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In questo materiale didattico relativo alle travi vengono trattati i seguenti argomenti:
- Deformazioni
- Configurazioni e deformazioni (definizioni alternative)
- Modello di Timoshenko
- Componenti della tensione
- Linearizzazione
- Modello di filo
- Confronto con il continuo di Cauchy... Vedi di più

Esame di Meccanica dei solidi e dei materiali docente Prof. A. Tatone

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ESTRATTO DOCUMENTO

13

travi (l)

6.2 Distribuzioni di forza e classi di equipotenza

Si consideri la espressione della potenza esterna

Z Z

(ext)

W (w) = b · w dV + t · w dA, (125)

R̄ ∂ R̄

in cui, trattandosi di piccole deformazioni, w è dato dalla (121). Avendo assunto che R̄ sia

un cilindro con asse x̄ si ha

o

Z Z Z Z Z

L L (126)

b · w dV = b dA · w dζ + (x̄ − x̄ ) ⊗ b dA · W dζ.

o o

R̄ 0 S 0 S

Assumendo inoltre che t sia assegnato solo sulle facce d’estremità, si ha

Z

Z Z t dA · w (0) + (x̄ − x̄ ) ⊗ t dA · W(0)

t · w dA = o o

− S

S

∂ R̄ Z Z

+ t dA · w (L) + (x̄ − x̄ ) ⊗ t dA · W(L). (127)

o o

+ +

S S

Introducendo come descrittori di classi di equipotenza per le distribuzioni di forza di volume

Z

b := b dA, (128)

S

Z

c := (129)

(x̄ − x̄ ) × b dA,

o

S

e come descrittori di classi di equipotenza per le distribuzioni di forza superficiali, in

corrispondenza delle estremità destra e sinistra,

Z

± (130)

s := t dA,

±

S

Z

±

m := (x̄ − x̄ ) × t dA, (131)

o

±

S

la (125) diventa identica alla (33).

6.3 Descrittori della tensione

Si consideri ora la espressione della potenza interna

Z Z Z

L

(int)

W (w) = − T · G dV = − T · G dA dζ (132)

R̄ 0 S

in cui, trattandosi di piccole deformazioni, il gradiente della velocità G è descritto dalle

(123) e (124). Essendo, in corrispondenza di ciascuna sezione,

(122), T · G = T(ā ⊗ ā + ā ⊗ ā + ā ⊗ ā ) · G

1 1 2 2 3 3

= Tā · Gā + Tā · Gā + Tā · Gā , (133)

1 1 2 2 3 3

DISAT, Università dell’Aquila, 12 luglio 2004 (985) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

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travi (l)

utilizzando le (123) e (124) si ottiene

T · G = Tā · Gā + Tā · Wā + Tā · Wā . (134)

1 1 2 2 3 3

Per il principio di obiettività materiale T deve essere tale che

T · W =0 (135)

per qualsiasi W antisimmetrico. Espandendo tale espressione come nella (133), risulta

0 = Tā · Wā + Tā · Wā + Tā · Wā . (136)

1 1 2 2 3 3

Sottraendo questa dalla (134) si ha

T · G = Tā · (G − W)ā . (137)

1 1

Sostituendo la (122) si ottiene infine ¢

¡ 0 0

T · G = Tā · w + W (x̄ − x̄ ) − Wā

1 o 1

o

0 0

= Tā · (w − Wā ) + Tā · W (x̄ − x̄ )

1 1 1 o

o

0 0

= Tā · (w − ω × ā ) + Tā · ω × (x̄ − x̄ ). (138)

1 1 1 o

o

Introducendo, come descrittori della tensione,

Z

s := (139)

Tā dA,

1

S

Z

m := (140)

(x̄ − x̄ ) × Tā dA,

o 1

S

la espressione della potenza interna (132) diventa identica alla (52).

6.4 Matrice del gradiente dell’atto di moto

Dalla (122) si ha per il gradiente dell’atto di moto G

0 0

Gā = w + W (ζ ā + ζ ā ), (141)

2 3 3

1 2

o

Gā = Wā , (142)

2 2

Gā = Wā . (143)

3 3

Indicando la matrice della velocità angolare W nella (121) con

 0 −ω ω

3 2 

 ω 0 −ω (144)

[W] = 3 1

−ω ω 0

2 1

e ponendo w = w ā + w ā + w ā , (145)

o o1 1 o2 2 o3 3

DISAT, Università dell’Aquila, 12 luglio 2004 (985) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

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travi (l)

la matrice del gradiente dell’atto di moto nella base {ā , ā , ā } risulta

1 2 3

   

0 0 0

w −ω ω −ζ ω + ζ ω 0 0

3 2 2 3

o1 3 2

   

   

0 0

w 0 −ω −ζ ω 0 0

[G] = + , (146)

1 3

   

o2 1

0 0

w ω 0 +ζ ω 0 0

1 2

o3 1

la cui parte simmetrica è  

1 1

0 0 0

w (w − ω ) (w + ω )

3 2

o1 o2 o3

2 2

 

 

1 0

(w − ω ) 0 0

[sym G] = 3

 

o2

2

1 0

(w + ω ) 0 0

2

o3

2 (147)

 12 1

0 0 0 0

−ζ ω + ζ ω − ζ ω ζ ω

2 3 3 2

3 2 1 1

2

 

 1 0

ζ ω 0 0

− .

+ 3 

 1

2

1 0

ζ ω 0 0

2 1

2

La differenza G − W che compare nella (137) ha matrice

  

0 0 0

w 0 0 −ζ ω + ζ ω 0 0

2 3

o1 3 2

  

  

0 0

w − ω 0 0 −ζ ω 0 0

[G − W] = + . (148)

3 3

  

o2 1

0 0

w + ω 0 0 +ζ ω 0 0

2 2

o3 1

La prima colonna di ciascuna delle due matrici contiene le componenti rispettivamente dei

0 0 Si noti come anche da tali

vettori (w − Wā ) e W (x̄ − x̄ ) della espressione (138).

1 o

o

matrici risulta T · G = T · sym G = Tā · (G − W)ā . (149)

1 1

6.5 Matrice del gradiente dello spostamento

La deformazione (1) diventa ¡ ¢

φ(x̄(ζ , ζ , ζ )) = φ(x̄ (ζ )) + (I + Θ(ζ )) x̄(ζ , ζ , ζ ) − x̄ (ζ ) , (150)

1 2 3 o 1 1 1 2 3 o 1

mentre il campo di spostamento (5), assume l’espressione

¡ ¢

x̄(ζ , ζ , ζ ) − x̄ (ζ ) . (151)

u((x̄(ζ , ζ , ζ )) = u(x̄ (ζ )) + Θ(ζ ) 1 2 3 o 1

1 2 3 o 1 1

La rotazione infinitesima Θ(ζ ) è descritta dalla matrice

1  

0 −θ (ζ ) θ (ζ )

3 1 2 1 

 θ (ζ ) 0 −θ (ζ )

[Θ(ζ )] = . (152)

3 1 1 1

1 −θ (ζ ) θ (ζ ) 0

2 1 1 1

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travi (l)

Dalla (150) si ha per il gradiente della deformazione F

0 0 (153)

Fā = x + Θ (ζ ā + ζ ā ),

1 2 2 3 3

o

Fā = (I + Θ)ā , (154)

2 2

Fā = (I + Θ)ā . (155)

3 3

Dalla (151) per il gradiente dello spostamento si ha

0 0

∇u ā = u + Θ (ζ ā + ζ ā ), (156)

1 2 2 3 3

o

∇u ā = Θā , (157)

2 2

∇u ā = Θā . (158)

3 3

La matrice del gradiente dello spostamento risulta pertanto

   

0 0 0

u −θ θ −ζ θ + ζ θ 0 0

3 2 2 3

o1 3 2

   

   

0 0

u 0 −θ −ζ θ 0 0

[∇u] = + . (159)

1 3

   

o2 1

0 0

u θ 0 +ζ θ 0 0

1 2

o3 1

La matrice della dilatazione infinitesima risulta

 

1

1 0 0

0 (u − θ ) (u + θ )

u 3 2

o2 o3

o1 2 2

 

 

1 0

(u − θ ) 0 0

[E] = [sym ∇u] = 3

 

o2

2

1 0

(u + θ ) 0 0

2

o3

2 (160)

 1

12 0 0

0 0 ζ θ ζ θ

−ζ θ + ζ θ − 3 2

2 3 1 1

3 2 2 

 

 1 0

− ζ θ 0 0

+ .

3 

 1

2

1 0

ζ θ 0 0

2 1

2

Osservando che dalla linearizzazione della (99) si ottiene

0

x = (1 + ε) ā + γ ā + γ ā + Θā

1 2 2 3 3 1

o = (1 + ε) ā + (γ + θ )ā + (γ − θ )ā , (161)

1 2 3 2 3 1 3

alla (97) corrisponde pertanto la seguente relazione tra le componenti nella base {ā , ā , ā }

1 2 3

  

  

0 ε

u 0

o1 

   

 0 γ

u θ . (162)

= + 2

3

o2

0 γ

u −θ 3

2

o3 T 0

mentre per la matrice della linearizzazione di Γ := R R nella base {ā , ā , ā }, risulta

1 2 3

   

0 0

0 −χ χ 0 −θ θ

3 2 3 2

  

 0 0

χ 0 −χ θ 0 −θ

= . (163)

3 1 3 1

0 0

−χ χ 0 −θ θ 0

2 1 2 1

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travi (l)

6.6 Risposta

Utilizzando la funzione di risposta per un materiale elastico isotropo

C(E) = λ tr(E)I + 2µE, (164)

si costruisce la espressione di Z T · G dA. (165)

S

Dalla (146) e dalla (??), risulta

T · G = C(E) · G = λ tr(E) I · G + 2µE · G = λ tr(E) tr(G) + 2µE · G

0

= (λ + 2µ)(ε − ζ χ + ζ χ )w

2 3 3 2 o1

0

+ µ(γ − ζ χ )(w − ω )

2 3 1 3

o2

0

+ µ(γ + ζ χ )(w + ω )

3 2 1 2

o3 0

− (λ + 2µ)(ε − ζ χ + ζ χ )ζ ω

2 3 3 2 2 3

0

+ (λ + 2µ)(ε − ζ χ + ζ χ )ζ ω

2 3 3 2 3 2 ¢

¡ 0

ω .

+ µ − (γ − ζ χ )ζ + (γ + ζ χ )ζ (166)

2 3 1 3 3 2 1 2 1

Nella espressione dell’integrale (165) svolgono un ruolo importante le definizioni seguenti.

Il centro x̄ di una sezione è definito dalla espressione

C Z

1

x̄ := x̄ + (x̄ − x̄ ) dA, (167)

o o

C A S

essendo A l’area della sezione. Il tensore di Eulero della sezione è

Z

J := (x̄ − x̄ ) ⊗ (x̄ − x̄ ) dA. (168)

o o

S

Utilizzando la parametrizzazione della sezione indotta dai vettori base ā , ā si ha

2 3

Z

1

x̄ = x̄ + (ζ ā + ζ ā ) dA, (169)

2 3 3

o 2

C A S

Z

J = (ζ ā + ζ ā ) ⊗ (ζ ā + ζ ā ) dA

2 2 3 3 2 2 3 3

S

Z 2 2

= (ζ ā ⊗ ā + ζ ζ (ā ⊗ ā + ā ⊗ ā ) + ζ ā ⊗ ā ) dA. (170)

2 2 2 3 2 3 3 2 3 3

2 3

S

La matrice del tensore di Eulero nella base {ā , ā } risulta

2 3

à !

Z 2

ζ ζ ζ

3 2

2 dA. (171)

[J] = 2

ζ ζ ζ

S 2 3 3

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travi (l)

Scegliendo x̄ = x̄ , per la (169),

o C

Z Z Z

(ζ ā + ζ ā ) dA = o ⇒ ζ dA = 0, ζ dA = 0. (172)

2 2 3 3 2 3

S S S

Scegliendo ā e ā autovettori di J,

2 3 Z Z Z

2 2

Jā = ζ dA ā , Jā = ζ dA ā , ⇒ ζ ζ dA = 0. (173)

2 2 3 3 2 3

2 3

S S S

Tenendo conto di queste proprietà e ponendo

Z 2

J := ζ dA, (174)

2 3

S

Z 2

J := ζ dA, (175)

3 2

S

Z 2 2

J := (ζ + ζ ) dA, (176)

o 2 3

S

dalla (166) si ha Z ¡ ¢

0 0 0

T · G dA = (λ + 2µ) Aεw + J χ ω + J χ ω

2 2 3 3

o1 2 3 (177)

S ¡ ¢

0 0 0

+µ Aγ (w − ω ) + Aγ (w + ω ) + J χ ω .

2 3 3 2 o 1

o2 o3 1

I termini sulla diagonale della matrice del tensore di Eulero si dicono momenti d’inerzia.

Gli autovalori si dicono momenti d’inerzia principali. In particolare J si dice il momento

2

d’inerzia (principale) rispetto alla direzione ā , J si dice il momento d’inerzia (principale)

2 3

rispetto alla direzione ā , mentre J si dice momento d’inerzia polare.

3 o

sia uguale alla (132) per qualsiasi atto di moto, deve essere

Si noti che, affinché la (57) Z

0 0

s · (w − ω × ā ) + m · ω = T · G dA (178)

1

o S

Utilizzando le componenti dei descrittori della tensione definite nelle (58) e (59) si ha

0 0 0 0 0

s · (w − ω × ā ) + m · ω = N w + Q (w − ω ) + Q (w + ω )

1 2 3 3 2

o o1 o2 o3 (179)

0 0 0

+ M ω + M ω + M ω .

1 2 3

1 2 3

Sostituendo le (177) e (179) nella (178) si ottiene una equazione che deve valere per qualsiasi

atto di moto. Risulta pertanto N = (λ + 2µ)A ε, (180)

Q = µA γ , (181)

2 2

Q = µA γ , (182)

3 3

M = µJ χ , (183)

1 o 1

M = (λ + 2µ)J χ , (184)

2 2 2

M = (λ + 2µ)J χ . (185)

3 3 3

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travi (l)

Si osservi che (λ + 2µ)ε è la tensione normale corrispondente ad un allungamento ε nella

direzione ā di un cubo con contrazione trasversale impedita. Nel caso di una trave, libera di

1

contrarsi trasversalmente, è più realistico sostituire a (λ+2µ) il modulo di Young. Per questa

ragione la funzione di risposta per una trave si assume descritta dalle seguenti espressioni

N = YA ε, (186)

Q = µA γ , (187)

2 2

Q = µA γ , (188)

3 3

M = µJ χ , (189)

1 o 1

M = YJ χ , (190)

2 2 2

M = YJ χ . (191)

3 3 3

È possibile motivare altre correzioni alle espressioni precedenti, attraverso altri metodi di

identificazione della risposta del modello di trave di Timoshenko. Inoltre, almeno in linea

di principio, è possibile determinare direttamente i coefficienti delle espressioni precedenti

attraverso prove sperimentali, senza derivarli dai moduli di Lamè λ e µ.

6.7 Distribuzioni di forza sulle sezioni corrispondenti alla tensione

Si noti che, immaginando di tagliare la trave in due in corrispondenza di una sezione,

sulla faccia di normale esterna ā alla tensione T corrisponde una distribuzione di forza

1

superficiale che per la (??) vale

t = Tā = C(E)ā = λ tr(E)ā + 2µEā

1 1 1 1

= (λ + 2µ)(ε − ζ χ + ζ χ )ā + µ(γ − ζ χ )ā + µ(γ + ζ χ )ā . (192)

2 3 3 2 1 2 3 1 2 3 2 1 3

Apparentemente sembra cosı̀ possibile ricostruire, almeno parzialmente, la tensione T nel

continuo di Cauchy a partire dai descrittori della tensione s e m della trave di Timoshenko,

dopo aver calcolato ε, γ , γ , χ , χ , χ , attraverso le (186)-(191). È bene ricordare però

2 3 1 2 3

che la tensione T in generale potrà soddisfare le equazioni di bilancio solo limitando gli

atti di moto test a quelli descritti nel par. 6.1. Non è dunque in generale una soluzione

delle equazioni di bilancio del continuo di Cauchy. Inoltre occorre osservare che le funzioni

di risposta per la trave di Timoshenko derivano dalla funzione di risposta adottata per il

continuo di Cauchy, assumendo per questo le deformazioni (150). Queste deformazioni sono

solo un sottoinsieme delle deformazioni del continuo di Cauchy e dunque non comprendono

in generale la soluzione per il continuo di Cauchy del particolare problema considerato.

Il modo corretto di vedere la relazione tra il modello di trave di Timoshenko e il continuo

2

di Cauchy, nel caso di corpi tipo trave, consiste nel considerare i due modelli come modelli

a scale diverse, il primo più sommario, il secondo più fine.

Naturalmente ha interesse che i due modelli siano strettamente legati tra loro. Un modo

per conciliare meglio la descrizione sommaria e quella fine, rispetto a quanto esposto nel

2 Quei corpi la cui forma può essere generata facendo scorrere una figura piana lungo una curva, risultando

lo spessore piccolo rispetto alla lunghezza.

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travi (l)

paragrafo precendente, consiste in questo: per lo stesso insieme degli atti di moto test, che

selezionano le classi di equipotenza, si considerano insiemi di deformazioni più ampi di quelli

descritti dalla (150), ma soggetti ad esempio alle condizioni di bilancio al bordo nel modello

fine, di cui fa parte il bordo delle sezioni. Si giunge cosı̀ a determinare valori diversi dei

coefficienti delle funzioni di risposta. Inoltre, cosa di solito più importante, essendo diverse

le deformazioni, risulta diversa la espressione della dilatazione infinitesima E e quindi la

L’obiettivo è ottenere una valutazione accurata di Tā poiché su questa si basano le

(192). 1

verifiche di resistenza del materiale.

Della espressione (192) è in genere considerata accurata la distribuzione normale unifor-

me corrispondente a ε, cosı̀ come la distribuzione normale lineare corrispondente a χ e a

2

χ . La distribuzione tangenziale uniforme corrispondente a γ nel continuo di Cauchy con-

3 2

trasta invece con la simmetria della tensione T, essendo nulla la distribuzione superficiale

sul bordo della sezione. Per questo viene sostituita, nel caso di sezioni rettangolari, da una

distribuzione tangenziale quadratica, nulla sull bordo della sezione, di risultante Q . Lo

2

stesso accade per il termine corrispondente a γ . Il termine corrispondente a χ è accurato

3 1

solo nel caso di sezione circolare.

6.8 Trave di Eulero-Bernoulli

Quando il rapporto tra spessore della sezione e lunghezza dell’asse è molto piccolo accade

che γ e γ risultano molto piccoli, pur restando Q e Q determinate dalle equazioni di

2 3 2 3

bilancio. Questo motiva una semplificazione del modello di trave di Timoshenko attraverso

la introduzione dei vincoli interni γ = 0, γ = 0. (193)

2 3

Corrispondentemente si modificano le espressioni (187) e (188) della funzione di risposta

nelle seguenti r (194)

Q = µA γ + Q ,

2 2 2

r

Q = µA γ + Q , (195)

3 3 3

assumendo in generale che la tensione è determinata dalla deformazione a meno di una parte

reattiva che ha potenza interna nulla in atti di moto compatibili con i vincoli. Dalla (179)

r r

la potenza corrispondente a Q e Q è

2 3

r 0 r 0

Q (w − ω ) + Q (w + ω ) (196)

3 2

2 o2 3 o3

che risulta nulla per atti di moto compatibili con i vincoli interni (193)

0 0

u − θ = 0, u + θ = 0, (197)

3 2

o2 o3

r r

qualunque siano Q e Q . Pertanto Q e Q hanno una parte reattiva che può avere

2 3

2 3

qualunque valore, mentre è nulla la parte dipendente da γ e γ , essendo questi nulli. Più

2 3

in generale si può assumere che esista una parte reattiva anche per N , M , M , M .

1 2 3

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travi (l)

7 Piccole deformazioni in uno spazio di dimensione due

7.1 Atti di moto test

Gli atti di moto (121) sono descritti, per la (2), dai campi vettoriali

w(x̄(ζ , ζ )) = w (ζ ) − ζ ω(ζ )ā , (198)

1 2 o 1 2 1 1

di componenti, nella base {a , a },

1 2

w (ζ , ζ ) = w (ζ ) − ζ ω(ζ ), (199)

1 1 2 o1 1 2 1

w (ζ , ζ ) = w (ζ ). (200)

2 1 2 o2 1

La matrice del gradiente dell’atto di moto è

à ! à ! à !

0 0 0 0

w − ζ ω −ω w −ω −ω 0

2

o1 o1

[G] = [∇w] = = + ζ (201)

2

0 0

w 0 w 0 0 0

o2 o2

con parte simmetrica à ! à !

1

0 0 0

w (w − ω) −ω 0

o1 o2

2

sym [G] = + ζ (202)

2

1 0

(w − ω) 0 0 0

o2

2

7.2 Distribuzioni di forza e classi di equipotenza

Assumendo che t sia assegnato solo sulle facce d’estremità, si ha

Z Z Z

(ext)

W (w) = b · w dV + t · w dA + t · w dA (203)

− +

R̄ S S

si ottiene

Sostituendo le (199)

Z Z Z

L ¢

¡

b · w dV = b (w − ζ ω) + b w dA dζ

1 o1 2 2 o2 1

R̄ 0 S

µZ ¶

Z Z Z

L

= b dA w + b dA w − ζ b dA ω dζ

1 o1 2 o2 2 1 1

0 S S S

Z L ¡ ¢

= q w + p w + c ω dζ , (204)

o1 o2 1

0

avendo introdotto, come descrittori di classi di equipotenza,

Z

q := b dA, (205)

1

S

Z

p := b dA, (206)

2

S

Z

c := − ζ b dA. (207)

2 1

S

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travi (l)

In corrispondenza delle estremità si ha

Z Z ¡ ¢

t · w dA = t (w (0) − ζ ω(0)) + t w (0) dA

1 o1 2 2 o2

− −

S S

Z Z Z

= t dA w (0) + t dA w (0) − ζ t dA ω(0)

1 o1 2 o2 2 1

− − −

S S S

− − − (208)

= N w (0) + Q w (0) + M ω(0),

o1 o2

Z

Z ¡ ¢

t · w dA = t (w (L) − ζ ω(L)) + t w (L) dA

1 o1 2 2 o2

+ +

S S

Z Z Z

= t dA w (L) + t dA w (L) − ζ t dA ω(L)

1 o1 2 o2 2 1

+ + +

S S S

+ + +

= N w (L) + Q w (L) + M ω(L), (209)

o1 o2

avendo introdotto, come descrittori di classi di equipotenza alle estremità destra e sinistra,

Z

±

N := t dA, (210)

1

±

S

Z

±

Q := (211)

t dA,

2

±

S

Z

±

M := − ζ t dA. (212)

2 1

±

S

7.3 Descrittori della tensione

Dalla espressione del gradiente di un atto di moto (202) si ha, indicando con σ gli elementi

ij

della matrice della tensione T,

Z Z Z Z

³

L

(int) 0 0

W (w) = − T · ∇w dV = − σ dA w + σ dA (w − ω)

11 21

o1 o2

R̄ 0 S S

Z ´

0

− ζ σ dA ω dζ

2 11 1

S

Z ³ ´

L 0 0 0

= − N w + Q (w − ω) + M ω dζ (213)

1

o1 o2

0

avendo introdotto, come descrittori della tensione,

Z

N (ζ ) := σ dA, (214)

1 11

S

Z

Q(ζ ) := σ dA, (215)

1 21

S

Z

M (ζ ) := − ζ σ dA. (216)

1 2 11

S

DISAT, Università dell’Aquila, 12 luglio 2004 (985) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico relativo alle travi vengono trattati i seguenti argomenti:
- Deformazioni
- Configurazioni e deformazioni (definizioni alternative)
- Modello di Timoshenko
- Componenti della tensione
- Linearizzazione
- Modello di filo
- Confronto con il continuo di Cauchy
- Gradiente della deformazione
- Matrice del gradiente della deformazione
- Distribuzioni di forza e classi di equipotenza
- Descrittori della tensione
- Piccole deformazioni nel modello tridimensionale
- Distribuzioni di forza e classi di equipotenza
- Descrittori della tensione
- Matrice del gradiente dell’atto di moto
- Matrice del gradiente dello spostamento
- Distribuzioni di forza sulle sezioni corrispondenti alla tensione
- Trave di Eulero-Bernoulli
- Piccole deformazioni in uno spazio di dimensione due
- Distribuzioni di forza e classi di equipotenza
- Descrittori della tensione
- Equazioni lineari di bilancio scalari
- Matrice del gradiente dello spostamento.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria informatica e automatica
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Meccanica dei solidi e dei materiali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Tatone Amabile.

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