Concetti Chiave
- Le premier théorème d'Euclide affirme que chaque côté de l'angle droit d'un triangle rectangle est la moyenne géométrique entre l'hypoténuse et sa projection sur celle-ci.
- Dans un triangle rectangle ABC avec l'angle BÂC à 90°, un carré est dessiné sur AB, et H est le pied de la hauteur issue de A.
- Un rectangle avec des côtés HD=BC et BH est construit, formant un parallélogramme BALI et un triangle BFI égal au triangle ABC.
- Les triangles FBI et ABC sont égaux, ce qui implique que BI=HD par égalité et relation transitive avec BC.
- Les aires des figures géométriques démontrent que le carré Q, le rectangle R et le parallélogramme P ont la même surface, établissant une relation métrique importante.
Chaque coté de l'angle droit d'un triangle rectangle est moyenne géométrique entre l'hypoténuse et sa projection sur l'hypoténuse.
Construction géométrique
Soit ABC un triangle rectangle dont BÂC = 90°. Dessinons un carré sur AB et soit H le pied de la hauteur issue du sommet A. Dessinons ensuite un rectangle ayant comme côtés HD=BC et BH. Si l'on prolonge les deux segments BE et HD et le segment FG on obtient un
En fait nous avons:
- FB = AB en tant que côtés d'un même carré
-
, l'angle 
parce que c'est l'angle d'un carré et BÂC par hypothèse, -
parce que ce sont deux angles complémentaires du même angle 
.
Égalité des triangles
Ces trois relations sont suffisantes pour affirmer que les deux triangles FBI e ABC sont égaux. Par conséquent BI=BC et étant donné que BC=HD, par relation transitive BI=HD. Maintenant, si l'on considère le parallélogramme P et le rectangle R, on observe qu'ils ont la même base BI=HD et la même hauteur BH, donc ils ont la même surface (P≡R). <p style="text-align:center"><img src="/sezioni/maths/euclide7.gif" style="border:none"> Il en est de même pour le carré Q et le parallélogramme P vu qu' ils ont la même base AB et la même hauteur BF, donc Q≡P ; par la relation transitive, si Q≡P et P≡R, il en suit que Q≡R.
Relations métriques
Passons maintenant aux relations métriques: Aire du carré = AB2, aire du rectangle = BH BC , B2 = BH BC et enfin la thèse:
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