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In questo materiale didattico relativo alle travi vengono trattati i seguenti argomenti:
- Deformazioni
- Configurazioni e deformazioni (definizioni alternative)
- Modello di Timoshenko
- Componenti della tensione
- Linearizzazione
- Modello di filo
- Confronto con il continuo di Cauchy... Vedi di più

Esame di Scienza delle costruzioni docente Prof. A. Tatone

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ESTRATTO DOCUMENTO

9

travi (l)

Per il gradiente della deformazione F si ha pertanto ¢

¡ T 0 T 0

0 0 0 ā ) ,

ā + ζ ā ) = R R x + R R (ζ ā + ζ

Fā = x = x + R (ζ (83)

3

2 3

1 2 2 3 3 2

o o

Fā = Rā , (84)

2 2 (85)

Fā = Rā .

3 3

Ponendo 0

x = λ Rā + α Rā + α Rā , (86)

1 2 2 3 3

senza calcolare esplicitamente le espressioni di tali componenti in termini dei descrittori

diventa

della deformazione x , R e delle loro derivate, la (83)

o Fā = R(λā + α ā + α ā ). (87)

1 1 2 2 3 3

Dalla definizione e dalle proprietà del determinante risulta, utilizzando le (87), (84) e (85),

vol(Fā , Fā , Fā ) vol(R(λā + α ā + α ā ), Rā , Rā )

1 2 3 1 2 2 3 3 2 3

=

det F = vol(ā , ā , ā ) vol(ā , ā , ā )

1 2 3 1 2 3

vol(λ Rā , Rā , Rā ) vol(Rā , Rā , Rā )

1 2 3 1 2 3

= = λ = λ. (88)

vol(ā , ā , ā ) vol(ā , ā , ā )

1 2 3 1 2 3

La condizione det F > 0 è pertanto equivalente alla condizione

λ> 0 (89)

che, avendo posto nella (32) a := Rā , può essere anche espressa, per la (86), come

1 1 0

x · a > 0. (90)

1

Si noti che tale condizione deve essere soddisfatta da F(x̄(ζ , ζ , ζ )) ovunque.

1 2 3

5.2 Matrice del gradiente della deformazione

Al fine di esprimere la matrice del gradiente della deformazione in termini dei descrittori

della deformazione x , R e delle loro derivate, si ponga

o 0

x = (1 + ε) Rā + γ Rā + γ Rā , (91)

1 2 2 3 3

o T 0

e si indichi la matrice di Γ := R R nella base {ā , ā , ā }, con

1 2 3

 

0 −χ χ

3 2

 

χ 0 −χ

[Γ] = . (92)

3 1

−χ χ 0

2 1

Ne deriva che, nella (83),

T 0 T 0

R x + R R (ζ ā + ζ ā )

2 2 3 3

o

= (1 + ε) ā + γ ā + γ ā + ζ (−χ ā + χ ā ) + ζ (χ ā − χ ā )

1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 3 2 1 1 2

= (1 + ε − ζ χ + ζ χ ) ā + (γ − ζ χ )ā + (γ + ζ χ )ā . (93)

2 3 3 2 1 2 3 1 2 3 2 1 3

DISAT, Università dell’Aquila, 12 luglio 2004 (985) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

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travi (l)

Pertanto la matrice di F nella base {ā , ā , ā } risulta, dalle (83), (84) e (85),

1 2 3

    

1+ ε 0 0 −ζ χ + ζ χ 0 0

2 3 3 2

    

γ 1 0 −ζ χ 0 0

[F] = [R] + . (94)

2 3 1

γ 0 1 ζ χ 0 0

3 2 1

È bene notare che tale espressione non corrisponde alla decomposizione polare di F, non

avendo il termine che moltiplica [R] le proprietà di una dilatazione.

Si noti che le grandezze scalari introdotte ε, γ , γ , χ , χ , χ dipendono solo da ζ e

2 3 1 2 3 1

con la (86) risulta

che dal confronto della (93)

det F = λ = 1 + ε(ζ ) − ζ χ (ζ ) + ζ χ (ζ ). (95)

1 2 3 1 3 2 1

possono essere messe in relazione con le componenti dello

Le componenti del vettore (91)

spostamento u nel seguente modo. Dalla definizione di spostamento

o u(x̄ ) = φ(x̄ ) − x̄ (96)

o o o

si ottiene, utilizzando la (3), 0 0

u = x − ā . (97)

1

o o

Ponendo ā , (98)

ā + u

ā + u

u = u 3

2 o3

1 o2

o o1

e osservando che, per la (91) ¢

¡

0 , (99)

ā + γ

x = R (1 + ε) ā + γ 3

2 3

1 2

o

alla (97) corrisponde la seguente relazione tra le componenti nella base {ā , ā , ā }

1 2 3

 

   

0

u 1+ ε 1

o1

 

   

0

u 0

γ . (100)

= [R] −

2

o2

0 0

u γ 3

o3

Le espressioni di χ , χ e χ in termini dei descrittori di R dipendono dalla parametrizza-

1 2 3

zione utilizzata per le rotazioni e non sono in generale semplici.

5.3 Distribuzioni di forza e classi di equipotenza

Si consideri la espressione della potenza esterna

Z Z

(ext)

W (w) = b · w dV + t · w dA, (101)

R ∂R

con w dato dalla espressione (28). In corrispondenza di una deformazione φ : R̄ → R in

cui R̄ sia un cilindro si ha, essendo dalla (88) det F = λ,

Z Z

b · w dV = b · w det F dV

R R̄

Z Z Z Z

L L

= b λ dA · w dζ + (x − x ) ⊗ b λ dA · W dζ (102)

o o

0 S 0 S

DISAT, Università dell’Aquila, 12 luglio 2004 (985) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

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travi (l)

Assumendo che t sia assegnato solo sulle facce d’estremità, si ha

Z Z Z

Z t · w dA = t dA · w (0) + (x − x ) ⊗ t dA · W(0),

t · w dA = o o

− −

∂R ∂ R̄ S S

Z

Z (L) + (x − x ) ⊗ t dA · W(L)

t dA · w

+ (103)

o

o +

+ S

S

Introducendo come descrittori di classi di equipotenza per le distribuzioni di forza di volume

Z

b := b λ dA, (104)

S

Z (105)

c := (x − x ) × b λ dA,

o

S

e come descrittori di classi di equipotenza per le distribuzioni di forza superficiali, in

corrispondenza delle estremità destra e sinistra,

Z

±

s := (106)

t dA,

±

S

Z

±

m := (x − x ) × t dA, (107)

o

±

S

la (101) diventa identica alla (33). In questo modo si è data una interpretazione dei

descrittori delle distribuzioni di forza introdotti nella (33).

5.4 Descrittori della tensione

Si consideri ora la espressione della potenza interna Z Z

Z Z L

(int)

W (w) = − T · G dV = − λT · G dV = − λT · G dA dζ (108)

R R̄ 0 S

con G dato dalle (29), (30),(31). Essendo, in corrispondenza di ciascuna sezione,

T · G = T(a ⊗ a + a ⊗ a + a ⊗ a ) · G

1 1 2 2 3 3

= Ta · Ga + Ta · Ga + Ta · Ga , (109)

1 1 2 2 3 3

utilizzando le (30) e (31) si ottiene

T · G = Ta · Ga + Ta · Wa + Ta · Wa . (110)

1 1 2 2 3 3

Per il principio di obiettività materiale T deve essere tale che

T · W =0 (111)

per qualsiasi W antisimmetrico. Espandendo come nella (109) si ha

0 = Ta · Wa + Ta · Wa + Ta · Wa . (112)

1 1 2 2 3 3

DISAT, Università dell’Aquila, 12 luglio 2004 (985) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

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travi (l)

Sottraendo tale espressione alla (110) risulta

T · G = Ta · (G − W)a . (113)

1 1

Poichè dalla (86) è 0 (114)

Gx = λ Ga + α Ga + α Ga ,

1 2 2 3 3

0

Wx = λ Wa + α Wa + α Wa , (115)

1 2 2 3 3

risulta, per le (30) e (31), 0

(G − W)x = λ (G − W)a . (116)

1

diventa, per la (29),

Pertanto la (113) 0

λ T · G = Ta · (G − W)x (117)

1 ¡ ¢

0 0 0 0 0

= Ta · w + W (x − x ) + W(x − x ) − Wx

1 o

o o

¡ ¢

0 0 0

= Ta · w − Wx + W (x − x )

1 o

o o

¡ ¢

0 0 0

= Ta · w − ω × x + ω × (x − x )

1 o

o o

0 0 0 (118)

= Ta · (w − ω × x ) + (x − x ) × Ta · ω .

1 o 1

o o

Ponendo Z

s := (119)

Ta dA,

1

S

Z

m := (x − x ) × Ta dA, (120)

o 1

S

la espressione della potenza interna (108) diventa identica alla (52). Questo permette di

interpretare s e m come descrittori della tensione T in corrispondenza di ciascuna sezione.

6 Piccole deformazioni nel modello tridimensionale

6.1 Atti di moto test

In genere per piccole deformazioni nella espressione della potenza compaiono solo i termini

di ordine zero del campo di velocità, poiché sia la tensione che le forze sono di ordine uno

rispetto al gradiente dello spostamento.

Occorre dunque condiderare atti di moto e loro gradienti in R̄. Questi, essendo R̄ un

0 0

cilindro, con x̄ = x̄ = ā ovunque, sono descritti dalle espressioni

1

o w(x̄) = w + W(x̄ − x̄ ), (121)

o o

0 0

Gā = w + W (x̄ − x̄ ), (122)

1 o

o

Gā = Wā , (123)

2 2

Gā = Wā . (124)

3 3

DISAT, Università dell’Aquila, 12 luglio 2004 (985) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

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travi (l)

6.2 Distribuzioni di forza e classi di equipotenza

Si consideri la espressione della potenza esterna

Z Z

(ext)

W (w) = b · w dV + t · w dA, (125)

R̄ ∂ R̄

in cui, trattandosi di piccole deformazioni, w è dato dalla (121). Avendo assunto che R̄ sia

un cilindro con asse x̄ si ha

o

Z Z Z Z Z

L L (126)

b · w dV = b dA · w dζ + (x̄ − x̄ ) ⊗ b dA · W dζ.

o o

R̄ 0 S 0 S

Assumendo inoltre che t sia assegnato solo sulle facce d’estremità, si ha

Z

Z Z t dA · w (0) + (x̄ − x̄ ) ⊗ t dA · W(0)

t · w dA = o o

− S

S

∂ R̄ Z Z

+ t dA · w (L) + (x̄ − x̄ ) ⊗ t dA · W(L). (127)

o o

+ +

S S

Introducendo come descrittori di classi di equipotenza per le distribuzioni di forza di volume

Z

b := b dA, (128)

S

Z

c := (129)

(x̄ − x̄ ) × b dA,

o

S

e come descrittori di classi di equipotenza per le distribuzioni di forza superficiali, in

corrispondenza delle estremità destra e sinistra,

Z

± (130)

s := t dA,

±

S

Z

±

m := (x̄ − x̄ ) × t dA, (131)

o

±

S

la (125) diventa identica alla (33).

6.3 Descrittori della tensione

Si consideri ora la espressione della potenza interna

Z Z Z

L

(int)

W (w) = − T · G dV = − T · G dA dζ (132)

R̄ 0 S

in cui, trattandosi di piccole deformazioni, il gradiente della velocità G è descritto dalle

(123) e (124). Essendo, in corrispondenza di ciascuna sezione,

(122), T · G = T(ā ⊗ ā + ā ⊗ ā + ā ⊗ ā ) · G

1 1 2 2 3 3

= Tā · Gā + Tā · Gā + Tā · Gā , (133)

1 1 2 2 3 3

DISAT, Università dell’Aquila, 12 luglio 2004 (985) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

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travi (l)

utilizzando le (123) e (124) si ottiene

T · G = Tā · Gā + Tā · Wā + Tā · Wā . (134)

1 1 2 2 3 3

Per il principio di obiettività materiale T deve essere tale che

T · W =0 (135)

per qualsiasi W antisimmetrico. Espandendo tale espressione come nella (133), risulta

0 = Tā · Wā + Tā · Wā + Tā · Wā . (136)

1 1 2 2 3 3

Sottraendo questa dalla (134) si ha

T · G = Tā · (G − W)ā . (137)

1 1

Sostituendo la (122) si ottiene infine ¢

¡ 0 0

T · G = Tā · w + W (x̄ − x̄ ) − Wā

1 o 1

o

0 0

= Tā · (w − Wā ) + Tā · W (x̄ − x̄ )

1 1 1 o

o

0 0

= Tā · (w − ω × ā ) + Tā · ω × (x̄ − x̄ ). (138)

1 1 1 o

o

Introducendo, come descrittori della tensione,

Z

s := (139)

Tā dA,

1

S

Z

m := (140)

(x̄ − x̄ ) × Tā dA,

o 1

S

la espressione della potenza interna (132) diventa identica alla (52).

6.4 Matrice del gradiente dell’atto di moto

Dalla (122) si ha per il gradiente dell’atto di moto G

0 0

Gā = w + W (ζ ā + ζ ā ), (141)

2 3 3

1 2

o

Gā = Wā , (142)

2 2

Gā = Wā . (143)

3 3

Indicando la matrice della velocità angolare W nella (121) con

 0 −ω ω

3 2 

 ω 0 −ω (144)

[W] = 3 1

−ω ω 0

2 1

e ponendo w = w ā + w ā + w ā , (145)

o o1 1 o2 2 o3 3

DISAT, Università dell’Aquila, 12 luglio 2004 (985) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

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travi (l)

la matrice del gradiente dell’atto di moto nella base {ā , ā , ā } risulta

1 2 3

   

0 0 0

w −ω ω −ζ ω + ζ ω 0 0

3 2 2 3

o1 3 2

   

   

0 0

w 0 −ω −ζ ω 0 0

[G] = + , (146)

1 3

   

o2 1

0 0

w ω 0 +ζ ω 0 0

1 2

o3 1

la cui parte simmetrica è  

1 1

0 0 0

w (w − ω ) (w + ω )

3 2

o1 o2 o3

2 2

 

 

1 0

(w − ω ) 0 0

[sym G] = 3

 

o2

2

1 0

(w + ω ) 0 0

2

o3

2 (147)

 12 1

0 0 0 0

−ζ ω + ζ ω − ζ ω ζ ω

2 3 3 2

3 2 1 1

2

 

 1 0

ζ ω 0 0

− .

+ 3 

 1

2

1 0

ζ ω 0 0

2 1

2

La differenza G − W che compare nella (137) ha matrice

  

0 0 0

w 0 0 −ζ ω + ζ ω 0 0

2 3

o1 3 2

  

  

0 0

w − ω 0 0 −ζ ω 0 0

[G − W] = + . (148)

3 3

  

o2 1

0 0

w + ω 0 0 +ζ ω 0 0

2 2

o3 1

La prima colonna di ciascuna delle due matrici contiene le componenti rispettivamente dei

0 0 Si noti come anche da tali

vettori (w − Wā ) e W (x̄ − x̄ ) della espressione (138).

1 o

o

matrici risulta T · G = T · sym G = Tā · (G − W)ā . (149)

1 1

6.5 Matrice del gradiente dello spostamento

La deformazione (1) diventa ¡ ¢

φ(x̄(ζ , ζ , ζ )) = φ(x̄ (ζ )) + (I + Θ(ζ )) x̄(ζ , ζ , ζ ) − x̄ (ζ ) , (150)

1 2 3 o 1 1 1 2 3 o 1

mentre il campo di spostamento (5), assume l’espressione

¡ ¢

x̄(ζ , ζ , ζ ) − x̄ (ζ ) . (151)

u((x̄(ζ , ζ , ζ )) = u(x̄ (ζ )) + Θ(ζ ) 1 2 3 o 1

1 2 3 o 1 1

La rotazione infinitesima Θ(ζ ) è descritta dalla matrice

1  

0 −θ (ζ ) θ (ζ )

3 1 2 1 

 θ (ζ ) 0 −θ (ζ )

[Θ(ζ )] = . (152)

3 1 1 1

1 −θ (ζ ) θ (ζ ) 0

2 1 1 1

DISAT, Università dell’Aquila, 12 luglio 2004 (985) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

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travi (l)

Dalla (150) si ha per il gradiente della deformazione F

0 0 (153)

Fā = x + Θ (ζ ā + ζ ā ),

1 2 2 3 3

o

Fā = (I + Θ)ā , (154)

2 2

Fā = (I + Θ)ā . (155)

3 3

Dalla (151) per il gradiente dello spostamento si ha

0 0

∇u ā = u + Θ (ζ ā + ζ ā ), (156)

1 2 2 3 3

o

∇u ā = Θā , (157)

2 2

∇u ā = Θā . (158)

3 3

La matrice del gradiente dello spostamento risulta pertanto

   

0 0 0

u −θ θ −ζ θ + ζ θ 0 0

3 2 2 3

o1 3 2

   

   

0 0

u 0 −θ −ζ θ 0 0

[∇u] = + . (159)

1 3

   

o2 1

0 0

u θ 0 +ζ θ 0 0

1 2

o3 1

La matrice della dilatazione infinitesima risulta

 

1

1 0 0

0 (u − θ ) (u + θ )

u 3 2

o2 o3

o1 2 2

 

 

1 0

(u − θ ) 0 0

[E] = [sym ∇u] = 3

 

o2

2

1 0

(u + θ ) 0 0

2

o3

2 (160)

 1

12 0 0

0 0 ζ θ ζ θ

−ζ θ + ζ θ − 3 2

2 3 1 1

3 2 2 

 

 1 0

− ζ θ 0 0

+ .

3 

 1

2

1 0

ζ θ 0 0

2 1

2

Osservando che dalla linearizzazione della (99) si ottiene

0

x = (1 + ε) ā + γ ā + γ ā + Θā

1 2 2 3 3 1

o = (1 + ε) ā + (γ + θ )ā + (γ − θ )ā , (161)

1 2 3 2 3 1 3

alla (97) corrisponde pertanto la seguente relazione tra le componenti nella base {ā , ā , ā }

1 2 3

  

  

0 ε

u 0

o1 

   

 0 γ

u θ . (162)

= + 2

3

o2

0 γ

u −θ 3

2

o3 T 0

mentre per la matrice della linearizzazione di Γ := R R nella base {ā , ā , ā }, risulta

1 2 3

   

0 0

0 −χ χ 0 −θ θ

3 2 3 2

  

 0 0

χ 0 −χ θ 0 −θ

= . (163)

3 1 3 1

0 0

−χ χ 0 −θ θ 0

2 1 2 1

DISAT, Università dell’Aquila, 12 luglio 2004 (985) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

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travi (l)

6.6 Risposta

Utilizzando la funzione di risposta per un materiale elastico isotropo

C(E) = λ tr(E)I + 2µE, (164)

si costruisce la espressione di Z T · G dA. (165)

S

Dalla (146) e dalla (??), risulta

T · G = C(E) · G = λ tr(E) I · G + 2µE · G = λ tr(E) tr(G) + 2µE · G

0

= (λ + 2µ)(ε − ζ χ + ζ χ )w

2 3 3 2 o1

0

+ µ(γ − ζ χ )(w − ω )

2 3 1 3

o2

0

+ µ(γ + ζ χ )(w + ω )

3 2 1 2

o3 0

− (λ + 2µ)(ε − ζ χ + ζ χ )ζ ω

2 3 3 2 2 3

0

+ (λ + 2µ)(ε − ζ χ + ζ χ )ζ ω

2 3 3 2 3 2 ¢

¡ 0

ω .

+ µ − (γ − ζ χ )ζ + (γ + ζ χ )ζ (166)

2 3 1 3 3 2 1 2 1

Nella espressione dell’integrale (165) svolgono un ruolo importante le definizioni seguenti.

Il centro x̄ di una sezione è definito dalla espressione

C Z

1

x̄ := x̄ + (x̄ − x̄ ) dA, (167)

o o

C A S

essendo A l’area della sezione. Il tensore di Eulero della sezione è

Z

J := (x̄ − x̄ ) ⊗ (x̄ − x̄ ) dA. (168)

o o

S

Utilizzando la parametrizzazione della sezione indotta dai vettori base ā , ā si ha

2 3

Z

1

x̄ = x̄ + (ζ ā + ζ ā ) dA, (169)

2 3 3

o 2

C A S

Z

J = (ζ ā + ζ ā ) ⊗ (ζ ā + ζ ā ) dA

2 2 3 3 2 2 3 3

S

Z 2 2

= (ζ ā ⊗ ā + ζ ζ (ā ⊗ ā + ā ⊗ ā ) + ζ ā ⊗ ā ) dA. (170)

2 2 2 3 2 3 3 2 3 3

2 3

S

La matrice del tensore di Eulero nella base {ā , ā } risulta

2 3

à !

Z 2

ζ ζ ζ

3 2

2 dA. (171)

[J] = 2

ζ ζ ζ

S 2 3 3

DISAT, Università dell’Aquila, 12 luglio 2004 (985) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

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travi (l)

Scegliendo x̄ = x̄ , per la (169),

o C

Z Z Z

(ζ ā + ζ ā ) dA = o ⇒ ζ dA = 0, ζ dA = 0. (172)

2 2 3 3 2 3

S S S

Scegliendo ā e ā autovettori di J,

2 3 Z Z Z

2 2

Jā = ζ dA ā , Jā = ζ dA ā , ⇒ ζ ζ dA = 0. (173)

2 2 3 3 2 3

2 3

S S S

Tenendo conto di queste proprietà e ponendo

Z 2

J := ζ dA, (174)

2 3

S

Z 2

J := ζ dA, (175)

3 2

S

Z 2 2

J := (ζ + ζ ) dA, (176)

o 2 3

S

dalla (166) si ha Z ¡ ¢

0 0 0

T · G dA = (λ + 2µ) Aεw + J χ ω + J χ ω

2 2 3 3

o1 2 3 (177)

S ¡ ¢

0 0 0

+µ Aγ (w − ω ) + Aγ (w + ω ) + J χ ω .

2 3 3 2 o 1

o2 o3 1

I termini sulla diagonale della matrice del tensore di Eulero si dicono momenti d’inerzia.

Gli autovalori si dicono momenti d’inerzia principali. In particolare J si dice il momento

2

d’inerzia (principale) rispetto alla direzione ā , J si dice il momento d’inerzia (principale)

2 3

rispetto alla direzione ā , mentre J si dice momento d’inerzia polare.

3 o

sia uguale alla (132) per qualsiasi atto di moto, deve essere

Si noti che, affinché la (57) Z

0 0

s · (w − ω × ā ) + m · ω = T · G dA (178)

1

o S

Utilizzando le componenti dei descrittori della tensione definite nelle (58) e (59) si ha

0 0 0 0 0

s · (w − ω × ā ) + m · ω = N w + Q (w − ω ) + Q (w + ω )

1 2 3 3 2

o o1 o2 o3 (179)

0 0 0

+ M ω + M ω + M ω .

1 2 3

1 2 3

Sostituendo le (177) e (179) nella (178) si ottiene una equazione che deve valere per qualsiasi

atto di moto. Risulta pertanto N = (λ + 2µ)A ε, (180)

Q = µA γ , (181)

2 2

Q = µA γ , (182)

3 3

M = µJ χ , (183)

1 o 1

M = (λ + 2µ)J χ , (184)

2 2 2

M = (λ + 2µ)J χ . (185)

3 3 3

DISAT, Università dell’Aquila, 12 luglio 2004 (985) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico relativo alle travi vengono trattati i seguenti argomenti:
- Deformazioni
- Configurazioni e deformazioni (definizioni alternative)
- Modello di Timoshenko
- Componenti della tensione
- Linearizzazione
- Modello di filo
- Confronto con il continuo di Cauchy
- Gradiente della deformazione
- Matrice del gradiente della deformazione
- Distribuzioni di forza e classi di equipotenza
- Descrittori della tensione
- Piccole deformazioni nel modello tridimensionale
- Distribuzioni di forza e classi di equipotenza
- Descrittori della tensione
- Matrice del gradiente dell’atto di moto
- Matrice del gradiente dello spostamento
- Distribuzioni di forza sulle sezioni corrispondenti alla tensione
- Trave di Eulero-Bernoulli
- Piccole deformazioni in uno spazio di dimensione due
- Distribuzioni di forza e classi di equipotenza
- Descrittori della tensione
- Equazioni lineari di bilancio scalari
- Matrice del gradiente dello spostamento.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria chimica
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Scienza delle costruzioni e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Tatone Amabile.

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