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Modulo IV – Algebra delle matrici

Il prodotto del vettore per lo scalare è il vettore il cui elemento -esimo è

d⋅a a d i

=

dato dal prodotto di per l'elemento di posto in : d , , Dati due

d i a a [da da … da ]′.

1 2 n

vettori di uguale dimensione e e due scalari ed , si verificano

a b d f

immediatamente le proprietà

= =

( , (

d a+b) da+db d+f)a da+fa

= = =

( ( , (

d fa) f da) dfa da+fb)′ da′+fb′

L’operazione di prodotto per uno scalare ci permette di definire la differenza fra

due vettori e che si ottiene moltiplicando il secondo per lo scalare –1 e

a b,

sommandolo al primo: – = + (-1)×b = [ a –b , a –b , …, a –b ]’.

a b a 1 1 2 2 k k

Si chiama prodotto scalare (o interno) di due vettori e che hanno la

a′b a b

stessa dimensione lo scalare

n n

∑ (1.1.3)

′ =

a b a b

i i

=

i 1

per cui la somma dei quadrati degli elementi di un vettore può

a=[a a … a ]′

1 2 n

essere espressa mediante il prodotto scalare

n

∑ (1.1.4)

′ = 2

a a a i

=

i 1

La devianza totale o residuale in un modello di regressione costituisce un

esempio di prodotto scalare del tipo (1.1.4), dove si ponga a u .

i t

Si noti che la (1.1.4) esprime anche il quadrato della lunghezza o modulo o

norma Euclidea del vettore. Quest’ultima viene indicata con la notazione:

′ n

= = (1.1.5)

2

a a a a i

=

i 1

Esempio 1.1 - Dati due vettori riga , , il loro vettore

a′=[1 3 5] b′=[3 2 2]

somma è = =

c′ a′+b′ [4 5 7]

mentre il loro prodotto scalare è

= + + =

a′b 1×3 3×2 5×2 19

Se, poi, consideriamo lo scalare , si ha

4

=

4a [4 12 20]′ + +

Infine, la lunghezza del vettore è pari a =

2 2 2

a 1 3 5 35

Dati due vettori e diversi entrambi dal vettore nullo si dimostra che il

a b

θ

coseno dell’angolo da essi formato è dato dall’espressione 1-3


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AUTORE

Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto analizza i vettori come sviluppati nel corso di Algebra delle matrici, tenuto dal professor Francesco Carlucci. Nello specifico si parla di: prodotto d×a del vettore a per lo scalare d, L’operazione di prodotto per uno scalare, differenza fra due vettori a e b, norma Euclidea del vettore, vettore 0.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra delle matrici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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