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Triangolo e parallelogramma Appunti scolastici Premium

Questo appunto per il corso di laurea magistrale in ingegneria automatica e informatica ha come oggetto di trattazione i vertici di un triangolo e di un parallelogramma, i sistemi di coordinate, le parametrizzazioni, le rette ed i piani, le isometrie, il calcolo dell'area e del volume.

Esame di Meccanica dei solidi e dei materiali docente Prof. A. Tatone

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9

appendice 2. spazi euclidei

si ottiene vol(Fe , Fe , Fe )

1 2 3

= vol(f e + f e + f e , f e + f e + f e , f e + f e + f e )

11 1 21 2 31 3 12 1 22 2 32 3 13 1 23 2 33 3

= (f f f + f f f + f f f − f f f − f f f − f f f ) vol(e , e , e ). (62)

11 22 33 21 32 13 31 12 23 11 32 23 21 12 33 31 22 13 1 2 3

7 Traccia

Dato un tensore A di V si definisce traccia di A il rapporto

vol(Ae , e , e ) + vol(e , Ae , e )v + vol(e , e , Ae )

1 2 3 1 2 3 1 2 3

tr A = (63)

vol(e , e , e )

1 2 3

Si noti che ponendo Ae = a e + a e + a e

1 11 1 21 2 31 3

Ae = a e + a e + a e (64)

2 12 1 22 2 32 3

Ae = a e + a e + a e

3 13 1 23 2 33 3

si ottiene vol(a e , e , e ) + vol(e , a e , e ) + vol(e , e , a e )

11 1 2 3 1 22 2 3 1 2 33 3

tr A = (65)

= a + a + a .

11 22 33

vol(e , e , e )

1 2 3

8 Invarianti principali

Si consideri la funzione ι tale che

2

vol(Ae , Ae , e ) + vol(Ae , e , Ae )v + vol(e , Ae , Ae )

1 2 3 1 2 3 1 2 3

ι (A) = (66)

2 vol(e , e , e )

1 2 3

Espandendo ciascuno dei termini del denominatore si ottiene, utilizzando la definizione (63),

vol(Ae , Ae , e ) = vol(Ae , a , e )

1 2 3 1 2 3

= tr(A) vol(e , a , e ) − vol(e , Aa , e ) − vol(e , a , Ae )

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2

= tr(A) vol(e , Ae , e ) − vol(e , A e , e ) − vol(e , Ae , Ae ) (67)

1 2 3 1 2 3 1 2 3

vol(Ae , e , Ae ) = vol(a , e , Ae )

1 2 3 1 2 3

= tr(A) vol(a , e , e ) − vol(a , Ae , e ) − vol(Aa , e , e )

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2

= tr(A) vol(Ae , e , e ) − vol(Ae , Ae , e ) − vol(A e , e , e ) (68)

1 2 3 1 2 3 1 2 3

vol(e , Ae , Ae ) = vol(e , Ae , a )

1 2 3 1 2 3

= tr(A) vol(e , e , a ) − vol(Ae , e , a ) − vol(e , e , Aa )

1 2 3 1 2 3 1 2 3 2

= tr(A) vol(e , e , Ae ) − vol(Ae , e , Ae ) − vol(e , e , A e ) (69)

1 2 3 1 2 3 1 2 3

avendo posto temporaneamente a := Ae . Sommando e dividendo per vol(e , e , e ) si ottiene

i i 1 2 3

2

ι (A) = tr(A) tr(A) − ι (A) − tr(A ) (70)

2 2

da cui risulta ¡ ¢

1 2 2

ι (A) = tr(A) − tr(A ) . (71)

2 2

DISAT, Università dell’Aquila, 22 dicembre 2008 (79) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

10 appendice 2. spazi euclidei

Si dicono invarianti principali di un tensore A di V i coefficienti del polinomio caratteristico.

Espandendo l’espressione del polinomio caratteristico

¡ ¢

vol (A − λI)e , (A − λI)e , (A − λI)e

1 2 3

det(A − λI) = (72)

vol(e , e , e )

1 2 3

si ottiene 3 2

det(A − λI) = −λ + ι (A) λ − ι (A) λ + ι (A) (73)

1 2 3

con ι (A) = tr(A) e ι (A) = det(A). Se lo spazio V ha dimensione 2 si ottiene invece

1 3 2

det(A − λI) = λ − tr(A) λ + det(A). (74)

9 Orientamento

Definita un’area in uno spazio euclideo di dimensione 2, si dicono orientate positivamente le coppie

ordinate di vettori a cui corrisponde un parallelogramma di area positiva, orientate negativamente

quelle a cui corrisponde un parallelogramma di area negativa.

Definito un volume in uno spazio euclideo di dimensione 3, si dicono orientate positivamente le

terne di vettori a cui corrisponde un parallelepipedo di volume positivo, orientate negativamente

quelle a cui corrisponde un parallelepipedo di volume negativo.

Per via della (59) e della (60), un tensore F : V → V conserva l’orientamento se e solo se

det F > 0. (75)

10 Prodotto vettoriale

In uno spazio euclideo di dimensione 3, in cui sia stato definito il volume in modo che in corrispon-

denza di una base ortonormale {e , e , e } sia

1 2 3

vol(e , e , e ) = 1, (76)

1 2 3

si definisce prodotto vettoriale tra i vettori u e v il vettore

u × v (77)

tale che u × v · w = vol(u, v, w), ∀w ∈ V. (78)

Si noti che, per le proprietà del volume, u × v = −v × u. Inoltre u × v = o se e solo se i vettori u

risulta

e v sono linearmente dipendenti. Dalla (55)

u × v · e = u v − u v , (79)

1 2 3 3 2 (80)

u × v · e = u v − u v ,

2 3 1 1 3

u × v · e = u v − u v . (81)

3 1 2 2 1

Pertanto è u × v = (u v − u v )e + (u v − u v )e + (u v − u v )e . (82)

2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3

In particolare risulta e × e = e , e × e = e , e × e = e . (83)

1 2 3 2 3 1 3 1 2

DISAT, Università dell’Aquila, 22 dicembre 2008 (79) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

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appendice 2. spazi euclidei

10.1 Prodotto tensoriale antisimmetrico

Il prodotto vettoriale può essere messo in relazione con il prodotto tensoriale nel seguente modo.

In corrispondenza dei due vettori u e v si consideri il tensore

u ⊗ v. (84)

Come qualsiasi tensore questo può essere espresso come la somma della parte simmetrica e della

parte antisimmetrica u ⊗ v = sym(u ⊗ v) + skw(u ⊗ v), (85)

dove 1 1

T T

sym(u ⊗ v) := (u ⊗ v + (u ⊗ v) ), skw(u ⊗ v) := (u ⊗ v − (u ⊗ v) ). (86)

2 2

Essendo la matrice di (u ⊗ v)  

u v u v u v

1 1 2 1 3 1

 

u v u v u v , (87)

1 2 2 2 3 2

u v u v u v

1 3 2 3 3 3

la matrice della parte antisimmetrica risulta

 

0 u v − v u u v − v u

2 1 2 1 3 1 3 1

1  

u v − v u 0 u v − v u . (88)

1 2 1 2 3 2 3 2

2 u v − v u u v − v u 0

1 3 1 3 2 3 2 3

Si osservi che gli elementi (3, 2), (1, 3) e (2, 1) di questa matrice, a meno del fattore 1/2, sono

uguali alle componenti del vettore (82). Esiste dunque una corrispondeza biunivoca tra i vettori

(u × v) e i tensori skw(u ⊗ v), risultando (u × v) il vettore assiale di 2 skw(u ⊗ v).

10.2 Rotazioni e prodotto vettoriale

In uno spazio euclideo di dimensione 3, per la definizione data di prodotto vettoriale, si ha in

corrispondenza di una coppia di vettori u e v

u × v · w = vol(u, v, w), ∀w ∈ V. (89)

Applicando una rotazione R si ottiene

(Ru × Rv) · Rw = vol(Ru, Rv, Rw) = vol(u, v, w) = u × v · w (90)

da cui deriva che ∀w ∈ V (91)

(Ru × Rv) · Rw = u × v · w,

T

R (Ru × Rv) · w = u × v · w. (92)

Risulta pertanto T

R (Ru × Rv) = u × v (93)

T

da cui si ottiene infine, essendo R R = I,

Ru × Rv = R(u × v). (94)

DISAT, Università dell’Aquila, 22 dicembre 2008 (79) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

12 appendice 2. spazi euclidei

11 Curve in uno spazio euclideo

Si consideri uno spazio euclideo E di dimensione n. Si dice curva una funzione

c : I → E, (95)

con I intervallo aperto di R, tale che, in corrispondenza di un sistema di coordinate affine definito

da ψ, la funzione n

ψ ◦ c : I → R (96)

sia C . Con ciò si intende che, esprimendo la funzione (95) in termini di coordinate

c(s) = o + c (s)e + c (s)e + · · · + c (s)e , (97)

1 1 2 2 n n

le funzioni c siano C .

i

Si dice vettore tangente alla curva c in s ∈ I il vettore

1

0

c (s) := lim (c(s + h) − c(s)). (98)

h

h→0

Tale vettore esiste poiché per la (97) si ha

³¡ ´

¢ ¡ ¢

1 1

lim (c(s + h) − c(s)) = lim c (s + h) − c (s) e + · · · + c (s + h) − c (s) e

1 1 1 n n n

h h

h→0 h→0

dc dc

1 n

= (99)

(s)e + · · · + (s)e

1 n

ds ds

Si noti che curve diverse possono avere la stessa immagine. In generale due curve c : I → E,

c

g : I → E aventi la stessa immagine C hanno tangenti diverse in punti corrispondenti. Si consideri

g

infatti la funzione σ : I → I (100)

c g

tale che c(s) = g(σ(s)). Dalla definizione (98) e dalla (99) risulta

0 0 0

c (s) = g (σ(s))σ (s), (101)

0

avendo posto σ (s) := dσ(s)/ds.

Spesso con il termine curva si indica il sottoinsieme C ⊂ E immagine di c. Una funzione (95) si

dice parametrizzazione della curva C se il vettore tangente è diverso dal vettore nullo in ogni punto.

Se c e g sono due parametrizzazioni della stessa curva, la funzione (100) si dice riparametrizzazione.

11.1 Lunghezza di una curva

Si consideri l’arco di curva compreso tra i punti p e p della curva C e due parametrizzazioni

A B

c : I → E, g : I → E. Indicando con [z , z ], [s , s ] i corrispondenti intervalli contenuti in I e

c g A B A B c

risulta, attraverso il cambiamento di variabile z = σ(s) e

I e con σ la riparametrizzazione (100),

g

per la (101), Z Z Z

z s s

B B B

0 0 0 0

l := kg (z)kdz = kg (σ(s))k|σ (s)|ds = kc (s)kds. (102)

AB z s s

A A A

Tale scalare, che risulta dipendere solo dalla immagine C, per una fissata norma di V, si dice

lunghezza dell’arco di curva.

DISAT, Università dell’Aquila, 22 dicembre 2008 (79) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

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appendice 2. spazi euclidei

Si noti che qualunque sia la parametrizzazione c, se la riparametrizzazione σ è tale che σ(s ) −

B

σ(s ) ha il significato di lunghezza dell’arco di curva tra i punti c(s ) e c(s ), essendo

A A B

Z s B 0

σ(s ) − σ(s ) = l = kc (s)kds, (103)

B A AB s A

Z s B 0

σ(s ) − σ(s ) = σ (s)ds, (104)

B A s A

0 0 0

risulta σ (s) = kc (s)k e, per la (101), kg (z)k = 1. In una parametrizzazione in cui il parametro

ha il significato di lunghezza di un arco di curva i vettori tangenti hanno dunque norma unitaria.

12 Campi scalari, campi vettoriali e gradienti

Un campo scalare su uno spazio euclideo E è una funzione

α : E → R (105)

che assegna ad ogni posizione un numero reale.

Scelta una parametrizzazione (20), eventualmente indotta da un sistema di coordinate, il campo

scalare (105) può essere descritto, in uno spazio euclideo di dimensione 3, dalla funzione

3

α̂ : R → R (106)

tale che α(p ) = α(κ(s , s , s )) = α̂(s , s , s ) (107)

A 1 2 3 1 2 3

essendo p = κ(s , s , s ).

A 1 2 3

Si dice derivata del campo scalare α lungo la curva c in c(0) lo scalare

³ ´

1

lim α(c(h)) − α(c(0)) . (108)

h

h→0

Descrivendo la curva attraverso la (97) e il campo scalare attraverso la (106) l’espressione della

derivata diventa ³ ´

1

lim α(c(h)) − α(c(0))

h

h→0 ³ ¢´

¡ ¢ ¡

1

= lim α̂ c (h), c (h), c (h) − α̂ c (0), c (0), c (0)

1 2 3 1 2 3

h

h→0

3

X ¡ ¢ dc

i

= ∂ α̂ c (0), c (0), c (0) (0), (109)

i 1 2 3 dh

i=1

dove con ∂ α̂ si intende la derivata della funzione α̂ rispetto all’argomento i-esimo.

i

Per la (99), dalla (109) risulta che la derivata di un campo scalare lungo una curva dipende

come la espressione di una

solo dal vettore tangente alla curva. Si può dunque riguardare la (109)

funzione ∇α : V → R (110)

che, in corrispondenza della posizione p , trasforma un vettore v nella derivata del campo α lungo

A

una qualsiasi curva per p che abbia v come vettore tangente in p . Tale funzione si dice gradiente

A A

del campo scalare α in p . Si noti che, ad esempio, per la retta c(h) = p + he si ha dalla (109)

A A 1

¡ ¢

1

∇α e = lim α(p + he ) − α(p )

1 A 1 A

h

h→0 ¡ ¢

1 ∂ α̂ (111)

= lim α̂(s + h, s , s ) − α̂(s , s , s ) = ,

1 2 3 1 2 3

h ∂s

h→0 1

DISAT, Università dell’Aquila, 22 dicembre 2008 (79) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

14 appendice 2. spazi euclidei

essendo la derivata calcolata in corrispondenza di p . Per una retta c(h) = p + hv, con v =

A A

v e + v e + v e , si ha

1 1 2 2 3 3

¡ ¢ ¡ ¢

1 1

∇α v = lim α(p + hv) − α(p ) = lim α̂(s + hv , s + hv , s + hv ) − α̂(s , s , s )

A A 1 1 2 2 3 3 1 3 3

h h

h→0 h→0

∂ α̂ ∂ α̂ ∂ α̂

= v + v + v . (112)

1 2 3

∂s ∂s ∂s

1 2 3

Dunque ∇α è una applicazione lineare. La sua matrice, con una sola riga, risulta

µ ∂ α̂ ∂ α̂ ∂ α̂ . (113)

∂s ∂s ∂s

1 2 3

Un campo vettoriale su uno spazio euclideo E è una funzione

u : E →V (114)

che assegna ad ogni posizione un vettore. Fissata una parametrizzazione κ, il campo vettoriale

(114) può essere descritto, in uno spazio euclideo di dimensione 3, dalle funzioni scalari

3

u : R → R (115)

i

tali che u(p ) = u(κ(s , s , s )) = u (s , s , s )e + u (s , s , s )e + u (s , s , s )e , (116)

A 1 2 3 1 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 3

essendo p = κ(s , s , s ). Si dice derivata del campo vettoriale u lungo la curva c in c(0) il vettore

A 1 2 3 ³ ´

1

lim u(c(h)) − u(c(0)) . (117)

h

h→0

Descrivendo la curva attraverso la (97) e il campo vettoriale attraverso le (115) l’espressione della

derivata diventa ³ ´

1

lim u(c(h)) − u(c(0))

h

h→0 ³ ´

3

X

1

= lim u (c (h), c (h), c (h)) − u (c (0), c (0), c (0)) e

i 1 2 3 i 1 2 3 i

h

h→0 i=1

3 3

X X dc

j (0)e . (118)

= ∂ u (c (0), c (0), c (0))

j i 1 2 3 i

dh

i=1 j=1

La derivata di un campo vettoriale lungo una curva dipende dunque solo dal vettore tangente

alla curva. Come per la derivata di un campo scalare la (118) induce, in corrispondenza di una

posizione p , un tensore, detto gradiente del campo vettoriale u in p ,

A A

∇u : V → V (119)

tale che ¡ ¢ ∂u ∂u

1 ∂u 2 3

1 e + e + e . (120)

∇u e = lim u(p + he ) − u(p ) = 1 2 3

j A j A

h ∂s ∂s ∂s

h→0 j j j

La sua matrice risulta  

∂u ∂u

∂u 1 1

1

 

∂s ∂s ∂s

1 2 3

 

 

∂u ∂u ∂u

 

2 2 2 . (121)

 

 

∂s ∂s ∂s

1 2 3

 

 

∂u ∂u ∂u

3 3 3

∂s ∂s ∂s

1 2 3

DISAT, Università dell’Aquila, 22 dicembre 2008 (79) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.


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Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria informatica e automatica
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Meccanica dei solidi e dei materiali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Tatone Amabile.

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