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Segnali e sistemi passabanda

a cura di Davide Mattera

Lo studio del segnale analitico e dell’inviluppo complesso estende i concetti di vettore rotante e fasore,

introdotti per i segnali sinusoidali, ad un generico segnale passabanda. Tale estensione risulta utile

perchè:

• semplifica i calcoli nelle analisi dei sistemi di modulazione;

• conduce ad una rappresentazione del rumore molto utile nello studio delle prestazioni dei sistemi

di telecomunicazione;

• consente di studiare segnali e sistemi passabanda in termini dei loro “equivalenti passabasso”.

1 Segnale analitico

Un segnale reale presenta uno spettro a simmetria hermitiana. È sufficiente, pertanto, conoscerne

l’andamento relativo all’asse positivo delle frequenze per averne una conoscenza completa. Si

o

supponga, pertanto, di associare al segnale reale un segnale (t) complesso tale che

x(t) x

 2X(f ) 0

f >

4

o (f ) = (1)

X 

 0 0

f <

In altri termini, è come se introducessimo il segnale in un sistema lineare e tempo invariante

x(t)

(LTI) la cui risposta in frequenza è 4

(f ) = 2U (f ) (2)

H a

dove (f ) denota il gradino unitario con discontinuità in = 0.

U f

−1

La relativa risposta impulsiva (t) = F [H (f )] è

h a a j

−1 −1

(t) = F [2U (f )] = F [1 + sign(f )] = + (3)

h δ(t)

a πt

−1

dove indica l’impulso di Dirac locato in = 0 e F la antitrasformata di Fourier.

δ(t) t 1

Dim. Per dimostrare il risultato (3) si ricordi la relazione n

d

j

n = )

F[t x(t)] X(f

n

2π df

che, per = 1, può essere riscritta come

n

d

j

−1

= F (4)

)

t x(t) X(f

2π df

dove F denota la trasformata di Fourier. Definito ) = sign(f ), si ha che

X(f

d d

) = [sign(f )] = 2δ(f )

X(f

df df

Pertanto, la (4) diventa j j

j

−1 −1

[2δ(f )] F (5)

= F = [δ(f )] =

t x(t) 2π π π

Tra tutte le che risolvono la (5), la soluzione da scegliere è quella con media nulla in frequenza

x(t)

e cioè j

=

x(t) πt

Risulta, pertanto, che j

o (t) = ⊗ (t) = ⊗ [δ(t) + ] = + (6)

x x(t) h x(t) x(t) j x̂(t)

a πt

dove il segnale detto trasformata di Hilbert di è definito nel modo seguente:

x̂(t), x(t),

Z

1 1

1 +∞ x(λ)

4

= ⊗ = dλ (7)

x̂(t) x(t) v.p. −

π t π t λ

−∞

in cui indica che l’integrale va inteso nel senso del valore principale secondo Cauchy, cioè

v.p. Z

Z +∞

t−ε

va inteso come lim (·)dλ + (·)dλ . Tale segnale può anche essere visto come l’uscita,

ε→0 −∞ t+ε

corrispondente all’ingresso del sistema LTI che presenta risposta impulsiva (t)

x(t), h q

1

4

(t) = (8)

h q πt

la cui risposta in frequenza vale π

−j sign(f )

2

(f ) = −jsign(f ) = (9)

H e

q

Si noti che tale sistema, il trasformatore di Hilbert, non risulta fisicamente realizzabile in quanto

non causale e con risposta in frequenza non derivabile nel senso ordinario, da cui discende che la

risposta impulsiva è infinitesima del primo ordine all’infinito e, quindi, non soddisfa le condizioni

2

di stabilità. La trasformata di Hilbert, tuttavia, può essere approssimata mediante un sistema

fisicamente realizzabile.

Si noti che il segnale analitico è a valori complessi e può anche essere descritto mediante la sua

espressione in termini di modulo e fase. Si ottiene, pertanto, un vettore nel piano complesso che

cambia la sua posizione al variare di e viene detto vettore rotante.

t

Un importante risultato consente di esprimere il segnale analitico del prodotto di due segnali.

In particolare, detto = il segnale reale prodotto di due segnali ed si ha

z(t) x(t)y(t) x(t) y(t),

o o

che (t) = (t) purchè sia un segnale passabasso di banda W ed sia un segnale

z x(t)y x(t) y(t)

passabanda con spettro non sovrapposto a quello del segnale detto (f − + )

x(t); W , f W

0 0

y y

l’intervallo di frequenze in cui si trova lo spettro di il risultato vale purchè − .

y(t), f W > W

0 y

Dim. Per la dimostrazione di questo risultato, si consideri la definizione del segnale analitico

Z +W

o (f ) = 2U (f )Z(f ) = 2U (f ) (f − (10)

Z X(λ)Y λ)dλ

−W

dove si è tenuto conto che al prodotto nel dominio del tempo corrisponde il prodotto di convoluzione

nel dominio della frequenza. Pertanto, antitrasformando secondo Fourier, risulta:

Z +∞ o

o j2πf t

(t) = (f )e df

z Z

−∞ " #

Z Z

+∞ +W j2πf t

= 2U (f ) (f − df

X(λ)Y λ)dλ e

−∞ −W

Z

Z +W +∞ j2πf t

= 2U (f )Y (f − df dλ

X(λ) λ)e

−W −∞

Z

Z +W +∞ j2πf t

2Y (f − df dλ

= X(λ) λ)e

0

−W

Z

Z +W +∞

j2πλt j2πµt

= 2Y (µ)e dµ dλ

X(λ)e

−W −λ

Z

Z Z

+W 0 +∞

j2πλt j2πµt j2πµt

= 2Y (µ)e dµ + 2Y (µ)e dµ dλ

X(λ)e 0

−W −λ "Z #

Z Z

Z +W 0 +W +∞

j2πλt j2πf t j2πλt j2πf t

= 2Y (f )e df dλ + dλ 2Y (f )e df

X(λ)e X(λ)e 0

−W −λ −W

"Z # Z

+W +∞

j2πλt j2πf t

= dλ 2U (f )Y (f )e df

X(λ)e

−W −∞

o

= (t) (11)

x(t)y

Infatti, Z

Z +W 0

j2πλt j2πf t

(f )e df dλ = 0

X(λ)e Y

−W −λ

poichè la funzione (f ) è nulla nell’intervallo di integrazione (−λ, 0), atteso che −W (la

Y < λ < W

(f ) è concentrata intorno ad ).

Y f 0 3

Es. 1 Si consideri il caso importante il cui il segnale = cos(2πf cioè

y(t) t),

0

= cos(2πf

z(t) x(t) t)

0

dove è un segnale passabasso. Si tenga presente che il segnale analitico di si ottiene

x(t) y(t)

rimuovendo la delta di Dirac presente sul semiasse negativo e raddoppiando l’area di quella sul

j2πf t e la trasformata di Hilbert

semiasse positivo. Ne discende che il segnale analitico di è

y(t) e 0

di (che è pari alla parte immaginaria del segnale analitico) vale sin(2πf Il segnale analitico

y(t) t).

0

j2πf t

di vale dunque, in base al teorema precedente, .

z(t) x(t)e 0

2 Segnali passabanda

I segnali il cui spettro è concentrato intorno ad una certa frequenza senza interessare l’origine

x(t)

sono detti passabanda o a banda stretta. La banda monolatera di tali segnali è definita dalla

W

relazione ) ≡ 0 per gli positivi tali che |f − | ≥ , con ≤ . In tale definizione non

X(f f f W W f f

0 0 0

è necessariamente il centro della banda del segnale, sebbene essa sia spesso chiamata la frequenza

centrale del segnale passabanda.

È possibile dare di un segnale passabanda una rappresentazione in termini di inviluppo

x(t)

complesso o equivalente passabasso (t) definito come:

x

e o −j2πf t

(t) = (t)e (12)

x x

e 0

o, equivalentemente, nel dominio della frequenza,

o

f ) = (f + ) (13)

X(f X f 0

In altri termini lo spettro del segnale analitico viene traslato verso le basse frequenze di una

quantità ; tale quantità è arbitrariamente scelta in fase di definizione dell’inviluppo complesso;

f 0

pertanto, diversi segnali equivalenti discendono da scelte differenti di per un particolare segnale

f 0

passabanda La scelta di è usualmente condotta in modo da rendere passabasso l’inviluppo

x(t). f 0

complesso del segnale considerato; pertanto, è usualmente un valore centrale nello spettro di

f 0

frequenze occupate dal segnale considerato.

In generale, (t) è un segnale complesso (il suo spettro non è hermitiano). Se però è

x x(t)

e

hermitiano intorno ad , allora (t) (riferito ad ) lo è intorno all’origine e, quindi, è reale.

f x f

e

0 0

Nel caso generale (t) è un segnale complesso la cui parte reale, denotata con (t), e quella

x x

e c

immaginaria, denotata con (t), sono dette componenti analogiche di bassa frequenza di

x x(t):

s (t) = (t) + (t)

x x jx

e c s

4 (t)

x

- - -

c

× LPF

6 6

2 cos(2πf t)

0

x(t) - (t)

x

- - -

? s

× LPF

6

−2 sin(2πf t)

0

Figura 1: Estrazione delle componenti in fase ed in quadratura del segnale passabanda.

Inoltre, o

= Re{x (t)}

x(t) j2πf t

= Re{ (t)e }

x

e 0

= (t) cos(2πf − (t) sin(2πf

x t) x t)

0 0

c s

= | (t)| cos[2πf + arg( (t))] (14)

x t x

e e

0

ove, tenendo conto della (12), q o

2 2

(t) + (t) = |x (t)|

| (t)| = x x

x

e c s

!

(t)

x o

s

−1

arg( (t)) = tg = arg(x (t)) − 2πf

x t

e 0

(t)

x c o

Si noti che il vettore (t) ha lo stesso modulo di (t) ma è in ritardo di 2πf

x x t.

e 0

L’estrazione delle componenti analogiche in bassa frequenza di si può ottenere secondo lo

x(t)

schema di Fig. 1 dove LPF denota un filtro passabasso ideale. Infatti, la componente in bassa

frequenza del segnale (a valle del moltiplicatore nel ramo superiore)

2x(t) cos(2πf = 2[x (t) cos(2πf − (t) sin(2πf cos(2πf

t) t) x t)] t)

0 0 0 0

c s

= (t) + (t) cos(2π(2f )t) − (t) sin(2π(2f )t) (15)

x x x

0 0

c c s

vale (t); analogamente si verifica che la componente in bassa frequenza del segnale (a valle del

x c

moltiplicatore nel ramo inferiore)

(t) − (t) cos(2π(2f )t) − (t) sin(2π(2f )t)

x x x

0 0

s s c

vale (t).

x s 5


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AUTORE

Sara F

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+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Trasmissione Numerica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Mattera Davide.

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