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Modulo II – Minimi quadrati

residui intervallati di quattro o di dodici tempi. La terza delle ipotesi deboli (1.6.10)

sui residui viene quindi a cadere.

A titolo di esempio si osservi nella figura 3.5 il correlogramma dei residui

dell’equazione (3.2.19), rappresentati a loro volta nella figura 3.4. Il correlogramma

3.5 presenta un picco a tutti i ritardi stagionali (cioè ai ritardi multipli interi della

cadenza stagionale, che per dati trimestrali è uguale a quattro) e rende quindi

evidente un fenomeno che già l’osservazione diretta del grafico 3.4 lascia intuire,

ovvero l’esistenza di cicli stagionali nei residui. Questo fenomeno è prevedibile. La

figura 1.3 infatti mostra che le variabili coinvolte nella stima hanno tutte una

marcata stagionalità, ma il profilo di questa stagionalità differisce dall’una

all’altra: ad esempio, la serie dei consumi ha un andamento più livellato di quella

delle importazioni e degli investimenti. Queste differenze si scaricano sul residuo

dell’equazione, determinandone la stagionalità.

Può, d’altro canto, succedere che la conformazione stagionale dell’endogena sia

ben rappresentata da un carattere analogo presentato dalla parte sistematica

dell’equazione. In questo caso i residui posseggono covarianze nulle ai ritardi

stagionali ma può sussistere il problema che la significatività dell’equazione sia in

gran parte (o totalmente) dovuta proprio alle stagionalità simili presenti nella

variabile endogena e nell’insieme delle esogene. La bontà della relazione stimata

viene quindi, in questa situazione, a dipendere dalle caratteristiche stagionali e

non da una effettiva associazione economica.

La depurazione stagionale con il criterio dei minimi quadrati

Per ovviare a questi problemi è necessario le serie campionarie delle

depurare

stagionalità prima di utilizzarle nella costruzione di equazioni econometriche. Per

{y }

eliminare le stagionalità nella serie storica si può aggiungere ai suoi elementi

t

una costante che varia da trimestre a trimestre o da mese a mese a seconda della

b

cadenza: a titolo esemplificativo, nel primo caso si ha

= + d

y b y

1 1 1

= + d

y b y

2 2 2

= + d

y b y (3.3.1)

3 3 3

= + d

y b y

4 4 4

= + d

y b y

5 1 5

...

con le quattro costanti che si ripetono ogni anno. La variabile con l’indice non

d

{ }

presenta più stagionalità e forma la serie se vale l’ipotesi di

destagionalizzata d

y t { }

configurazione stagionale costante nel tempo; se la stagionalità è variabile la d

y t

è destagionalizzata soltanto approssimativamente. 3-17

Modulo II – Minimi quadrati

Utilizzando quattro variabili di comodo (stagionali) , le (3.3.1)

d , d , d , d

1t 2t 3t 4t

possono essere definite tramite l’equazione

= + + + + (3.3.2)

d

y b d b d b d b d y

t 1 1

t 2 2 t 3 3 t 4 4 t t

con  = + + (3.3.3)

1 t i

, i 4 , i 8 ,...

= =

d i 1

, 2 , 3

, 4

≠ + +

it  0 t i

, i 4 , i 8

,...

La (3.3.2) può essere scritta nella forma compatta

= + (3.3.4)

d

y Sb y = ′

dove è il vettore delle destagionalizzate, è il vettore dei fattori

d d

y y b [b b b b ]

1 2 3 4

e la matrice di ordine è formata dalle quattro

di destagionalizzazione S n×4

variabili di comodo  

1 0 0 0

 

0 1 0 0

 

 

0 0 1 0

 

=

S 0 0 0 1

  (3.3.5)

 

1 0 0 0

 

 

0 1 0 0

 

 

... ... ... ...

3.4 - A causa della presenza delle variabili di comodo,

Osservazione

nella (3.3.2) manca l’intercetta. Se la si volesse inserire, le variabili di

comodo sarebbero soltanto tre.

Ovviamente, se la cadenza dei dati è mensile, le variabili di comodo nella (3.3.2)

sono dodici e l’ordine della matrice è .

S n×12

La stima di è facilmente ottenuta utilizzando il criterio dei minimi quadrati

b { }

ordinari sull’equazione (3.3.2) dove la serie dei residui costituisce la variabile

d

y t

destagionalizzata e dove l’intercetta è data dall’insieme dei coefficienti delle

variabili di comodo; considerando la (3.3.4) si ha

−1

= ′ ′

ˆ

b ( S S ) S y

per cui (3.3.6)

−1

= − = − ′ ′ =

ˆ

d

y

ˆ y S b y S (

S S ) S y My

dove 3-18

Modulo II – Minimi quadrati

′ ′

−1

= − (3.3.7)

M I S (

S S ) S

Queste ultime due relazioni indicano che la serie destagionalizzata è ottenuta come

{y }

combinazione lineare, mediante la matrice , delle serie originale .

M t

La matrice è del tipo (1.7.4), quindi simmetrica ed idempotente; si vede,

M

inoltre, immediatamente che = 0 (3.3.3)

MS

L’idempotenza di è una caratteristica interessante della depurazione

M

stagionale operata con variabili di comodo, poiché permette di stabilire che tale

procedura è ininfluente se eseguita su di una serie già destagionalizzata; infatti, se

questa è , si ha

My = = (3.3.9)

d

y

ˆ M (

My

) My

40000

35000

30000

25000

20000

15000

10000

1970Q1 1972Q3 1975Q1 1977Q3 1980Q1 1982Q3 1985Q1 1987Q3

M Fitted

Figura 3.6 – La serie storica non destagionalizzata delle importazioni di beni e servizi a

prezzi 1980 e la stima dei fattori di destagionalizzazione effettuata con la (3.3.2).

A titolo di esempio, possiamo destagionalizzare con la (3.3.4) la serie storica

delle importazioni, che costituisce la variabile dipendente della (3.2.18) ed è già

stata rappresentata nella figura 1.2. Stimando la (3.3.2) otteniamo

^ =

y 22189.7 d + 22568.7 d + 20966.5 d + 23567.8 d

t 1t 2t 3t 4t

(18.8) (19.1) (17.7) (19.9)

= = =

2 2

n = 80, R 0.031, R = -0.006, RSS 2.12E+09, SEE 5275.8, JB = 6.79

c

Si noti che tutti i fattori di destagionalizzazione sono fortemente significativi,

anche se la bontà complessiva del modello è scarsa, con un coefficiente di

3-19

Modulo II – Minimi quadrati

determinazione corretto addirittura negativo. Questo è un risultato ovvio e non

preoccupante, essendo determinato dal fatto che la (3.3.4) si propone di catturare

solo un aspetto della serie, cioè la sua stagionalità. Di conseguenza, se il contributo

di questa alla variabilità complessiva della serie è relativamente piccolo, come

accade per serie dotate di forte tendenza, la devianza non spiegata dalla (3.3.4)

sarà relativamente grande e il coefficiente di determinazione piccolo.

La figura 3.6 propone il grafico dei valori storici e di quelli stimati, che

costituiscono una stima delle stagionalità della serie. Il residuo stimato, che

corrisponde alla serie destagionalizzata, è rappresentato nella figura 3.7. Il

confronto con la figura 3.6 rende evidente come l’applicazione della (3.3.4) abbia in

effetti contribuito a livellare alquanto il profilo stagionale della serie.

15000

10000

5000

0

-5000

-10000

-15000

1970Q1 1972Q3 1975Q1 1977Q3 1980Q1 1982Q3 1985Q1 1987Q3

Figura 3.7 – La serie storica delle importazioni di beni e servizi a prezzi 1980

destagionalizzata con i fattori stimati mediante la (3.3.2) mostrati nella precedente figura

3.6.

Stagionalità variabile

In molti casi gli effetti della stagionalità, sia pure periodici, non sono costanti nel

tempo ma variano, ad esempio aumentando o diminuendo il modo lineare. Questo

fenomeno si presenta con grande frequenza nel caso di serie storiche espresse in

termini nominali, la cui variabilità, anche stagionale, aumenta nel tempo per

effetto dell’inflazione. La figura 3.8 esemplifica questo andamento con riferimento

alla serie dell’indice dei salari nominali nel settore manifatturiero in Italia (dati

trimestrali grezzi dal 1979:1 al 1988:4).

In questo caso la (3.3.2) deve essere sostituita con l’equazione seguente

= α + α + α + α + α + α + α + α + (3.3.10)

d

y b ( t )

d b ( t )

d b ( t ) d b ( t ) d y

t 1 0 1 1

t 2 0 1 2 t 3 0 1 3 t 4 0 1 4

t t 3-20

Modulo II – Minimi quadrati

nella quale si vede chiaramente come i fattori di destagionalizzazione varino

linearmente ne l tempo con lo stesso andamento.

400

300

200

100

0

1979Q1 1980Q2 1981Q3 1982Q4 1984Q1 1985Q2 1986Q3 1987Q4

Quarters

Figura 3.8 - L’indice dei salari nominali nel settore manifatturiero in Italia (dati trimestrali

grezzi dal 1979:1 al 1988:4). Si tratta di un tipico caso di serie con ciclo stagionale di

ampiezza crescente.

La (3.3.10) può essere scritta nel modo

4 4

∑ ∑

= β + γ + d (3.3.11)

y d q y

t i it i it t

= =

i 1 i 1

dove le variabili di comodo sono ancora definite dalla (3.3.3) e le altre dalla

d q

it it

= =1, (3.3.12)

q t⋅d i 2, 3, 4

it it

Per stimare i fattori di destagionalizzazione nella (3.3.11) si può utilizzare

ancora il criterio dei minimi quadrati applicati alla forma (3.3.4) nella quale ora

= β β β β γ γ γ γ e la matrice di ordine è data da

b [ ] S n×8

1 2 3 4 1 2 3 4

 

1 0 0 0 1 0 0 0

 

0 1 0 0 0 2 0 0

 

 

0 0 1 0 0 0 3 0 (3.3.13)

 

=

S 0 0 0 1 0 0 0 4

 

 

1 0 0 0 5 0 0 0

 

 

0 1 0 0 0 6 0 0

 

 

... ... ... ... ... ... ... ... 3-21

Modulo II – Minimi quadrati

Nel caso della serie dei salari rappresentata nella figura 3.8 la procedura di

destagionalizzazione con la (3.3.11) fornisce la serie rappresentata nella figura 3.9.

Plot of Residuals and Two Standard Error Bands

50

40

30

20

10

0

-10

-20

-30

-40

-50 1988Q4

1979Q1 1980Q2 1981Q3 1982Q4 1984Q1 1985Q2 1986Q3 1987Q4

Quarters

Figura 3.9 – L’indice dei salari nominali della figura 3.8 destagionalizzato con la (3.3.11).

Stagionalità additiva o moltiplicativa

Nella (3.3.2) i fattori di destagionalizzazione sono nel senso che

additivi

aggiungono o sottraggono ad una quantità variabile a seconda della sua

y

t

conformazione stagionale. In alcune circostanze, tuttavia, è più conveniente

rappresentarli nella forma che ritorna ad essere del tipo (3.3.2) se si

moltiplicativa,

prendono i logaritmi dei due membri

= (3.3.14)

d d d d d

y b b b b y

1

t 2 t 3 t 4 t

t 1 2 3 4 t

La generalizzazione della stagionalità moltiplicativa al caso variabile del punto

precedente è lasciata al lettore.

È interessante osservare che il modello moltiplicativo fornisce una

rappresentazione più parsimoniosa, ma spesso ugualmente valida, delle

stagionalità variabili. Ciò deriva dal fatto che la trasformazione logaritmica,

“schiacciando” in modo più che proporzionale i valori più elevati, contribuisce a

stabilizzare la varianza della serie, e quindi anche quella del suo ciclo stagionale. A

titolo di esempio si osservi, nella figura 3.10, il grafico del logaritmo dell’indice dei

salari nominali grezzi rappresentato nella figura 3.8. La serie logaritmizzata ha

stagionalità di ampiezza stabile, le quali quindi si prestano ad essere rappresentate

mediante il modello (3.3.2), che ora diventa

= + + + +

ln d

y b d b d b d b d y

t 1 1

t 2 2 t 3 3 t 4 4 t t 3-22

Modulo II – Minimi quadrati

anziché con il più complicato (3.3.11). Ma prendendo gli antilogaritmi dell’ultima

formula otteniamo appunto il modello moltiplicativo (3.3.14).

6.0

5.5

5.0

4.5

4.0

1979Q1 1980Q2 1981Q3 1982Q4 1984Q1 1985Q2 1986Q3 1987Q4

Quarters

Figura 3.10 – Il logaritmo dell’indice dei salari nominali grezzi rappresentato nella figura

3.8. È evidente come la trasformata logaritmica stabilizzi la varianza del ciclo stagionale. Di

converso, ciò significa che le stagionalità della variabile in unità naturali possono essere

rappresentate adeguatamente dal modello moltiplicativo (3.3.14).

Stimando il modello (3.3.2) con i logaritmi dei salari nominali grezzi otteniamo

^ =

ln y 4.92 d + 5.05 d + 5.04 d + 5.27 d

t 1t 2t 3t 4t

(39.9) (41.0) (40.9) (42.8)

= = =

2 2

n = 80, R 0.105, R = 0.030, RSS 5.46, SEE 5.07, JB = 3.13

c

e i relativi valori destagionalizzati sono rappresentati nella figura 3.11, dalla quale

si vede che il modello moltiplicativo contribuisce a livellare, ma non elimina del

tutto, le ciclicità stagionali.

La conservazione dei volumi { }

In effetti, non è conveniente utilizzare come serie destagionalizzata se la sua

d

ŷ t

media è diversa da zero oppure se essa possiede una tendenza. Nel primo caso,

n n

∑ ∑

= ≠ =

infatti, pur se , si ha che in virtù della (1.4.18) e

d

ˆ

y / n y 0 y 0

t t

= =

t 1 t 1

considerando che i coefficienti delle variabili di comodo formano l’intercetta. Questo

azzeramento della somma dei dati destagionalizzati è un difetto della procedura

3-23

Modulo II – Minimi quadrati

poiché per ragioni di contabilità è generalmente utile che la somma dei dati

destagionalizzati coincida con la somma dei dati originali (conservazione dei

si usa porre, allora,

volumi); = + (3.3.15)

c d

ˆ ˆ t = 1, 2, …, n

y y y

t t

ottenendosi una serie che al tempo stesso è destagionalizzata e conserva i volumi.

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

1979Q1 1981Q3 1984Q1 1986Q3

Figura 3.11 – La serie storica dei salari nominali (in logaritmi) destagionalizzata col

modello moltiplicativo.

40000

35000

30000

25000

20000

15000

10000

1970Q1 1972Q3 1975Q1 1977Q3 1980Q1 1982Q3 1985Q1 1987Q3

M MDEST

Figura 3.12 – La serie delle importazioni destagionalizzata con la conservazione dei volumi.

3-24

Modulo II – Minimi quadrati

La figura 3.12 rappresenta la serie storica delle importazioni destagionalizzata

e trasformata con la (3.3.15).

40000

30000

20000

10000

0

-10000 1989Q4

1970Q1 1972Q3 1975Q1 1977Q3 1980Q1 1982Q3 1985Q1 1987Q3

Figura 3.13 – Il grafico dei valori storici e stimati delle importazioni ottenuti con il modello

(3.3.17). I valori stimati coincidono in questo caso con il ciclo stagionale centrato sullo zero,

in virtù delle proprietà delle variabili di comodo centrate (3.3.16). Sottraendo ai valori

storici questa stima centrata del ciclo stagionale si ottiene una serie destagionalizzata che

conserva i volumi (si veda la figura 3.14).

Lo stesso risultato di conservazione dei volumi si ottiene utilizzando al posto

delle variabili di comodo definite dalla (3.3.3) quelle centrate, definite come

 = + +

0 . 75 t i

, i 4 , i 8 ,...

= =

d (3.3.16)

i 1

, 2

, 3

, 4

− ≠ + +

it  0 . 25 t i

, i 4 , i 8

,...

Le si ottengono sottraendo alle la loro media, che nel caso il campione

d

d it

it

comprenda un numero intero di anni è pari a 0.25. Si noti che ognuna delle è

d

( ) it

= − + +

perfettamente collineare alle altre tre. Si ha, ad esempio, . Di

d d d d

1

t 2 t 3 t 4 t

conseguenza solo tre delle possono essere inserite contemporaneamente in una

d it

regressione e la (3.3.2) diventa

= + + + (3.3.17)

c

ˆ

y b d b d b d y

t 1 1 t 2 2 t 3 3 t t

dove ora il residuo conserva i volumi, dato che le variabili di comodo, essendo

centrate, non sottraggono alla la propria media campionaria.

y

t

Nel caso delle importazioni la stima del modello con variabili di comodo (3.3.17)

centrate fornisce i seguenti risultati 3-25

Modulo II – Minimi quadrati

^ =

y -1378.1 - 999.1 - 2601.3

d d d

t 1t 2t 3t

(-0.1) (-0.1) (-0.3)

= = =

2 2

n = 80, R -18.2, R = -18.1, RSS 4.20E+10, SEE 23349.8, JB = 55.74

c

Il grafico dei valori storici e stimati è riportato nella figura 3.13 e da esso

risulta evidente che la (3.3.17) fornisce una stima del ciclo stagionale centrata sullo

zero. Sottraendo questa stima alla serie originale otteniamo il residuo della

(3.3.17), cioè la serie destagionalizzata che conserva i volumi (la stessa

rappresentata nella figura 3.12).

Destagionalizzazione in presenza della tendenza

Nel secondo caso citato all’inizio del punto precedente, ovvero quando la variabile

possiede una tendenza, sussiste il difetto di una distorsione delle stime dei fattori

di destagionalizzazione indotta dalla presenza della tendenza nella serie originale.

Infatti, sempre nel caso della cadenza trimestrale dei dati, facilmente estendibile a

quello della cadenza mensile, se è multiplo di 4, come accade generalmente, si ha

n

=

S [I I … I ]′

4 4 4

= + + = =

S′S [I I I I …+ I I ] <n/4 , n/4 , n/4 , n/4> (n/4)⋅I

4 4 4 4 4 4 4

per cui 4 ′

= ⋅ =

ˆ

b [

I I ...

I ]

y [ y y y y ]

4 4 4 1 2 3 4

n

=1,2,3,4

dove , , indica la media aritmetica delle relative al solo trimestre

y i y

t

i

-esimo. In tale maniera, la presenza della tendenza nella serie originale aumenta

i

di per sé i valori dei fattori stagionali man mano che si passa dal primo al quarto,

se è crescente; li diminuisce se decrescente.

Per depurare correttamente una serie delle stagionalità, allora, è necessario

eliminare anche la tendenza; ad esempio, mediante un polinomio del tipo (I-2.8.3).

Combinando questo e la (3.3.2) si ottiene

= + + + + + + + + (3.3.18)

2 p *

y a t a t ... a t b d b d b d b d y

t 1 2 p 1 1 t 2 2 t 3 3

t 4 4 t t

{ }

dove è la serie depurata sia della tendenza che delle stagionalità. Si osservi

*

ˆ

y t

che nella (3.3.18) è stato tolto il termine di grado zero in a causa della presenza

t

delle variabili di comodo.

Scrivendo la (3.3.18) per tutte le si ottiene, in forma sintetica

t

= + + *

y Pa Sb y

dove e

a=[a a … a ]

1 2 p 3-26

Modulo II – Minimi quadrati

 

2 p

1 1 ... 1

 

2 p (3.3.19)

2 2 ... 2

 

 

= 2 p

P 3 3 ... 3

 

 

... ... ... ...

 

2 p

 

n n ... n

ed ancora  

a

= + *

 

y [

PS ] y

 

b

dalla quale si traggono le stime dei minimi quadrati ordinari sia per i coefficienti a

che per gli altri b − −

1

′ ′ ′ ′ ′

1

 

         

ˆ

a P P P P P S P y

′ ′    

= = = (3.3.20)

1  

     

   

[( PS ) ( PS )] ( PS ) y ( PS ) y

′ ′ ′ ′ ′

ˆ

      

 

b S S S P S S S y

La serie destagionalizzata con la correzione della tendenza

Poiché si può dimostrare in algebra matriciale che data la matrice partizionata

nella seguente maniera  

A A

= 11 12

  (3.3.21)

A 

A A

21 22

dove ed sono matrici quadrate non singolari, l’inversa della può essere

A A A

11 12

scritta nella forma − − − −

 

+ −

1 1 1 1

A A A B A A A A B

− =

1 11 11 12 22 21 11 11 12 22

  (3.3.22)

A −

− 1

 

B A A B

22 21 11 22

− −

= −

con , il vettore nella (3.3.22) vale

1 1 b̂

B ( A A A A )

22 22 21 11 12

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

− −

= − + = − = =

ˆ 1 1

b B ( S P )( P P ) P y B S y B S [

I P ( P P ) P ]

y B S Qy

22 22 22 22 (3.3.23)

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

− − −

= − =

1 1 1

[

S S S P ( P P ) P S ] S Qy [

S QS ] S Qy

avendo posto -1

Q = I−P(P′P) P′

{y }

Allora la serie soltanto destagionalizzata vale

t { }

−1

= − = − ′ ′

ˆ

d

y

ˆ y S b I S

[

S QS ] S Q y

ancora pari ad una trasformazione lineare di .

y 3-27

Modulo II – Minimi quadrati

Nel caso della serie delle importazioni, che effettivamente presenta una

tendenza crescente (come risulta dalla figure 3.6 o 3.13) possiamo stimare il

modello (3.3.18) nel quale poniamo inizialmente (tendenza parabolica) per

p = 2

tener conto del fatto che la tendenza appare non perfettamente rettilinea. La stima

fornisce i seguenti risultati

^ =

ln y 2

16582.1 d + 16758.0 d + 14948.3 d + 17337.5 d +25.36 t + 2.24 t

t 1t 2t 3t 4t

23 27

(26.4) (26.5) ( .5) ( .1) (0.8) (5.9)

= = =

2 2

n = 80, R 0.913, R = 0.907, RSS 1.89E+08, SEE 1600.1, JB = 2.71

c

dai quali si vede come il termine di secondo grado in sia significativo,

t

confermando così l’ipotesi che la tendenza sia parabolica. Il grafico dei valori storici

e di quelli stimati è riportato nella figura 3.14, mentre la 3.15 riporta i residui

stimati, cioè la serie delle importazioni contemporaneamente detrendizzata e

destagionalizzata.

40000

35000

30000

25000

20000

15000

10000 1989Q4

1970Q1 1972Q3 1975Q1 1977Q3 1980Q1 1982Q3 1985Q1 1987Q3

Figura 3.14 – Valori storici e stimati del modello (3.3.18) stimato con la serie delle

importazioni ponendo p = 2 (tendenza parabolica).

La stima del modello con le serie destagionalizzate

Per stimare il modello contenente serie storiche tutte destagionalizzate

= + (3.3.24)

* * *2 *

y [ x x ...

x ]

b u

1 k

dove è il vettore colonna relativo alla -esima variabile, non è necessario

* i

x i

eliminare preliminarmente la stagionalità in ciascuna serie e poi effettuare la

stima. È più conveniente seguire un’altra strada, più immediata: se infatti le serie

destagionalizzate sono 3-28

Modulo II – Minimi quadrati

= − −

*

y y Pa Sc

0 0

= − − =

*

x x Pa Sc i 1

, 2

,..., k

i i i i

dove la matrice data dalla (3.3.19) e la dalla (3.3.5), il modello lineare generale

P S

destagionalizzato (3.3.24) è equivalente all’altro

− −

 

1 1

= − − +

   

y Xb [

Pa Pa ... Pa ] [

Sc Sc ... Sc ] u

0 1 k 0 1 k

   

b b

cioè + + + + + +

= + − − + − + − − + − + (3.3.25)

y Xb ( Pa Pa Pa ... Pa ) (

Sc Sc Sc ... Sc ) u

0 1 2 k 0 1 2 k

+ +

= =

dove si è posto , , per . Ma la (3.3.25) può essere scritta

i =1,2,…,k

a a b c c b

i i i i i i

nella forma + + + (3.3.26)

y = Xb Pa Sc u

k k

∑ ∑

+ +

− = − =

avendo posto , , ed è quindi conveniente stimare

a a a c c c

0 i 0 i

= =

i 1 i 1

contemporaneamente i parametri del modello lineare, i fattori di

b

destagionalizzazione ed i parametri della tendenza all’interno del modello

c a

(3.3.26).

4000

3000

2000

1000

0

-1000

-2000

-3000

-4000 1989Q4

1970Q1 1972Q3 1975Q1 1977Q3 1980Q1 1982Q3 1985Q1 1987Q3

Figura 3.15 – La serie delle importazioni detrendizzata e destagionalizzata con la (3.3.18).

Possiamo ora riprendere la funzione delle importazioni (1.10.1), che nella

(3.2.18) è stata aumentata con una puntuale per tener conto di

dummy

un’osservazione anomala nel primo trimestre del 1973. Come abbiamo visto

all’inizio di questo paragrafo i residui della (3.2.19) mostrano stagionalità (si veda

3-29

Modulo II – Minimi quadrati

la figura 3.5), perché il ciclo stagionale delle importazioni, esaminato in dettaglio in

questo paragrafo, non coincide con quello delle variabili esplicative. Aumentiamo

quindi il modello (3.2.18) con tre variabili di comodo (si ricordi che il modello

contiene l’intercetta, per cui vale l’osservazione 3.4) e con una tendenza parabolica

= β β β β β δ

+ + + + + (3.3.27)

lny lnx lnx lnx lnx d +

73,t

1 2 1 3 2 4 3 5 4

t t t t t

2

+ a t + a t + b d + b d + b d + u

1 2 1 1t 2 2t 3 3t t

La stima della (3.3.27) fornisce i seguenti risultati

= −

ln ŷ +

-7.31 + 0.783 lnx + 0.785 lnx 0.081 lnx - 0.128 lnx

t 1t 2t 3t 4t

(-4.1) (4.0) (13.4) (-2.5) (-2.2)

2

+ 0.057 d + 0.003 t + 0.00001 t + 0.033 d + 0.0002 d

73,t 1t 2t (3.3.28)

(2.4) (1.22) (1.13) (3.21) (0.02)

− 0.020 d 3t

(-1.7) = = =

2 2

n = 80, R 0.992, R = 0.990, RSS 0.032, SEE 0.021, JB = 1.95

c

Nella (3.3.28) i coefficienti della tendenza non sono significativi. Questo

risultato è plausibile e dipende dal fatto che la tendenza della variabile dipendente

è spiegata da quella delle esplicative. Si noti anche che la variabile , che misura i

x 4t

prezzi interni, ha ora segno negativo in disaccordo con la teoria (secondo la quale

un aumento dei prezzi interni determina un aumento della domanda di beni

importati). Questo risultato può essere dovuto al fatto che nel modello sono

presenti due variabili irrilevanti (la tendenza lineare e quella quadratica)

entrambe fortemente correlate con la serie dei prezzi. Siamo quindi in presenza di

una distorsione determinata da multicollinearità.

Per ovviare a questi problemi ristimiamo la (3.3.27) eliminando la tendenza.

Otteniamo le stime

= −

ln ŷ -9.81 + 1.007 lnx + 0.798 lnx 0.155 lnx + 0.013 lnx +

t 1t 2t 3t 4t

(-8.3) (7.1) (13.3) (-10.2) (0.4) (3.3.29)

+ 0.054 d + 0.047 d + 0.012 d 0.016 d

73,t 1t 2t 3t

(2.2) (5.2) (1.3) (-1.4)

= = =

2 2

n = 80, R 0.991, R = 0.990, RSS 0.036107, SEE 0.022, JB = 2.46

c

nelle quali ora i prezzi interni entrano con il segno atteso, anche se hanno un

coefficiente non significativo. La correzione della stagionalità migliora la bontà

3-30

Modulo II – Minimi quadrati

della rappresentazione fornita dal modello, che passa da un nella

2

R = 0.985

c

(3.2.19) a un . I valori storici e quelli stimati sono riprodotti nella figura

2

R = 0.990

c

3.16, che testimonia il buon adattamento ai dati del modello prescelto.

10.5

9.5

1970Q1 1972Q3 1975Q1 1977Q3 1980Q1 1982Q3 1985Q1 1987Q3

Figura 3.16 – I valori storici delle importazioni e quelli stimati col modello (3.3.29).

Autocorrelation function of residuals, sample from 1970Q1 to 1989Q4

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4 1818

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Order of lags

Figura 3.17 – Il correlogramma dei residui della (3.3.29). Dal confronto con la figura 3.5,

che riporta il correlogramma dei residui della (3.2.19), si nota come la correzione della

stagionalità mediante le variabili di comodo abbia eliminato i picchi stagionali del

correlogramma.

Un’altra indicazione del miglioramento apportato al modello si ricava da

correlogramma dei residui, raffigurato nella 3.17, dalla quale risulta chiaramente

come la correzione con le variabili di comodo abbia eliminato le autocorrelazioni

stagionali dei residui. 3-31

Modulo II – Minimi quadrati

3.4 Un test di cambiamento strutturale per il modello

lineare semplice

In questo paragrafo e nel successivo affrontiamo l’ipotesi di invarianza strutturale,

considerandola innanzitutto con riferimento alla semplice equazione del consumo

β β

(1.3.1) e verifichiamo che i suoi due parametri e rimangano invariati

1 2

nell’intero campione, contro l’alternativa che essi cambino passando da una prima

parte del campione, di ampiezza , ad una seconda, di ampiezza . Dal punto di

n n

1 2

vista economico questo cambiamento ha un significato rilevante, soprattutto per

β

quanto riguarda la propensione marginale al consumo , che raramente rimane

2

costante nel medio-lungo periodo.

In presenza di cambiamento cambiamento strutturale si ha

=

= β + β + nel primo sottoperiodo (3.4.1)

t 1

,

2

,..., n

y x u 1

t 11 12 t t = + +

= β + β + nel secondo sottoperiodo (3.4.2)

t n 1

,..., n n

y x u 1 1 2

t 21 22 t t

dove il primo indice di ogni coefficiente indica il regime, e il secondo la variabile cui

il coefficiente è riferito.

La forma matriciale (1.4.4) diventa

     

y 1 x 0 0 u

1 1 1

     

y 1 x 0 0 u

     

2 2 2

     

β

 

... ... ... ... ... ...

     

11

 

β

y 1 x 0 0 u

     

 

n n n

= +

12

1 1 1

     

 

β

y 0 0 1 x u

+ + +

     

n 1 n 1 n 1

21

 

1 1 1

β

     

 

y 0 0 1 x u

+ + +

n 2 n 2 n 2

22

1 1 1

     

... ... ... ... ... ...

     

     

y 0 0 1 x u

     

+ + +

n n n n n n

1 2 1 2 1 2

cioè, in termini compatti β

       

y X 0 u

= +

1 1 1 1

        (3.4.3)

β

  

y 0 X u

2 2 2 2

con ovvie definizioni dei vettori e delle matrici indicati. 3-32

Modulo II – Minimi quadrati

La stima dei minimi quadrati ordinari è facilmente calcolata

′ ′

1

 

         

β

ˆ  

X 0 X 0 X 0 y

= =

1 1 1 1

 

1        

 

β  

ˆ        

0 X 0 X 0 X y

   

2 2 2 2

2 (3.4.4)

′ ′

1  ′ ′ 

    1

X X 0 X y ( X X ) X y

= =

1 1 1 1 1 1 1 1

 

   

′ ′ ′ ′

1

     

0 X X X y ( X X ) X y

2 2 2 2 2 2 2 2

ed è uguale a quella che si otterrebbe stimando separatamente le due equazioni

(3.4.1) e (3.4.2). Le ipotesi sotto le quali è valida la stima OLS sono le (1.4.9)

adattate al caso presente

n >2 , r(X )=2 ; n >2 , r(X )=2

1 1 2 2

Se invece il cambiamento strutturale non vale, si verifica l’ipotesi nulla

β = β = β β = β = β (3.4.5)

H : ,

0 11 21 01 12 22 02

composta da due relazioni lineari che possono essere scritte nella forma (2.4.1)

− β

     

1 0 1 0 0

=

1

     

H : − β

0 

0 1 0 1 0

2

′ ′ ′

β = β β

essendo in questo caso . Supponendo valide le ipotesi forti sui residui in

[ ]

1 2

ambedue i sottoperiodi si può utilizzare il test della di Fisher con e gradi di

F 2 n−4

β̂

libertà dato dalla (2.4.12), dove ed vengono calcolate ipotizzando valido il

cambiamento di struttura, per cui

[ ]    

′ y X 0

′ ′ = − β̂

β = β β

ˆ ˆ ˆ , 1 1

   

ˆ (3.4.6)

u

1 2   

y 0 X

2 2

Se, invece, si preferisce utilizzare il test della di Fisher dato in una delle due

F β = β = β

forme (2.5.4), occorre considerare che se è valida si ha che , la (3.4.3)

H

0 1 2 0

diventa β

     

y X

= +

1 1 01

      (3.4.7)

u

β 0

     

y X

2 2 02

β = β

ed i vettori ed vincolati dalle restrizioni lineari (3.4.5) sono

[α ]′ u

0 0 0 0

1

 

   

X y

[ ] [ ]

 ′ ′  ′ ′ ′ ′ ′ ′

β = = + + (3.4.8)

1 1 1

   

X X X X [ X X X X ] [ X y X y ]

 

0 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

   

X y

 

2 2 3-33

Modulo II – Minimi quadrati

   

y X

= − β

1 1

    (3.4.9)

u 0 0

   

y X

2 2

per cui l’applicazione di ciascuna delle (2.5.4) è immediata. In questo caso il

numero dei vincoli è ancora e il numero dei gradi di libertà della devianza

q=k=2

′ =

è ancora poiché questa è calcolata ipotizzando valido il

ˆ ˆ

u u n−2k n−4

cambiamento di struttura.

3.5 - È conveniente, dal punto di vista didattico, rimarcare

Osservazione

che l’ipotesi nulla da verificare è relativa all’omogeneità del campione e

non al cambiamento strutturale, nel quale consiste, invece, l’ipotesi

β

alternativa. Inoltre, il vettore delle stime dei minimi quadrati

0

vincolati, che è necessario per determinare ed utilizzare il test della

u F

0

di Fisher in una delle due forme (2.5.4), può naturalmente essere

calcolato con la formula (1.11.18) che sfrutta la matrice ed il vettore ,

R r

ma più semplicemente è determinabile tramite la (3.4.8) dato che nel

caso di validità del vincolo (ipotesi nulla) il campione è omogeneo

(y, X)

e l’equazione (3.4.3) assume la forma semplice (3.4.7).

Test di cambiamento di struttura con le variabili di comodo

Nel paragrafo 3.1 abbiamo visto che le variabili di comodo possono essere utilizzate

per rappresentare spostamenti (shift) nei parametri. Non sorprende quindi che esse

giochino un ruolo essenziale anche nella verifica dell’ipotesi di cambiamento di

struttura. In sintesi, il test per la (3.4.5) può essere sottoposto a verifica accertando

che siano nulle le variabili di comodo che misurano lo spostamento dei parametri

fra il primo e il secondo sottoperiodo.

Formalmente, i due modelli (3.4.1) e (3.4.2) vengono fusi nell’unico modello

β β γ γ (3.4.10)

y = + x + d + ( d x ) + u

t 11 12 t 1 t 2 t t t γ

dove la è una definita come i parametri misurano lo

shift dummy

d d = I( t>n ) e j

t t 1

spostamento dell’intercetta (per e della pendenza (per ). La (3.4.10) in

j = 1) j = 2

forma matriciale è 3-34

Modulo II – Minimi quadrati

     

y 1 x 0 0 u

1 1 1

     

y 1 x 0 0 u

     

2 2 2

     

β

 

... ... ... ... ... ...

     

11

 

β

y 1 x 0 0 u

     

 

n n n

= +

12

1 1 1

     

 

γ

y 1 x 1 x u

+ + + +

     

n 1 n 1 n 1 n 1

1

 

1 1 1 1

γ

     

 

y 1 x 1 x u

+ + + +

n 2 n 2 n 2 n 2

2

1 1 1 1

     

... ... ... ... ... ...

     

     

y 1 x 1 x u

     

+ + + +

n n n n n n n n

1 2 1 2 1 2 1 2

Il test di cambiamento strutturale viene quindi condotto verificando l’ipotesi nulla

γ

che i due parametri siano contemporaneamente nulli nella (3.4.10). La statistica

j

con 2 e gradi di libertà che si ottiene è identica a quella ottenuta applicando

F n-4

le (2.5.4) alle grandezze (3.4.8)-(3.4.9).

12

400000

350000

300000

250000

200000

150000

100000

1970Q1 1973Q4 1977Q3 1981Q2 1985Q1 1988Q4 1992Q3 1996Q2

Quarters

CF90S Y90S

Figura 3.18 – Le serie storiche dei consumi e del PIL destagionalizzate con le variabili di

comodo. Il grafico delle serie grezze è riportato nella I-2.2.

L’equivalenza è dimostrata da Gujarati [1970] al quale rinviamo il lettore desideroso di

12

approfondimenti. Questa procedura è utile nel caso in cui non si disponga di un programma

di calcolo che effettui automaticamente il test di cambiamento di struttura. La procedura

standard infatti richiederebbe la stima di tre regressioni (quella su tutto il campione – la

(1.3.1) e le due sui sottocampioni – le (3.4.1)-(3.4.2)), mentre la procedura di Gujarati

richiede che se ne stimino due, cioè la (1.3.1) e la (3.4.10). 3-35

Modulo II – Minimi quadrati

Per esemplificare questi risultati riprendiamo le serie dei consumi e del reddito

rappresentate nella figura I-2.2 e utilizziamole per verificare l’ipotesi di

cambiamento di struttura fra la (3.4.1) e la (3.4.2). Dato che queste serie

presentano stagionalità, la cui presenza, come sappiamo, può comportare una

violazione delle ipotesi stocastiche deboli, prima di stimare il modello (1.2.1)

rimuoviamo queste stagionalità con la regressione (3.3.2) reintegrando le rispettive

medie campionarie con la (3.3.15) per conservare i volumi. Le serie

13

destagionalizzate sono rappresentate nella figura 3.18, che può essere confrontata

con la I-2.2 per apprezzare l’efficacia della procedura.

L’esame della figura 3.18 mostra che soprattutto nel caso del PIL la procedura

lascia qualche residuo di ciclicità stagionale. Questo risultato potrebbe dipendere

da cambiamenti di struttura nel ciclo stagionale. In effetti la (3.3.2) presuppone che

questo ciclo abbia struttura costante su tutto il campione, ma se così non è ed

esistono, poniamo, due distinti regimi di stagionalità nel campione (il primo valido

da a , e il secondo da a a ), i fattori di destagionalizzazione stimati

1 n n +1 n

1 1

mediante la (3.3.2) vengono ad essere una mistura di quelli relativi ai due regimi e

quindi sottraendoli alla serie non si ottiene mai una serie perfettamente

destagionalizzata. Ricordiamo dal capitolo I-2 che la teoria economica prevede che

il consumo assorba in qualche misura gli shock reali e abbia quindi un profilo più

livellato nel tempo. Ne consegue che anche le procedure di destagionalizzazione

applicate ad esso avranno maggiore efficacia, come sembra indicare la figura 3.18.

Fatte queste riserve, prend iamo comunque per buone le serie destagionalizzate

della figura 3.18 e le impieghiamo per applicare il test di cambiamento di

F

struttura.

Per verificare l’ipotesi di cambiamento di struttura occorre in primo luogo

determinare la data nella quale ha termine il primo sottoperiodo. In mancanza

n 1

di informazioni indicazioni in tal senso possono essere ricavate dal grafico

a priori,

dei residui sotto la nulla (cioè in assenza di cambiamento di struttura), cioè dai

residui dell’equazione stimata sull’intero campione. Nel nostro caso questa stima

produce i seguenti risultati:

Come sappiamo, in generale è indifferente se la stagionalità viene rimossa prima della

13

stima del modello (come nella (3.3.24)) o contestualmente ad essa inserendo le nella

dummy

regressione (come nella (3.3.26)). In questo caso però rimuovendo la stagionalità prima di

effettuare il test di cambiamento di struttura stiamo implicitamente ipotizzando che i

fattori di destagionalizzazione non cambino da un sottoperiodo all’altro. Questa ipotesi

viene fatta solo per comodità didattica (cioè per concentrare l’attenzione sui soli parametri

α β),

e ma nei casi concreti potrebbe rivelarsi inappropriata, per cui una corretta prassi

prevede che il test di cambiamento di struttura coinvolga anche i fattori di

destagionalizzazione e detrendizzazione e venga quindi eseguito sulla regressione completa

(3.3.26). 3-36


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Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto tratta le Variabili di comodo e cambiamenti strutturali, come sviluppate nel corso di lezioni di econometria dal professor Francesco Carlucci. Nello specifico vengono trattati i temi di: test di malaspecificazione, Variabili di comodo stagionali, test di cambiamento strutturale per il modello lineare semplice, test di cambiamento strutturale per il modello lineare multiplo.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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