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Il Criterio di Nyquist

Convertiamo la condizione di ISI nulla, ricavata nel dominio del tempo, nella sua

formulazione duale nel dominio delle frequenze, applicando la proprietà della

trasformata di Fourier del campionamento nel tempo.

La condizione d(jT)=1 per j=0 e d(jT)=0 per j≠0 equivale a dire che d(t)

campionata (cioè moltiplicata per un treno regolare di impulsi ideali) corrisponde

ad un unico impulso ideale (in t=0). La trasformata di Fourier dell’impulso e’ una

costante unitaria. Quindi la periodicizzazione della D(f) (trasformata di d(t)

campionata) deve risultare uguale ad 1.

La formulazione in frequenza della condizione di ISI=0 e’ nota come CRITERIO

di NYQUIST: in un sistema di trasmissione, la risposta in frequenza globale D(f)

non introduce interferenza intersimbolica, per il ritmo di trasmissione dei simboli

R, se e’ soddisfatta la condizione:

∑ − =

D ( f kR ) c

ost

k

9 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Banda di Nyquist

La forma d’onda più semplice che soddisfa il criterio di Nyquist è la funzione

rettangolare D(f)=rect(f/2W); con banda W=R/2.

-2R -R R 2R f

(H z)

W =R /2

Fissata la velocita’ di trasmissione dei simboli R,

W=R/2 e’ detta Banda di Nyquist.

Nota: tra tutte le forme d‘onda che soddisfano il criterio di Nyquist, la funzione

rettangolare ha la banda più piccola. Questo significa che è possibile trasmettere

una sequenza di simboli con velocità di trasmissione R, utilizzando soltanto le

frequenze comprese nell’intervallo [-R/2,R/2].

10 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Velocita’ di Nyquist (1)

La trasformata inversa della funzione rettangolare D(f)=rect(f/2W) fornisce la

forma dell’impulso d(t) nel tempo, d(t)=2Wsinc(2Wt)

D(f) 1

T d(t)

W f

(H z) t

T = 1/2W

Fissata la banda W di un canale di trasmissione,

la velocita’ R=2W e’ detta velocita’ di Nyquist.

Su un canale di trasmissione di banda W [Hz], e’ teoricamente possibile

trasmettere una sequenza di simboli con velocita’ fino a R=2W [simboli/s] senza

interferenza intersimbolica.

11 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Velocita’ di Nyquist (2)

1 Rappresentiamo gli impulsi di tipo sinc(t/T),

d(t) corrispondenti alla trasmissione della sequenza

binaria indicata, e verifichiamo che negli

istanti di campionamento gli impulsi non

interferiscono, ma compare solo il campione di

t segnale utile a d(0) che vale +/-1.

k

T 1 0 1 1 0

1 d(t) d(t-2T) d(t-3T)

0 t

-d(t-T)

-1 -2T 0 2T 4T 6T 8T 10T

12 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Il canale ideale di Nyquist

Un sistema di trasmissione in cui la risposta in frequenza globale D(f) ha forma

rettangolare rect(f/2W), o, equivalentemente, la risposta all’impulso globale d(t)

ha la forma di una funzione sinc(t2W), e’ detto canale ideale di Nyquist.

d(t) / D(f) (t)

x

s(t)

{a } y(t)

0 y(t )

k k

Filtro ricez.

Canale

Filtro trasm. c(t)

h(t)

g(t) Campiona

negli istanti t =kT=k/2W

k

D(f) 1

T d(t)

W f

(H z) t

T = 1/2W

13 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Perche’ non si usa il canale ideale di Nyquist?

Non si riescono a realizzare fisicamente filtri con forma rettangolare.

Inoltre la condizione di interferenza intersimbolica nulla si verifica solo negli

istanti kT; a causa di un’imperfetta sincronizzazione di simbolo in ricezione,

l’interferenza intersimbolica puo’ manifestarsi in maniera rilevante (il canale di

Nyquist ideale e’ molto sensibile ad errori di sincronizzazione)

d(t) t

τ

14 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Estendendo la banda dello spettro D(f) da W=R/2 a 2W=R, il criterio di Nyquist

coincide con la condizione che la forma dello spettro D(f), per f>0, presenti

simmetria dispari rispetto al riferimento di due assi ortogonali x e y traslati, che

passano per il punto (R/2, D(0)/2).

D(f) y

D(0) x

-R -R/2 0 R/2 R

15 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Spettro a coseno rialzato

1

; 0 < ≤ (

1 − α )

f W

 1 2 ( )

f W

π −

 

   ; (

1 ) (

1 )

( ) 1 + cos − α < ≤ + α

= W f W

D f 

  

 2 4

α

W 

 

0

; (

1 )

f W

> + α

 0 ≤ α ≤ 1

α Fattore di roll-off α=0

α= 1

α= 0.5

W(1+α)=R/2 (1+α) -R -R/2 0 W=R/2 R

16 Fondamenti di Segnali e Trasmissione


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Fondamenti di Telecomunicazioni della Prof.ssa Monica Nicoli, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: trasmissione in banda base, interferenza intersimbolica; il criterio di Nyquist; la banda di Nyquist; velocità di Nyquist; canale ideale di Nyquist; spettro a coseno rialzato.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria fisica
SSD:
A.A.: 2004-2005

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fondamenti di telecomunicazioni e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Nicoli Monica.

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