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Triangolo e parallelogramma Appunti scolastici Premium

Questo appunto per il corso di laurea magistrale in ingegneria automatica e informatica ha come oggetto di trattazione i vertici di un triangolo e di un parallelogramma, i sistemi di coordinate, le parametrizzazioni, le rette ed i piani, le isometrie, il calcolo dell'area e del volume.

Esame di Meccanica dei solidi e dei materiali docente Prof. A. Tatone

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ESTRATTO DOCUMENTO

2 appendice 2. spazi euclidei

1 Spazi euclidei

Un insieme E si dice spazio affine modellato sullo spazio vettoriale reale V se esiste una funzione

E × V → E, (1)

che trasforma una coppia p ∈ E, u ∈ V in un elemento di E, indicato con p + u, in modo tale che

A A

1. (p + u) + v = p + (u + v) ∀p ∈ E, ∀u ∈ V, ∀v ∈ V

A A A

2. p + o = p , dove o è il vettore nullo di V

A A

3. per ogni coppia p ∈ E, p ∈ E esiste un unico elemento di V, indicato con p − p , tale che

A B B A

p + (p − p ) = p .

A B A B

Lo spazio V si dice spazio delle traslazioni di E. Si dice inoltre che lo spazio affine E ha dimensione

n con n := dim V. Si dice spazio euclideo uno spazio affine tale che in V sia definito un prodotto

scalare. Si consideri la norma in V indotta dal prodotto scalare, cioè tale che kvk = v · v.

Una base {e , . . . , e } di V si dice ortonormale se e · e = δ . Si definisce distanza la funzione

1 n i j ij

d : E × E → R tale che d(p , p ) = kp − p k.

B A B A

Gli elementi di E si diranno posizioni.

Dagli assiomi dati derivano le seguenti espressioni utili nel calcolo. Sia

p = p + u. (2)

B A

Il vettore p − p , per l’assioma 3, è l’unico vettore tale che

B A p = p + (p − p ). (3)

B A B A

Risulta dunque p − p = u. (4)

B A

Un’altra utile relazione si ottiene nel modo seguente. Si osservi che per l’assioma 1 si ha

p + (−u) = p + u + (−u), (5)

B A

da cui, per l’assioma 2, risulta p = p − u (6)

A B

Utilizzando la (4), si ottiene infine p − p = −u (7)

A B

e anche p − p = −(p − p ). (8)

A B B A

1.1 Vertici di un triangolo

Scelte tre posizioni p , p , p , dall’assioma 3 si ha

A B C p = p + (p − p ) (9)

B A B A (10)

p = p + (p − p ).

C B C B

Sostituendo nella seconda la prima, per l’assioma 1, risulta

p = p + (p − p ) + (p − p ). (11)

C A B A C B

DISAT, Università dell’Aquila, 22 dicembre 2008 (79) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

3

appendice 2. spazi euclidei p

p C C

p

D

p − p

C B

p B p B

p

p A

A p − p

B A

Figura 1: Triangolo e parallelogramma

Essendo anche p = p + (p − p ) (12)

C A C A

risulta (p − p ) + (p − p ) = (p − p ). (13)

C B B A C A

Questa relazione corrisponde alla costruzione della somma di due vettori attraverso il triangolo in

Fig. 1.

1.2 Vertici di un parallelogramma

Aggiungendo ai vertici del triangolo p , p , p la posizione

A B C

p := p + (p − p ). (14)

D A C B

si ottiene un quadrilatero. Essendo anche

p = p + (p − p ) = p + (p − p ) + (p − p ) = p + (p − p ) + (p − p ) + (p − p ) (15)

D C D C B C B D C A B A C B D C

deve essere (p − p ) = (p − p ) + (p − p ) + (p − p ) (16)

C B B A C B D C

Risulta dunque p − p = p − p . (17)

D C A B

Il quadrilatero pertanto è un parallelogramma, come in Fig. 1.

1.3 Sistemi di coordinate

Un sistema di coordinate affine in uno spazio euclideo E di dimensione n è costituito da una

funzione biunivoca n

ψ : E → R , (18)

indotta dalla scelta di una posizione origine o ∈ E e di una base {e , . . . , e } nello spazio delle

1 n

traslazioni V, definita come la funzione che trasforma una posizione p ∈ E nella n-pla delle

A

componenti del vettore (p − o) nella base {e , . . . , e }. Un sistema di coordinate affine si dice

A 1 n

cartesiano se la base corrispondente è ortonormale.

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4 appendice 2. spazi euclidei

1.4 Parametrizzazioni

Una posizione p può essere assegnata in termini di coordinate attraverso l’espressione

A p = o + (x e + x e + · · · + x e ) (19)

A 1 1 2 2 n n

essendo ψ(p ) = (x , x , . . . , x ). In questo modo risulta definita la parametrizzazione

A 1 2 n n

κ : R → E (20)

inversa della funzione coordinata (18). Una parametrizzazione in generale è una funzione iniet-

tiva che può essere definita indipendentemente dal sistema di coordinate. Se il dominio della

n

parametrizzazione è un sottoinsieme di R la sua immagine risulterà essere un sottoinsieme di E.

2 Rette e piani

Una retta per p è una funzione c : R → E del tipo

A c(s) = p + s u, (21)

A

essendo u un vettore. Date due rette (22)

c (s) = p + s u ,

1 A 1

c (s) = p + s u , (23)

2 A 2

si dice angolo tra di esse il numero reale α tale che

u · u

1 2

cos α = . (24)

ku kku k

1 2

Le due rette si dicono ortogonali se u · u = 0. Due rette

1 2 (25)

c (s) = p + s u ,

1 A 1

c (s) = p + s u , (26)

2 B 2

si dicono parallele se u e u sono vettori che generano lo stesso sottospazio di dimensione uno.

1 2 2

Un piano per p è una funzione π : R → E del tipo

A π(s , s ) = p + s u + s u , (27)

1 2 A 1 1 2 2

essendo u e u due vettori linearmente indipendenti.

1 2

Anche per le immagini di tali funzioni si usano i termini retta e piano, rispettivamente.

3 Isometrie

Sia E uno spazio euclideo e V lo spazio delle traslazioni. Una funzione biunivoca

φ : E →E (28)

si dice trasformazione di E. Una trasformazione di E che mantiene invariate le distanze tra qualsiasi

coppia di posizioni si dice isometria. Che le distanze restino invariate implica non solo che la norma

dei vettori differenza tra le posizioni resti invariata ma anche che il prodotto scalare tra qualsiasi

DISAT, Università dell’Aquila, 22 dicembre 2008 (79) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

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appendice 2. spazi euclidei

coppia di vettori resti invariato. Infatti, scelta una posizione p̄ e una coppia di vettori ū e v̄,

O

ponendo u := φ(p̄ + ū) − φ(p̄ ),

O O (29)

v := φ(p̄ + v̄) − φ(p̄ ),

O O

poichè 2

ku − vk = (u − v) · (u − v) = u · u − 2 u · v + v · v, (30)

2

kū − v̄k = (ū − v̄) · (ū − v̄) = ū · ū − 2 ū · v̄ + v̄ · v̄,

restando invariate le norme, si ha u · v = ū · v̄. (31)

Pertanto in una isometria restano invariati gli angoli tra coppie di vettori differenza. In particolare

vettori ortogonali restano ortogonali.

Si noti che, attraverso le (29), l’isometria φ induce un’applicazione Q : V → V che trasforma

O

i vettori nel modo seguente u = Q (ū),

O (32)

v = Q (v̄).

O

Pertanto la (29) si può anche riscrivere

φ(p̄ + ū) = φ(p̄ ) + u = φ(p̄ ) + Q (ū),

O O O O (33)

φ(p̄ + v̄) = φ(p̄ ) + v = φ(p̄ ) + Q (v̄),

O O O O

Si consideri ora un terzo vettore w̄ := a ū + b v̄ (34)

e si ponga w := Q ( w̄) = φ(p̄ + w̄) − φ(p̄ ). (35)

O O O

Poichè

w · u = w̄ · ū = (a ū + b v̄) · ū = a ū · ū + b v̄ · ū = a u · u + b v · u = (a u + b v) · u, (36)

w · v = w̄ · v̄ = (a ū + b v̄) · v̄ = a ū · v̄ + b v̄ · v̄ = a u · v + b v · v = (a u + b v) · v,

il vettore w si può esprimere come w = a u + b v + z, (37)

dove z è un vettore ortogonale sia a u che a v. Affinchè sia

w · w = w̄ · w̄, (38)

z deve soddisfare la condizione

(a u + b v + z) · (a u + b v + z) = (a ū + b v̄) · (a ū + b v̄) (39)

che, semplificandosi in z · z = 0, (40)

implica z = o. Risulta dunque w = a u + b v. (41)

Pertanto, in corrispondenza della posizione p̄ l’isometria φ, attraverso le (29) e (35), induce

O e (41),

un’applicazione Q : V → V tale che, per le (34)

O Q (a ū + b v̄) = a Q (ū) + b Q (v̄). (42)

O O O

DISAT, Università dell’Aquila, 22 dicembre 2008 (79) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

6 appendice 2. spazi euclidei

Si tratta dunque di un’applicazione lineare. Questo tensore non dipende dalla posizione p̄ . Infatti

O

se si considera una nuova posizione p̄ = p̄ + d̄ (43)

C O

si ottiene, per ogni vettore w̄,

Q (

w̄) = φ(p̄ + w̄) − φ(p̄ )

C C C

= φ(p̄ + d̄ + w̄) − φ(p̄ + d̄)

O O

¡ ¢ ¡ ¢ (44)

= φ(p̄ ) + Q (

d̄ + w̄) − φ(p̄ ) + Q (

d̄)

O O O O

= Q ( w̄ + d̄) − Q ( d̄)

O O

= Q ( w̄) + Q (

d̄) − Q ( d̄) = Q (

w̄).

O O O O

Pertanto una isometria φ induce un unico tensore Q. Il tensore Q eredita dall’isometria φ la

proprietà di mantenere invariato il prodotto scalare tra qualsiasi coppia di vettori. Ne deriva che

Q è ortogonale. Infatti Qū · Qv̄ = ū · v̄ ∀ū, ∀v̄

T

⇒ Q Qū · v̄ = ū · v̄ ∀ū, ∀v̄ (45)

T

⇒ (Q Q − I)ū · v̄ = 0 ∀ū, ∀v̄

T

⇒ Q Q = I.

In conclusione, dalle (29) e (32), si ottiene la seguente rappresentazione di una isometria

φ(p̄ + v̄) = φ(p̄ ) + Q(v̄) ∀p̄ ∈ E, ∀v̄ ∈ V, (46)

A A A

essendo Q un tensore ortogonale. Ponendo p̄ = p̄ + v̄, la rappresentazione precedente assume la

B A

seguente forma φ(p̄ ) = φ(p̄ ) + Q(p̄ − p̄ ) ∀p̄ , ∀p̄ . (47)

B A B A A B

4 Area v u

1 1

u

2 v v 2

v 2 u u

e 2

2 p u v

A 1 1

e 1

Figura 2: Area di un parallelogramma

1

In uno spazio euclideo di dimensione 2 si consideri una posizione p e il parallelogramma

A

corrispondente ad una coppia di vettori {u, v}, di vertici

p , p + u, p + v, p + u + v. (48)

A A A A

1 Si noti che nelle definizioni che seguono di area, volume e determinante si utilizza solo la struttura di spazio

affine. Tali definizioni sono pertanto indipendenti dal prodotto scalare e dunque dalla nozione di ortogonalità.

DISAT, Università dell’Aquila, 22 dicembre 2008 (79) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

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appendice 2. spazi euclidei

Si dice area una funzione area : V × V → R, (49)

tale che

1. area(u, v) = − area(v, u),

2. area(u + w, v) = area(u, v) + area(w, v),

3. area(αu, v) = α area(u, v),

e che non valga zero per qualsiasi coppia di vettori. Si può dimostrare che da queste proprietà

deriva che l’area è nulla se e solo se i vettori {u, v} sono linearmente dipendenti.

Esprimendo i vettori come combinazione lineare dei vettori della base {e , e } si ha

1 2

area(u, v) = area(u e + u e , v) = u area(e , v) + u area(e , v)

1 1 2 2 1 1 2 2

= u area(e , v e + v e ) + u area(e , v e + v e )

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2

= u v area(e , e ) + u v area(e , e ) + u v area(e , e ) + u v area(e , e )

1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2

= (u v − u v ) area(e , e ). (50)

1 2 2 1 1 2

L’area del parallelogramma risulta pertanto uguale al determinante della matrice che ha per co-

lonne le coppie delle componenti dei vettori u e v, moltiplicato per l’area del parallelogramma

corrispondente ai vettori della base. Se la base è ortonormale si assume di solito

area(e , e ) = 1. (51)

1 2

L’espressione trovata per l’area coincide con quella che si può calcolare seguendo la Fig. 2, utiliz-

zando la definizione di area di un rettangolo e di area di un triangolo, attraverso l’espressione

³ ´

u u + v v

1 2 1 2

(u + v )(u + v ) − 2 + v u = u v − v u . (52)

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

2

5 Volume

In uno spazio euclideo di dimensione 3 si consideri una posizione p e il parallelepipedo corrispon-

A

dente ad una terna di vettori {u, v, w}, di vertici

p ,

A

p + u, p + v, p + w,

A A A (53)

p + u + v, p + v + w, p + w + u,

A A A

p + u + v + w.

A

Si dice volume una funzione vol : V × V × V → R, (54)

tale che

1. vol(u, v, w) = − vol(v, u, w) = − vol(u, w, v),

2. vol(u + z, v, w) = vol(u, v, w) + vol(z, v, w),

3. vol(αu, v, w) = α vol(u, v, w),

DISAT, Università dell’Aquila, 22 dicembre 2008 (79) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.


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Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria informatica e automatica
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Meccanica dei solidi e dei materiali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Tatone Amabile.

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