.
x > 0.

x = 1/2, massimo assoluto.

sup [0;+∞] mx(1-x)/nx²+1 = gₙ(1/2) = m·1/2(1-1/2) = m/4/m·1/4+1/n = m/n+m+4.

lim [n → +∞] sup [0;+∞] |fₙ(x) - f(x)| = lim [n → +∞] m/n+m+4 = 1 ≠ 0.

Si ha che la successione fₙ(x) non converge uniform!

1) Serie di funzione

Applichiamo uno dei criteri per cui (scritta la x) troviamo il nostro _p.

Studiamo cosa succede in quell'intervallo, sostituendo la _x degli estremi, in modo tale da sapere la convergenza.

Esercizio – Esempio

^+∞Σ _m=0 ^{x^m} _(m+1)2^m.

Applichiamo d'Alembert:

lim_n-->+∞ ¹ _(m+2)2^x2 = \rho _{= 2}.

Quindi per il f. di convergenza della serie di potenze, la serie converge puntualmente in: (-2; 2).

Studio negli estremi dell'intervallo.

Per x = 2, la serie diventa: ^+∞Σ _m=0 ^{2^m} _(m+1)2^m = ^+∞Σ _m=0¹_m+1.

Per il t. del confronto, per cui: ⁺¹_m+1 _{(serie di Mengoli)} --> converge.

lim _M-->+∞¹_M+1= 0 (condizione necessaria per la convergenza).

La serie ^+∞Σ _m=1¹_m+1 converge.

Analogamente, si verifica per x = -2.

Quindi, la serie di potenze data converge uniformemente e puntuale in [-2;2].

1) Serie di Fourier

f(x) = _a₀/₂ + Σ_^+∞m=1 [a_mcos(mx) + b_msen(mx)].

Periodo T=2π

a₀ = 1/π ∫_-π^π f(x)dx.

a_n = 1/π ∫_-π^π f(x)cos(mx)dx, m>0.

b_m = 1/π ∫_-π^π f(x)sen(mx)dx, m>1.

Periodo T≠2π

a₀ = 2/T ∫_-T/2^T/2 f(x)dx.

a_n = 2/T ∫_-T/2^T/2 f(x)cos((2πm/T)x)dx.

b_m = 2/T ∫_-T/2^T/2 f(x)sen((2πm/T)x)dx.

f(x) = _a₀

Anteprima

Vedrai una selezione di 14 pagine su 62