Che materia stai cercando?

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

S ai

= KB (T + T )

N i e

T

S ai i

= KB T T + T

N i i e

S 1

= (6)

T

N e

i 1+ T i

Quando la temperatura equivalente T del rumore all’ingresso vale proprio T , allora, dalla (5)

i 0

risulta che

S 1 S

=

N F N

o i

o, equivalentemente in dB, (sempre nel caso T = T )

i 0

S S

= − F dB

N N

o,dB i,dB

La cifra di rumore rappresenta, quindi, il fattore per cui occorre scalare il rapporto segnale/rumore

in ingresso per portare in conto il rumore ulteriore introdotto dallo stesso doppio bipolo, nell’ipotesi

di rumore in ingresso a temperatura ambiente T . Data la maggiore semplicità dell’operazione

0

da svolgersi sui valori in dB (in cui la moltiplicazione è sostituita dall’addizione), i rapporti

segnale/rumore e la cifra di rumore sono comunemente espressi in dB.

Si noti di nuovo che non è limitativa perchè un eventuale

l’ipotesi di completo adattamento

fattore di disadattamento interessa sia il segnale che il rumore e non influenza le relazione (6).

Si noti infine che uno stesso doppio bipolo può avere comportamenti diversi a seconda della

frequenza di centro banda considerata per cui la temperatura equivalente di rumore e la cifra

di rumore possono avere espressioni diverse per le diverse bande di frequenza in cui è possibile

utilizzare il doppio bipolo.

Es. 3 Tra i doppi bipoli che si incontrano in un sistema di ricetrasmissione rientrano i cavi di collegamento

fisico tra due punti. Essi vengono usati sia come collegamento fisico tra due siti remoti, sia per

la connessione di due doppi bipoli (per es., la connessione di due amplificatori in cascata oppure

quella tra i morsetti di antenna ed un amplificatore) che fanno parte della catena del ricevitore. I

cavi di collegamento considerati includono linee di trasmissione, fibre ottiche e guide d’onda e sono

costituiti da soli elementi passivi.

Si vuole qui determinare la temperatura equivalente di rumore del cavo in equilibrio termico

T e

alla temperatura . Si consideri il doppio bipolo connesso ad una sorgente in ingresso e ad un

T c

carico in uscita come mostrato in Fig. 7. Dalla definizione della temperatura di rumore della

T i

sorgente in ingresso e della temperatura equivalente di rumore del cavo considerato segue che

T e

la potenza di rumore in uscita dal cavo si può scrivere come

N a0 = G (T + ) (7)

N KB T

a0 a N i e

dove G è il guadagno del cavo e è la sua banda equivalente di rumore.

B

a N 12

Doppio

bipolo W

rumoroso

1 2

?

T T

1 2

R R

Figura 9: Metodo della temperatura calda e fredda.

La sorgente di rumore in ingresso può essere equivalentemente sostituita da una resistenza alla

temperatura . Se ora si immagina che la temperatura della sorgente di rumore in ingresso

T T

i i

coincida con , allora, guardando indietro dai morsetti di uscita, si vede solo materiale conduttore

T c

alla temperatura e, dunque, si percepisce la presenza di una sorgente di rumore bianco alla

T c

temperatura ; il rumore generato da tutti questi elementi resistivi non si presenta però diretta-

T c

mente in uscita ma viene filtrato dal cavo avente banda equivalente di rumore pari a . Risulta,

B N

pertanto, ragionevole l’approssimazione secondo cui il rumore in uscita dal doppio bipolo presenta

KT

densità spettrale di potenza pari a nella banda equivalente di rumore del cavo; in questo

B

c N

2 in uscita dal cavo si può quindi scrivere come

caso, pertanto, la potenza di rumore N a0 = (8)

N KB T

a0 N c

|T =Tc

i

Dalle relazioni (7) e (8) segue che G (T + ) =

KB T KB T

a N c e N c

da cui segue che = (L − 1)T (9)

T e a c

1

4

ove L = è l’attenuazione del cavo. Dalla (9) e dalla (5) segue che la cifra di rumore del cavo

a G a

vale T T

e c

=1+ = 1 + (L − 1)

F a

T T

0 0

da cui segue che, per un cavo alla temperatura fisica (T = ), la cifra di rumore coincide

T T F

c

0 0

con l’attenuazione del cavo L :

a = L (10)

F a

Es. 4 Spesso la temperatura equivalente di rumore del doppio bipolo non può essere determinata in base

a considerazioni di tipo analitico e va misurata sperimentalmente sulla base del comportamento

ingresso/uscita del doppio bipolo. Un metodo semplice per la misura di è schematizzato in Fig.

T e

9.

In posizione 1 si ha che la potenza misurata dal wattmetro è

W

= (T + ) (11)

N CKGB T

N e

1 1

13

ove è la costante di calibrazione del wattmetro. In posizione 2 la potenza misurata dal wattmetro

C

vale = (T + ) (12)

N CKGB T

N e

2 2

Dalle (11) e (12) segue che +

T

N T e

1 1

= (13)

+

N T T e

2 2

La relazione (13) consente di determinare la temperatura equivalente di rumore del doppio

T e

bipolo considerato sulla base delle misure delle potenze ed e della conoscenza delle due

N N

1 2

temperatura e delle due resistenze usate come sorgente di rumore in ingresso. Per evitare

T T

1 2

errori grossolani nella stima di occorre che e siano abbastanza diverse e note con buona

T T T

e 1 2

precisione; si usa fissare tali temperature ponendo la resistenza in acqua bollente (T = 373K ) ed

1

in azoto liquido (T = 77K).

2

7 Cifra di rumore di un ricevitore

Il ricevitore complessivo può essere ragionevolmente modellato come una cascata di doppi bipoli.

Pertanto, risulta utile determinare la temperatura equivalente di rumore della cascata (cioè del

ricevitore complessivo) sulla base delle temperature equivalenti T (i = 1, . . . , N ) dei singoli doppi

e,i

bipoli che costituiscono la cascata.

Si inserisca una sorgente di rumore bianco alla temperatura T in ingresso ad una cascata di

in

N doppi bipoli e si consideri la potenza in uscita in condizioni di completo adattamento. Dalla

(4) segue che la potenza di rumore di uscita è pari a

N = G KB (T + T ) (14)

a0 a N in e

dove T è la temperatura equivalente di rumore della cascata, B è la banda equivalente di rumore

e N

della cascata e G è il guadagno disponibile della cascata che si può scrivere facilmente in termini

a

dei guadagni disponibili G (i = 1, . . . , N ) dei singoli doppi bipoli

a,i G = G · . . . · G (15)

a a,1 a,N

D’altronde la potenza disponibile di rumore in uscita risulta la somma di N + 1 contributi

indipendenti. Il primo contributo è dato dal rumore bianco alla temperatura equivalente T in

in

ingresso alla cascata di N doppi bipoli che fornisce un contributo alla potenza disponibile in uscita

che, per la (1), vale N = G KB T

a0 a N in

Il secondo contributo è dato dal rumore in eccesso generato dal primo doppio bipolo che può essere

considerato equivalente, ai fini del calcolo della potenza di rumore disponibile in uscita, ad un

14

rumore bianco alla temperatura T in ingresso alla cascata dove T è la temperatura equivalente

e,1 e,1

di rumore del primo doppio bipolo della cascata; per la (1) il contributo risultante alla potenza

disponibile di rumore in uscita risulta pertanto pari a G KB T .

a N e,1

Il terzo contributo al rumore in uscita è dato dal rumore in eccesso generato dal secondo

doppio bipolo che, ai fini del calcolo della potenza disponibile in uscita, risulta equivalente ad un

rumore bianco a temperatura equivalente T posto in ingresso al secondo doppio bipolo della

e,2

cascata. Pertanto, per la (1) il contributo risultante alla potenza di rumore in uscita risulta pari

a G KB T dove G e B rappresentano rispettivamente il guadagno disponibile e la banda

c,2 c,2 e,2 c,2 c,2

equivalente di rumore del sistema S costitituito dalla cascata dal secondo all’N -esimo doppio

2

bipolo. Si noti che G = G · . . . · G .

c,2 a,2 a,N

Il quarto contributo al rumore in uscita è dato dal rumore in eccesso generato dal terzo doppio

bipolo che, ai fini del calcolo della potenza disponibile in uscita, risulta equivalente ad un rumore

bianco a temperatura equivalente T posto in ingresso al terzo doppio bipolo della cascata.

e,3

Pertanto, per la (1), il contributo risultante alla potenza di rumore disponibile in uscita risulta

pari a G KB T dove G e B rappresentano rispettivamente il guadagno disponibile e la

c,3 c,3 e,3 c,3 c,3

banda equivalente di rumore del sistema S costitituito dalla cascata dal terzo all’N -esimo doppio

3

bipolo. Si noti che G = G · . . . · G .

c,3 a,3 a,N

L’N -esimo contributo al rumore in uscita è dato dal rumore in eccesso generato dall’(N − 1)-

esimo doppio bipolo che, ai fini del calcolo della potenza disponibile in uscita, risulta equivalente

ad un rumore bianco a temperatura equivalente T posto in ingresso all’(N − 1)-esimo doppio

−1

e,N

bipolo della cascata. Pertanto, per la (1), il contributo risultante alla potenza di rumore disponibile

in uscita risulta pari a G KB T dove G e B rappresentano rispettivamente

−1 −1 −1 −1 −1

c,N c,N e,N c,N c,N

il guadagno disponibile e la banda equivalente di rumore del sistema S costituito dalla cascata

−1

N

dell’(N − 1)-esimo e dell’N -esimo doppio bipolo. Si noti che G = G G .

−1 −1

c,N a,N a,N

L’(N + 1)-esimo contributo al rumore in uscita è dato dal rumore in eccesso generato dall’N -

esimo doppio bipolo che, ai fini del calcolo della potenza disponibile in uscita, risulta equivalente

ad un rumore bianco a temperatura equivalente T posto in ingresso all’N -esimo doppio bipolo

e,N

della cascata. Pertanto, per la (1), il contributo risultante alla potenza disponibile di rumore in

uscita risulta pari a G KB T dove G e B rappresentano rispettivamente il guadagno

c,N c,N e,N c,N c,N

disponibile e la banda equivalente di rumore dell’N -esimo doppio bipolo. Si noti che G = G .

c,N a,N

Risulta, pertanto, che la potenza di rumore disponibile complessiva in uscita, per l’indipendenza

dei diversi contributi, si può scrivere come 15

N = G KB T + G KB T + G KB T + G KB T + . . . + G KB T

a0 a N in a N e,1 c,2 c,2 e,2 c,3 c,3 e,3 c,N c,N e,N

= G · . . . · G KB T + G · . . . · G KB T + G · . . . · G KB T

a,1 a,N N in a,1 a,N N e,1 a,2 a,N c,2 e,2

+ G · . . . · G KB T + . . . + G KB T

a,3 a,N c,3 e,3 a,N c,N e,N !

B T B T

B T

c,2 e,2 c,3 e,3 c,N e,N

= G . . . G K B T + B T + + + ... (16)

a,1 a,N N in N e,1 G G G G · . . . · G −1

a,1 a,1 a,2 a,1 a,N

Si assuma ora che la banda equivalente di rumore di S , S , . . . , S e dell’ultimo doppio

−1

N

2 3

bipolo siano molto simili ed approssimativamente uguali alla banda equivalente di rumore della

cascata di tutti gli N doppi bipoli: B ' B ' B ' B ' B . Questa assunzione

−1

c,2 c,3 c,N c,N N

è ragionevole perchè spesso l’ultimo elemento della cascata presenta il massimo effetto filtrante

e risulta responsabile della banda passante di tutta la cascata. In effetti la banda dell’ultimo

elemento della cascata risulta pari a quella del segnale utile che risulta spesso minore di quella

dei segnali negli stadi intermedi. La condizione imposta viene soddisfatta esattamente quando i

primi N − 1 doppi bipoli hanno risposta in frequenza costante (in modulo) nella banda passante

dell’N -esimo doppio bipolo; in tal caso tutti i doppi bipoli vedono rumore bianco nella banda

passante dell’ultimo doppio bipolo.

La (16) si può quindi riscrivere come !

T T T

e,2 e,3 e,N

N = G . . . G KB T + T + + + ... (17)

a0 a,1 a,N N in e,1 G G G G · . . . · G −1

a,1 a,1 a,2 a,1 a,N

Da (14), (15) e (17) segue che T T T

e,2 e,3 e,N

T = T + + + ... (18)

e e,1 G G G G · . . . · G −1

a,1 a,1 a,2 a,1 a,N

Dalla (18) è possibile ricavare la relazione, detta che esprime la cifra di rumore

formula di Friis,

della cascata F in termini delle cifre di rumore F (i = 1, . . . , N ) dei singoli elementi della cascata:

e i

T e

F = 1 +

e T 0

T T T T

e,1 e,2 e,3 e,N

= 1+ + + + ...

T T G T G G T G · . . . · G −1

a,1 a,1 a,2 a,1 a,N

0 0 0 0

F − 1 F − 1 F − 1

N

2 3

= F + + + ... (19)

1 G G G G · . . . · G −1

e,1 a,1 a,2 a,1 a,N

Dalla (18), o equivalentemente dalla (19), discendono conseguenze molto importanti nel pro-

getto di un qualunque ricevitore. Al fine di minimizzare la temperatura equivalente di rumore

del ricevitore, che è di estremo interesse sia nel caso analogico che nel caso numerico, conviene

16

usare come primo elemento della cascata un amplificatore, usualmente detto pre-amplificatore,

con guadagno G molto elevato; in tal modo, nella (18) risultano trascurabili i termini dal se-

a,1

condo in poi, per cui la temperatura equivalente di rumore del ricevitore finisce per coincidere

con quella T del pre-amplificatore. Pertanto, l’utilizzo di un pre-amplificatore (con guadagno

e,1

sufficientemente elevato) ben curato nei confronti del rumore consente di mantenere bassa la tem-

peratura equivalente di rumore del ricevitore, indipendentemente dalle caratteristiche rumorose

della parte rimanente.

Spesso non risulta possibile che un amplificatore sia il primo elemento del ricevitore. In tal

caso, infatti, esso dovrebbe essere direttamente attaccato all’antenna, come avviene, per esempio,

in alcune antenne a tromba. In pratica, spesso è necessario un tratto di cavo per connettere il

pre-amplificatore ai morsetti d’antenna.

Dalla definizione di temperatura equivalente di rumore T del ricevitore segue (vedi Fig. 8)

e

che è possibile portare in conto il rumore che il ricevitore genera a causa del suo funzionamento

incrementando di T la temperatura equivalente del rumore bianco in ingresso al ricevitore. Il

e

rumore in ingresso al ricevitore è quello che si presenta ai morsetti d’antenna per effetto del

funzionamento stesso dell’antenna ed è dovuto sia al materiale conduttore che costituisce l’antenna

sia ai campi elettromagnetici intercettati dall’antenna diversi da quello che trasporta il segnale

utile. Esso è spesso modellabile ragionevolmente come rumore bianco alla temperatura T , detta

a

temperatura equivalente di rumore d’antenna.

Nello studio delle comunicazioni elettriche si considera sempre ideale il ricevitore dal punto di

vista della generazione interna del rumore ma si ammette che in ingresso al ricevitore ci sia una

sorgente di rumore bianco, indipendente dal segnale utile, con densità spettrale di potenza pari a

4 4 4

N dove N = K(T + T ) = KT dove T = T + T è detta temperatura operativa del sistema.

0 a e op op a e

0

2

Tale sorgente di rumore è usualmente descritta come parte del canale di comunicazione (definito

come il sistema che ha per ingresso i morsetti d’antenna in trasmissione e per uscita i morsetti

d’antenna in ricezione nel caso di canale con propagazione libera del campo elettromagnetico, o,

equivalentemente, come il sistema che ha per ingresso e per uscita i morsetti in trasmissione ed in

ricezione del cavo utilizzato nel caso di propagazione guidata del campo elettromagnetico) benchè

essa descriva anche gli effetti della rumorosità interna al dispositivo.

Studiando le prestazioni dei collegamenti punto-punto, si vedrà che dalla densità spettrale di

N

potenza del rumore introdotto dal canale dipende il valore che si riesce a conseguire di un

0

2

importante parametro di qualità del collegamento: il rapporto segnale rumore nel caso di collega-

17

S

Preamplificatore Cavo Stadi successivi N

- - - -

? D

dB

F=3

=20 dB =90 dB

G G

dB dB

F=6 F=13

a a

Figura 10: Un ricevitore con amplificazione ai terminali d’antenna.

menti analogici e la probabilità di errore nel caso di collegamenti numerici. Risulta, pertanto,

importante curare la realizzazione del pre-amplificatore e collegarlo mediante un cavo con atte-

nuazione sufficientemente ridotta in modo che T << T e che, quindi, il rumore generato dal

e a

ricevitore influenzi in maniera trascurabile le prestazioni che si conseguono.

Es. 5 Dato il sistema di Fig. 10, si ha che la cifra di rumore complessiva è

2 − 1 20 − 1

+

=4+ = 4.39 = 6.4dB

F 12

100 100 ×

Se, viceversa, si fa riferimento ad una configurazione in cui si omette il pre-amplificatore, risulta

20 − 1 = 40

=2+

F 1

2

cioè il rumore in uscita è circa 10 volte quello della configurazione precedente.

18

8 Esercizi con soluzione

Ex. 1 Due resistori ed a temperatura e sono connessi in serie. Calcola la temperatura di

R R T T

1 2 1 2

rumore della combinazione.

T N

***

L’equivalente secondo Thévenin della situazione è

+

R 2 (t)

v 2

R 1 (f ) = 2KR

S T

v 1 1

1

+ (t) (f ) = 2KR

v S T

v

1 2 2

2

(f ) = 2K(R + )

S T R T

v 1 1 2 2

+

R R

1 2 (f )

S - (f ) + )

a S η

K(R T R T

+

R R 4

v a

1 1 2 2

1 2

+ (f ) = =

=

S a 4(R + ) 2(R + ) 2

R R

1 2 1 2

(f )

S v +

η R T R T

4 a 1 1 2 2

= =

T N +

K R R

1 2

Ex. 2 Calcola la banda equivalente di rumore per il filtro

B N !

2

ln 2 f

) = exp − filtro gaussiano

H(f K 2

2 W

e confrontala con quella a 3 dB.

***

Banda a 3 dB (B)

Per il filtro considerato risulta !

2

f

2 2

|H(f )| = exp − ln 2

K 2

W

e, pertanto, 4 2max 2

G = |H(f )| = K

Dalla seguente definizione della banda B 1

4

2

|H(B)| = G

2

seguono le seguenti equivalenze !

2 1

B

2 2

exp − ln 2 =

K K

2 2

W

19

2 1

B

− ln 2 = ln

2 2

W =

B W

da cui risulta che risulta proprio pari alla banda a 3 dB.

W

Banda B N Z +∞

1 2

= |H(f )| df

B N G 0 !

Z 2

+∞

1 f

2

= exp − ln 2 df

K

2 2

K W

0 ! √

Z 2

+∞ f f 4

= exp − ln 2 df ln 2 = x

2

W W

0 Z +∞

W

2

= exp −x dx

ln 2 0

W π

√ ' 1.06

= W

2

ln 2

La banda equivalente di rumore è maggiore della banda a 3 dB.

Ex. 3 Un resistore “rumoroso” sia connesso in serie con un induttore Sia la temperatura. Si calcoli

R L. T

la densità spettrale della corrente che fluisce nell’induttore e l’energia media in esso immagazzinata.

*** (t) (t)

i i

L L

+

R i(t)

L R L

2KT R

(f ) = =

S i i

i L +

R R jωL

2 2

2KT

R R

(f ) = (f ) =

S

S i i

L 2 2 2 2 2 2 2

+ + 4π

R ω L R R f L

1 2

E = Li L

2

1 2

E = (t)

L i L

2 Z +∞

L

= (f )df

S i L

2 −∞ Z 2

+∞

2KLT R ω

= d

2 2 2

+ 2π

R R ω L

0 20

Z +∞ 1

KLT L 4

= dω =

ω x

2

L

Rπ R

2

1 + ω

0 2

R

Z +∞ 1

KLT R

= dx

2

1 +

Rπ L x

0

KT π

= 2

π

KT

= 2

Ex. 4 Un modello semplificato di sistema di comunicazione ottico è il seguente:

Trasmettitore -

i

................................... +

Ottico Fotorivelatore

cammino ottico

7 7 7 R e

C 0

radiazione di sottofondo -

Il trasmettitore produce impulsi di luce che viaggiano verso il fotorivelatore attraverso un cammino

ottico. La corrente del fotorivelatore si può scrivere

+ +

= I i i

i s b

dove il segnale utile, è la corrente media dovuta alla luce trasmessa, è una componente di

I, i s

rumore shot, con densità spettrale di potenza (f ) = (q è la carica dell’elettrone), dovuta

S qI

s è una componente di rumore

all’arrivo dei fotoni in istanti di tempo discreti e aleatori, ed i b

η

bianco, con densità spettrale di potenza (f ) = , dovuta al rumore di fondo.

S b 2

S

a) Si calcoli il rapporto segnale/rumore all’uscita del filtro, assumento la resistenza non

R

N 0

rumorosa;

b) Si ripeta il calcolo di (a), considerando rumorosa.

R

***

(a) Definito il sistema ) nel modo seguente

H(f i(t) R C (t)

e 0

)

H(f

21


PAGINE

24

PESO

166.34 KB

AUTORE

Sara F

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Dispensa di Trasmissione Numerica - Il Rumore. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: Il rumore nei sistemi di comunicazione, De finizione di rumore, Rumore termico, Rumore bianco e temperatura di rumore, Rumore bianco fi ltrato, Rapporto segnale/rumore e probabilità di errore, ecc.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Trasmissione Numerica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Mattera Davide.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Trasmissione numerica

Prove Svolte Tanda
Esercitazione
Trasmissione Numerica - Segnali passabanda
Dispensa
Trasmissione Numerica - Esercitazione
Esercitazione
Trasmissione numerica - Esercitazione
Esercitazione