Algebra e Geometria - Spiegazione delle Tipologie di esercizi

Base del Kerf e Imf

x+z )!y_ +3 4Es) Data f: R R l'applicazione lineare definita da: zf (;) 2y=~ (z x+y+za) determinare una base di Kerf e di Imf

Il- Scrivo la matrice A associata al sistema lineare e riscrivo sitema uguagliando a O ogni rigaX {X+ +O z O z O= =2y O Y O= =2 + +{-2 2y z O x z O= =X -1 x+y+z=O x+z=O(iJ(~z) o vanno bene entrambi ma bisogna sceglierne solo uno.

Il il- Ho uguagliato sistema a O perché Kerf indica i valori di x, y, z che fanno risultare(O)f( ~)-zil sistema O, cioè: = ~_ Utilizzando (~z) si può ricavare una base di KerfBKerl{(~l)l1 ~z = + il3 è numero di variabili (x, y, z) dim B 3 - 1 2- dim B dim B 3 = == 1mfKerf 1mf- essendo dim B 2 prendo le prime 2 colonne di A per creare la B=1mf 1mf{(~HB'm' ~2)}= il

Determinare i valori di h

Determinare i valori di h uali vettore V artiene a Kerf=b)°1 METODO (consigliato)- sostituisco i valori di V nel sistema di partenza e risolvo il sistema:+ +h 1 2 O=Y= O {h + 3 = O ~ h = - 3h+1+2=0{ h+1+2=02° METODO (consigliato)

Il- calcolo rango della matrice che ha come prima riga V e come seconda la B Kerf+h 1 O 2) 2=(P -1 O 1 il- elimino la colonna con 2 zeri e calcolo determinante di ciò che rimaneh + 1 21 = h + 1 + 2 = O h =-3I -1 1

Diagonalizzabilità

k O)o(Es: 2) A 1 1 O p(A) 3= =3 O 1 k

a) discutere al variare di nei reali la diagonalizzabilità della seguente matriceG ~ D . G ~ Dlil_ trovare la matrice A _ lÀ e suo determinante [lÀ À= =k- O O)À(A - lÀ 1 1- À O detA - lÀ (k - À)(l - À)(l - À)= =3 O 1-À

- uguaglio il determinante a e trovo i valori che fanno annullare l'equazioneO 3(k _ À)(l _ À)(l- À) O À k, À 1, À 1 À{~= = = =k k- ora si considerano i casi al variare di e per ogni valore dato a si provano tutti i valori di (che in questo caso sono 2 cioè k e 1)À À{~k 1, 1= =À k-À O O) (O O O)O O O= = A- = ~ 1p(A - lÀ) =1-À 1=V(À) V(l) lÀ ( O 3 O O1-À

- E' diagonalizzabile se: n - p(A - lÀ) annullamenti di À n ordine matrice= =- gli annullamenti di À sono il numero di O presenti sulla diagonale della matrice A - lÀ1 = 2 = =non diagonalizzabile per k

In questo caso: 3 - 3 ~ 3 ~ è 1À{~k;" 1, 1=À Ok-À O) (k - O O)À0=100 p(A - lÀ) 1=1-ÀV(l) lÀ= A - = ~( 1-À 3 O OO diagonalizzabile per k 1

In questo caso: 3- 1 2 ~ 2 2 ~ è= = 1=

b) dato k O determinare una matrice diagonale simile ad A e relativa matrice diagonalizzante= ÀGk=O, À=OV(O) O- creo la matrice e ne risolvo il sistema associato ponendo le righe =(k - O O) (O O O) ( x )ÀV(O) = 1 1 - O = 1 O O {~ : R=~x ~ -x x EÀO 1- O O3 3 -3xÀÀGk=O, À=l-1 O O) (O)(V(l) {x O ~ ~ y, z R= ~ ~ ~ = E{G).GHDJ_ Utilizzo la base canonica con V(O) e V(l) ottenendo{(;;).GHDJ {G).GHDJV(O) V(l)= =G)_ Unisco V(O) e V(l) togliendo i ed ottengo:O O)1-1 1 OB = ( -3 O 1

Tipologie di esercizi

Regola di Cramer (3x3)

In un sistema con 3 equazioni e 3 incognite:+ +ax by cz = j+ + fzdx ey k={ + + lgx hy iz =

Può essere scritto come prodotto fra matrici:[~~~H~l[~l= l

Se la matrice 3x3 ha determinante diverso da O, il sistema ha una sola soluzione (x,y,z):a j ~lCl ba jbj kk det d edet dk fdet e [ [[ ~l g h l[= ~ z [a Cly = bx = [~~ =det d edet d e ~ det d e ~g h g hg hl lTrovare Parametri Direttori di una retta:

Trovare parametri direttori di una retta

X - {X -y + 2z - 1 = O y = 1 - 2z{r ~ r2x + y - z + 3 = O 2x + Y = z - 31- 2z -11z - 3 1 1 - 2z + z - 3 -z - 21 I~ 3 3~11=X l 1-2zlI 2 z- 3 z - 3 - 2 + 4z 5z - 5I~y= ~11 = 3 = 32 1x=----t 3 35 5r{ y=--+-t3 2z=t

Parametri direttori: ( - ~, ~, 1) ~ (-1,5,3)

Invertire matrice (quadrata)

2 -5 1)(Data A= O 2 -1 trovare A-lO O 3il (N)

1) Calcolo determinante di A e la sua traspostaO D~sA' 2det(A) 12= = ( -12) Applico complemento algebrico:Cl,l = + det (!1 ~) = 6 ~ cancello riga '1' e colonna '1' il~ indici di C (1 e 1), sommati danno un numero pari quindi metto + davanti al det(-5 O) ~ cancello riga '1' e colonna '2'Cl,2 = - det 1 3 = 15 il -~ indici di C (1 e 2), sommati danno un numero pdisari quindi metto davanti al det15A'=G 6 DO 1 15 16 15 3 - - -- -- 2 12 412 12 12C 15 1 16 23) A-l = O D=6 =O O1 - -- -det(A) O 2 612 12O 4 1O O O O- -12 3

Sistemi lineari al variare di k

Metodo) Sistemi lineari al variare di1 kERo +2 ky 2x =kx+2y=k{ ky+kz=k 2 k O)1) b=(D -k(k2( det(A) = - 4)A k 2 O= O k kk(k22) - - 4) = O ~ trovo le 'radici' ~ k=0,2,-2

Sappiamo quindi che il sistema ammette una sola soluzione quando k 0,2,-21=1 (2 k -k (2)O))2(3) L'unica soluzione è data da A-lb = - k(k2 _ 4) ~~2 !/k 4~ k ~ =21 ( 4 k - k (1)3 )2 20- k(k - 4) 2 k2 _ 2 k + 4 k _ k = L34)

Restano da studiare i casi k = 0,2, -2 nei quali il sistema può ammettere o no soluzioni.G) è \fkperò, soluzione del sistema R (compresi k 0,2, -2)=EG) G)+èOgni altra soluzione quindi del tipo: = (~)a) a{2 k b O+ =( b è soluzione del sistema omogeneo associato ad cioè: k a + 2 b = OA,c kb+kc=O

5) Sostituiamo i 3 valori di k nel sistema, e otteniemo le rimanenti tre soluzioni generali:

• 1: k = O ~ a = O, b = O, c E = ( ~ )R ~ (~ : ~)l+c l+cl-b)
• 2: k = 2 ~ a = -b, bER, c = -b ~ 0+ b = b( l-b l-b1 b) (1 b)+ +
• 3: k = -2 ~ a = b, bER, c = -b ~ 0+ b = bl-b l-b

Sistemi lineari al variare di k

Metodo) Sistemi lineari al variare di k2 R0 E+ +3 x 2 Y k z 11=2x-6y-3z=0{ kx+4y+2z=711) (3 2 k ) 2b = ~ A= ~ ~6 -;3 det(A) = 6 k + 2 k - 8( 4k2 k 16 + 2 k - 8 ~ trovo le 'radici' ~ = -- 3' 4k 1il 1= --

Sappiamo quindi che sistema ammette una sola soluzione quando 3'L'unica soluzione è data da A-lb = ... (calcolare collo Metodo)4 il

Restano da studiare i casi k = -"3,1 nei quali sistema può ammettere o no soluzioni.

3X+2 +Z=11Yx - z1: k 1 ~ 2 6 Y- 3 O= ={ x+4y+2z=7+ x - z(III) (II) 3 2 Y - 7= =(III) + (II) + (I) = 6 x = 18 ~ x= 3

Sostituisco la x trovata in (III) e (II):(III) = 3 + 4 Y + 2 z = 7 ., 3 + 4 Y+ 2 z = 7 cioè 4y+2z=4ClOe(II) = 6 - 6 Y - 3 z = O 4 - 4 Y- 2 z = OY ~z = 2- 2 z dipende da y RE~ ) è soluzione.( 2-2y 4z

3x+2y--=11 +3 x z9 6 Y - 4 33 ( I )=2x-6y-3z=0 2x-6y-3z=0 II{4x -4 x + 12 Y + 6 z = 21 III--+4y+2z=73+(I) - (II) 7 12 Y- z 33= x =(I) - (II) - (III) = llx - 7 z = 12(I) + (II) = llx-7z = 334

Con k = -"3 non esistono soluzioni.

Metodo di Gauss (con "specifiche")

Xl + x2 + 2 x3 + x4 = tm = 4 equazioni 2 Xl + 2 X2+ 3 X3+ 3 x~ - Xs = -tSistema lineare con n = 5 incognite Xl + 2 X2+ 3 X4- 2 Xs - t{ Xl + X2+ 3 X3+ 5 Xs = -t

Al variare di t E R ~1)t) (1 1 2 1b A 2 2 3 3= =-tt -21 2 O 3( 1 1 3 O 5-t o 1 1 1 12 2O t) O t)-1 -1 -1-t -3t12 3 3 OC(II) = (II) - 2 (I)(Alb) = -2 t -2 tO 3 O 32 25 -t 5 -t1 13 O 3 O1 12 O t)-1-1 -3t1O ~ (II) (III)