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In questo materiale didattico relativo alle travi vengono trattati i seguenti argomenti:
- Deformazioni
- Configurazioni e deformazioni (definizioni alternative)
- Modello di Timoshenko
- Componenti della tensione
- Linearizzazione
- Modello di filo
- Confronto con il continuo di Cauchy... Vedi di più

Esame di Meccanica dei solidi e dei materiali docente Prof. A. Tatone

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ESTRATTO DOCUMENTO

3

travi (l)

1.1 Configurazioni e deformazioni (definizioni alternative)

Una trave è un corpo la cui forma generica R ⊂ E è l’immagine di una funzione regolare e

biunivoca : [0,

C L] × S → R, (13)

essendo S una porzione di superficie in E orientata e piana, tale che comunque si scelga

y ∈ S per ogni y ∈ S risulti

o C(ζ, y) = C(ζ, y ) + Q(ζ)(y − y ) (14)

o o

1

essendo Q(ζ) una rotazione. La curva C(ζ, y ) si dice asse, l’immagine di C per un fissato

o

valore di ζ si dice sezione.

Indicando con R̄ una particolare forma, a cui corrisponde

¯ ¯

C(ζ, y) = C(ζ, y ) + Q̄(ζ)(y − y ), (15)

o o

le deformazioni ¯

φ : C(ζ, y) 7→ C(ζ, y) (16)

ponendo T

R(ζ) := Q(ζ)

Q̄(ζ) , (17)

ammettono, attraverso la (14) e la (15), la seguente rappresentazione

¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢

¯ ¯ ¯ ¯

φ C(ζ, y) = φ C(ζ, y ) + R(ζ) C(ζ, y) − C(ζ, y ) . (18)

o o

Si assuma che det ∇φ sia positivo ovunque.

Scelto y ∈ S, poiché Q̄(ζ ) è una rotazione, si può porre per ogni y

o 1

Q̄(ζ )(y − y ) = ζ ā (ζ ) + ζ ā (ζ ), (19)

1 o 2 2 1 3 3 1

con ā (ζ ), ā (ζ ) vettori ortonormali, che assieme al vettore ā (ζ ) := ā (ζ ) × ā (ζ ) co-

2 1 3 1 1 1 2 1 3 1

stituiscono una base ortonormale {ā (ζ ), ā (ζ ), ā (ζ )}. La (19) corrisponde alla scelta di

1 1 2 1 3 1

un sistema di coordinate cartesiano su S con origine in y e tale che ad ogni y corrisponda

o

la coppia di coordinate (ζ , ζ ). Ponendo

2 3 ¯

x̄ (ζ ) := C(ζ , y ), (20)

o 1 1 o

la (15) diventa ¯

C(ζ, y) = x̄ (ζ ) + ζ ā (ζ ) + ζ ā (ζ ). (21)

o 1 2 2 1 3 3 1

Risulta cosı̀ definita la parametrizzazione x̄ di R̄ tale che

¯

C(ζ, y) = x̄(ζ , ζ , ζ ) = x̄ (ζ ) + ζ ā (ζ ) + ζ ā (ζ ), (22)

1 2 3 o 1 2 2 1 3 3 1

Ponendo inoltre ¡ ¢

¯

x (ζ ) := φ C(ζ , y ) , (23)

o 1 1 o

1 Si genera R facendo delle repliche di una stessa figura piana e disponendole lungo una curva, allo stesso

modo in cui si possono infilare un gran numero di paillette tutte uguali facendone una collana.

DISAT, Università dell’Aquila, 12 luglio 2004 (985) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

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travi (l)

la corrispondente parametrizzazione x di R, attraverso la (18) e la (21), risulta

¡

C(ζ, y) = x(ζ , ζ , ζ ) = x (ζ ) + R(ζ ) ζ ā (ζ ) + ζ ā (ζ )). (24)

1 2 3 o 1 1 2 2 1 3 3 1

Definendo

a (ζ ) := R(ζ )ā (ζ ), a (ζ ) := R(ζ )ā (ζ ), a (ζ ) := R(ζ )ā (ζ ), (25)

1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 3 1 1 3 1

diventa

la (24) x(ζ , ζ , ζ ) = x (ζ ) + ζ a (ζ ) + ζ a (ζ ). (26)

1 2 3 o 1 2 2 1 3 3 1

¯ 0

Si assuma che C sia tale che x̄ (ζ ) = ā (ζ ), condizione di ortogonalità delle sezioni rispetto

1 1 1

o

all’asse. In generale questa proprietà non è conservata da φ.

2 Atti di moto test

In un moto la velocità risulta, dalla (10), T

ẋ = ẋ + ṘR (x − x ). (27)

o o

Pertanto gli atti di moto sono descritti dai campi vettoriali

w(x) = w + W(x − x ), (28)

o o

T

con W = −W. Dalla (28) si ottiene per il gradiente della velocità, utilizzando la (4),

0 0 0 0 0

Gx = w + W(x − x ) + W (x − x ), (29)

o

o o (30)

Ga = Wa ,

2 2

Ga = Wa , (31)

3 3

avendo definito la base {a , a , a } come

1 2 3

a := Rā , a := Rā , a := Rā . (32)

1 1 2 2 3 3

3 Modello di Timoshenko

Si osservi dalla (28) che i descrittori degli atti di moto sono le funzioni (w , W) e dalle (29),

o 0

0

(30) e (31) che i descrittori del gradiente degli atti di moto sono le funzioni (w , W, W ).

o

Utilizzando il vettore assiale di W si possono sostituire tali descrittori rispettivamente con

0

0 , ω, ω ).

(w , ω) e (w

o o

Tutte queste funzioni hanno come dominio l’intervallo [0, L]. La potenza esterna, de-

scrivendo sia una distribuzione di “volume” che una distribuzione al “bordo”, assume in

questo caso la espressione Z L

(ext)

W (w , ω) = (b · w + c · ω) dζ

o o

0 − − + +

+ s · w (0) + m · ω(0) + s · w (L) + m · ω(L), (33)

o o

DISAT, Università dell’Aquila, 12 luglio 2004 (985) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

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travi (l)

mentre la potenza interna ha la espressione

Z L ¡ ¢

(int) 0 0

W (w , ω) = − s · w + z · ω + m · ω dζ. (34)

o o

0

Sommando la (33) e la (34) la potenza totale in un atto di moto test risulta

Z L

(ext) (int)

W (w , ω) + W (w , ω) = (b · w + c · ω) dζ

o o o

0 − − + +

+ s · w (0) + m · ω(0) + s · w (L) + m · ω(L)

o o

Z L ¡ ¢

0 0 (35)

− s · w + z · ω + m · ω dζ.

o

0

Attraverso la integrazione per parti

Z Z L

L ¡ ¢

¡ ¢ 0 0

0 0 s · w + m · ω dζ

s · w + m · ω dζ = − o

o 0

0 + s(L) · w (L) + m(L) · ω(L)

o

− s(0) · w (0) − m(0) · ω(0), (36)

o

la (35) diventa Z L ¡ ¢

0 0

(ext) (int) (s + b) · w + (m − z + c) · ω dζ

W (w , ω) + W (w , ω) = o

o o 0

¡ ¢ ¡ ¢

− −

+ s + s(0) · w (0) + m + m(0) · ω(0)

o

¡ ¢ ¡ ¢

+ +

+ s − s(L) · w (L) + m − m(L) · ω(L). (37)

o

La condizione che la potenza virtuale sia nulla per ogni atto di moto fornisce le equazioni

differenziali di bilancio 0

s + b = o, (38)

0

m − z + c = o, (39)

assieme alle equazioni di bilancio al bordo

s + s(0) = o, (40)

m + m(0) = o, (41)

+

s − s(L) = o, (42)

+

m − m(L) = o. (43)

Un atto di moto rigido può in generale avere la seguente rappresentazione

¡ ¢

w (ζ) = w + ω × x (ζ) − x (0) , (44)

o o o o

ω(ζ) = ω, (45)

DISAT, Università dell’Aquila, 12 luglio 2004 (985) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

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travi (l)

da cui, derivando, si ottiene 0 0

w (ζ) = ω × x (ζ), (46)

o o

0

ω (ζ) = o. (47)

Dalla condizione che per ogni atto di moto rigido la densità di potenza interna sia nulla si

ha 0 0

s · w + z · ω + m · ω = 0 (48)

o

0 0 0

⇒ s · ω × x + z · ω =0 ⇒ (x × s + z) · ω = 0 ⇒ z = −x × s. (49)

o o o

Le equazioni di bilancio diventano dunque

0

s + b = o, (50)

0 0

m + x × s + c = o, (51)

o

assume la forma

mentre la potenza interna (34) Z L ¡ ¢

0 0 0

(int) s · (w − ω × x ) + m · ω dζ.

W (w) = − (52)

o o

0

3.1 Componenti della tensione

Utilizzando la base (32) sia s = N a + Q a + Q a . (53)

1 2 2 3 3

La componente N si dice forza normale mentre le componenti Q e Q si dicono forze di

2 3

taglio. Per il vettore momento si pone

m = M a + M a + M a . (54)

1 1 2 2 3 3

La componente M si dice momento torcente mentre le componenti M e M si dicono

1 2 3

momenti flettenti.

3.2 Linearizzazione 0

Nelle equazioni di bilancio (50) e (51) l’unico termine da linearizzare è x ×s. Se si linearizza

o 0

in corrispondenza di uno stato naturale, allora resta solo il termine di ordine zero di x .

o

0

Essendo x̄ = ā , si ottiene

1

o 0

s + b = o, (55)

0

m + ā × s + c = o. (56)

1

La (52) diventa Z L ¡ ¢

(int) 0 0

W (w) = − s · (w − ω × ā ) + m · ω dζ. (57)

1

o

0

DISAT, Università dell’Aquila, 12 luglio 2004 (985) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

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travi (l)

Le espressioni di s e m (53) e (54), essendo nulla la parte di ordine zero di ciascuna

componente, risultano rispettivamente

s = N ā + Q ā + Q ā , (58)

1 2 2 3 3

m = M ā + M ā + M ā . (59)

1 1 2 2 3 3

4 Modello di filo

Per un filo può essere adottato un modello derivato da quello della trave assumendo che sia

nulla la potenza, sia esterna che interna, corrispondente a ω. La potenza esterna assume

dunque la espressione Z L

(ext) − +

W (w ) = b · w dζ + s · w (0) + s · w (L), (60)

o o o o

0

mentre la potenza interna è Z L

(int) 0

W (w ) = − s · w dζ. (61)

o o

0

Sommando la (60) e la (61) la potenza totale in un atto di moto test risulta

Z Z

L L

(ext) (int) − + 0

W (w ) + W (w ) = b · w dζ + s · w (0) + s · w (L) − s · w dζ. (62)

o o o o o o

0 0

Attraverso la integrazione per parti

Z Z

L L

0 0

s · w dζ = − s · w dζ + s(L) · w (L) − s(0) · w (0), (63)

o o o

o

0 0

la (62) diventa Z L

(ext) (int) 0

W (w ) + W (w ) = (s + b) · w dζ

o o o

0

¡ ¢ ¡ ¢

− +

+ s + s(0) · w (0) + s − s(L) · w (L). (64)

o o

La condizione che la potenza virtuale sia nulla per ogni atto di moto fornisce la equazione

differenziale di bilancio 0

s + b = o, (65)

assieme alle equazioni di bilancio al bordo

s + s(0) = o, (66)

+

s − s(L) = o. (67)

Un atto di moto rigido può in generale avere la seguente rappresentazione

¡ ¢

w (ζ) = w + ω × x (ζ) − x (0) , (68)

o o o o

DISAT, Università dell’Aquila, 12 luglio 2004 (985) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

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travi (l)

da cui, derivando, si ottiene 0 0

w (ζ) = ω × x (ζ). (69)

o o

Dalla condizione che per ogni atto di moto rigido la densità di potenza interna sia nulla si

ha 0 0 0 0

s · w = 0 ⇒ s · ω × x = 0 ⇒ x × s · ω = 0 ⇒ x × s = o. (70)

o o o o

Dunque la risposta del materiale deve essere tale che il vettore s(ζ) risulti in ogni punto

tangente alla curva descritta da x .

o

5 Confronto con il continuo di Cauchy

Si restringono le deformazioni e gli atti di moto test del continuo di Cauchy a quelli descritti

1 e 2. Le espressioni della potenza forniscono una interpretazione sia dei

nei paragrafi

descrittori delle distribuzioni di forze che dei descrittori della tensione del modello di trave

di Timoshenko.

5.1 Gradiente della deformazione

Si considerino le curve corrispondenti per x̄(ζ , ζ , ζ ) e φ(x̄(ζ , ζ , ζ ))

1 2 3 1 2 3

c̄ (h) = x̄(ζ + h, ζ , ζ ), (71)

1 1 2 3

c (h) = φ(x̄(ζ + h, ζ , ζ )). (72)

1 1 2 3

I rispettivi vettori tangenti sono

0 0 0

c̄ (0) = x̄ = x̄ = ā , (73)

1

1 o

0 0 0 0 ā ).

ā + ζ

c (0) = x = x + R (ζ (74)

3

2 3

2

1 o

Le curve c̄ (h) = x̄(ζ , ζ + h, ζ ), (75)

2 1 2 3

c (h) = φ(x̄(ζ , ζ + h, ζ )), (76)

2 1 2 3

c̄ (h) = x̄(ζ , ζ , ζ + h), (77)

3 1 2 3

c (h) = φ(x̄(ζ , ζ , ζ + h)), (78)

3 1 2 3

hanno vettori tangenti, rispettivamente, 0

c̄ (0) = ā , (79)

2

2

0 (80)

c (0) = Rā ,

2

2

0

c̄ (0) = ā , (81)

3

3

0

c (0) = Rā . (82)

3

3

DISAT, Università dell’Aquila, 12 luglio 2004 (985) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

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travi (l)

Per il gradiente della deformazione F si ha pertanto ¢

¡ T 0 T 0

0 0 0 ā ) ,

ā + ζ ā ) = R R x + R R (ζ ā + ζ

Fā = x = x + R (ζ (83)

3

2 3

1 2 2 3 3 2

o o

Fā = Rā , (84)

2 2 (85)

Fā = Rā .

3 3

Ponendo 0

x = λ Rā + α Rā + α Rā , (86)

1 2 2 3 3

senza calcolare esplicitamente le espressioni di tali componenti in termini dei descrittori

diventa

della deformazione x , R e delle loro derivate, la (83)

o Fā = R(λā + α ā + α ā ). (87)

1 1 2 2 3 3

Dalla definizione e dalle proprietà del determinante risulta, utilizzando le (87), (84) e (85),

vol(Fā , Fā , Fā ) vol(R(λā + α ā + α ā ), Rā , Rā )

1 2 3 1 2 2 3 3 2 3

=

det F = vol(ā , ā , ā ) vol(ā , ā , ā )

1 2 3 1 2 3

vol(λ Rā , Rā , Rā ) vol(Rā , Rā , Rā )

1 2 3 1 2 3

= = λ = λ. (88)

vol(ā , ā , ā ) vol(ā , ā , ā )

1 2 3 1 2 3

La condizione det F > 0 è pertanto equivalente alla condizione

λ> 0 (89)

che, avendo posto nella (32) a := Rā , può essere anche espressa, per la (86), come

1 1 0

x · a > 0. (90)

1

Si noti che tale condizione deve essere soddisfatta da F(x̄(ζ , ζ , ζ )) ovunque.

1 2 3

5.2 Matrice del gradiente della deformazione

Al fine di esprimere la matrice del gradiente della deformazione in termini dei descrittori

della deformazione x , R e delle loro derivate, si ponga

o 0

x = (1 + ε) Rā + γ Rā + γ Rā , (91)

1 2 2 3 3

o T 0

e si indichi la matrice di Γ := R R nella base {ā , ā , ā }, con

1 2 3

 

0 −χ χ

3 2

 

χ 0 −χ

[Γ] = . (92)

3 1

−χ χ 0

2 1

Ne deriva che, nella (83),

T 0 T 0

R x + R R (ζ ā + ζ ā )

2 2 3 3

o

= (1 + ε) ā + γ ā + γ ā + ζ (−χ ā + χ ā ) + ζ (χ ā − χ ā )

1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 3 2 1 1 2

= (1 + ε − ζ χ + ζ χ ) ā + (γ − ζ χ )ā + (γ + ζ χ )ā . (93)

2 3 3 2 1 2 3 1 2 3 2 1 3

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travi (l)

Pertanto la matrice di F nella base {ā , ā , ā } risulta, dalle (83), (84) e (85),

1 2 3

    

1+ ε 0 0 −ζ χ + ζ χ 0 0

2 3 3 2

    

γ 1 0 −ζ χ 0 0

[F] = [R] + . (94)

2 3 1

γ 0 1 ζ χ 0 0

3 2 1

È bene notare che tale espressione non corrisponde alla decomposizione polare di F, non

avendo il termine che moltiplica [R] le proprietà di una dilatazione.

Si noti che le grandezze scalari introdotte ε, γ , γ , χ , χ , χ dipendono solo da ζ e

2 3 1 2 3 1

con la (86) risulta

che dal confronto della (93)

det F = λ = 1 + ε(ζ ) − ζ χ (ζ ) + ζ χ (ζ ). (95)

1 2 3 1 3 2 1

possono essere messe in relazione con le componenti dello

Le componenti del vettore (91)

spostamento u nel seguente modo. Dalla definizione di spostamento

o u(x̄ ) = φ(x̄ ) − x̄ (96)

o o o

si ottiene, utilizzando la (3), 0 0

u = x − ā . (97)

1

o o

Ponendo ā , (98)

ā + u

ā + u

u = u 3

2 o3

1 o2

o o1

e osservando che, per la (91) ¢

¡

0 , (99)

ā + γ

x = R (1 + ε) ā + γ 3

2 3

1 2

o

alla (97) corrisponde la seguente relazione tra le componenti nella base {ā , ā , ā }

1 2 3

 

   

0

u 1+ ε 1

o1

 

   

0

u 0

γ . (100)

= [R] −

2

o2

0 0

u γ 3

o3

Le espressioni di χ , χ e χ in termini dei descrittori di R dipendono dalla parametrizza-

1 2 3

zione utilizzata per le rotazioni e non sono in generale semplici.

5.3 Distribuzioni di forza e classi di equipotenza

Si consideri la espressione della potenza esterna

Z Z

(ext)

W (w) = b · w dV + t · w dA, (101)

R ∂R

con w dato dalla espressione (28). In corrispondenza di una deformazione φ : R̄ → R in

cui R̄ sia un cilindro si ha, essendo dalla (88) det F = λ,

Z Z

b · w dV = b · w det F dV

R R̄

Z Z Z Z

L L

= b λ dA · w dζ + (x − x ) ⊗ b λ dA · W dζ (102)

o o

0 S 0 S

DISAT, Università dell’Aquila, 12 luglio 2004 (985) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

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travi (l)

Assumendo che t sia assegnato solo sulle facce d’estremità, si ha

Z Z Z

Z t · w dA = t dA · w (0) + (x − x ) ⊗ t dA · W(0),

t · w dA = o o

− −

∂R ∂ R̄ S S

Z

Z (L) + (x − x ) ⊗ t dA · W(L)

t dA · w

+ (103)

o

o +

+ S

S

Introducendo come descrittori di classi di equipotenza per le distribuzioni di forza di volume

Z

b := b λ dA, (104)

S

Z (105)

c := (x − x ) × b λ dA,

o

S

e come descrittori di classi di equipotenza per le distribuzioni di forza superficiali, in

corrispondenza delle estremità destra e sinistra,

Z

±

s := (106)

t dA,

±

S

Z

±

m := (x − x ) × t dA, (107)

o

±

S

la (101) diventa identica alla (33). In questo modo si è data una interpretazione dei

descrittori delle distribuzioni di forza introdotti nella (33).

5.4 Descrittori della tensione

Si consideri ora la espressione della potenza interna Z Z

Z Z L

(int)

W (w) = − T · G dV = − λT · G dV = − λT · G dA dζ (108)

R R̄ 0 S

con G dato dalle (29), (30),(31). Essendo, in corrispondenza di ciascuna sezione,

T · G = T(a ⊗ a + a ⊗ a + a ⊗ a ) · G

1 1 2 2 3 3

= Ta · Ga + Ta · Ga + Ta · Ga , (109)

1 1 2 2 3 3

utilizzando le (30) e (31) si ottiene

T · G = Ta · Ga + Ta · Wa + Ta · Wa . (110)

1 1 2 2 3 3

Per il principio di obiettività materiale T deve essere tale che

T · W =0 (111)

per qualsiasi W antisimmetrico. Espandendo come nella (109) si ha

0 = Ta · Wa + Ta · Wa + Ta · Wa . (112)

1 1 2 2 3 3

DISAT, Università dell’Aquila, 12 luglio 2004 (985) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

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travi (l)

Sottraendo tale espressione alla (110) risulta

T · G = Ta · (G − W)a . (113)

1 1

Poichè dalla (86) è 0 (114)

Gx = λ Ga + α Ga + α Ga ,

1 2 2 3 3

0

Wx = λ Wa + α Wa + α Wa , (115)

1 2 2 3 3

risulta, per le (30) e (31), 0

(G − W)x = λ (G − W)a . (116)

1

diventa, per la (29),

Pertanto la (113) 0

λ T · G = Ta · (G − W)x (117)

1 ¡ ¢

0 0 0 0 0

= Ta · w + W (x − x ) + W(x − x ) − Wx

1 o

o o

¡ ¢

0 0 0

= Ta · w − Wx + W (x − x )

1 o

o o

¡ ¢

0 0 0

= Ta · w − ω × x + ω × (x − x )

1 o

o o

0 0 0 (118)

= Ta · (w − ω × x ) + (x − x ) × Ta · ω .

1 o 1

o o

Ponendo Z

s := (119)

Ta dA,

1

S

Z

m := (x − x ) × Ta dA, (120)

o 1

S

la espressione della potenza interna (108) diventa identica alla (52). Questo permette di

interpretare s e m come descrittori della tensione T in corrispondenza di ciascuna sezione.

6 Piccole deformazioni nel modello tridimensionale

6.1 Atti di moto test

In genere per piccole deformazioni nella espressione della potenza compaiono solo i termini

di ordine zero del campo di velocità, poiché sia la tensione che le forze sono di ordine uno

rispetto al gradiente dello spostamento.

Occorre dunque condiderare atti di moto e loro gradienti in R̄. Questi, essendo R̄ un

0 0

cilindro, con x̄ = x̄ = ā ovunque, sono descritti dalle espressioni

1

o w(x̄) = w + W(x̄ − x̄ ), (121)

o o

0 0

Gā = w + W (x̄ − x̄ ), (122)

1 o

o

Gā = Wā , (123)

2 2

Gā = Wā . (124)

3 3

DISAT, Università dell’Aquila, 12 luglio 2004 (985) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico relativo alle travi vengono trattati i seguenti argomenti:
- Deformazioni
- Configurazioni e deformazioni (definizioni alternative)
- Modello di Timoshenko
- Componenti della tensione
- Linearizzazione
- Modello di filo
- Confronto con il continuo di Cauchy
- Gradiente della deformazione
- Matrice del gradiente della deformazione
- Distribuzioni di forza e classi di equipotenza
- Descrittori della tensione
- Piccole deformazioni nel modello tridimensionale
- Distribuzioni di forza e classi di equipotenza
- Descrittori della tensione
- Matrice del gradiente dell’atto di moto
- Matrice del gradiente dello spostamento
- Distribuzioni di forza sulle sezioni corrispondenti alla tensione
- Trave di Eulero-Bernoulli
- Piccole deformazioni in uno spazio di dimensione due
- Distribuzioni di forza e classi di equipotenza
- Descrittori della tensione
- Equazioni lineari di bilancio scalari
- Matrice del gradiente dello spostamento.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria informatica e automatica
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Meccanica dei solidi e dei materiali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Tatone Amabile.

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