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Schema del sistema di trasmissione binario (3)

Il segnale s(t) in generale può venire modificato nel passaggio attraverso il canale

di trasmissione, il quale viene modellizzato come un filtro in banda base con

risposta all’impulso h(t) x (t)=s(t)*h(t)

0

Il canale introduce inoltre un rumore w(t) additivo, bianco e gaussiano (AWGN

significa Additive White Gaussian Noise) che si somma al segnale ‘utile’ x (t)

0

all’ingresso del ricevitore.

b a s(t) x (t) x(t) y(t) y(t ) b̂ k

k k 0 k

Canale

Modulatore Filtro trasm. Filtro ricez. Dispositivo

+

h(t)

PAM g(t) c(t) decisione

Campiona

=kT

negli istanti t

k b

Rumore AWGN Soglia di decisione

Impulsi di clock w(t) λ

ricevitore

trasmettitore canale

5 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Schema del sistema di trasmissione binario (4)

Il segnale rumoroso x(t)=x (t)+w(t) entra nel filtro di ricezione con risposta

0

all’impulso c(t), producendo in uscita il segnale

y(t)=x(t)*c(t)

Il segnale y(t), all’uscita del filtro di ricezione, viene campionato in maniera

=kT ,multipli del tempo di bit T ;

sincrona con il trasmettitore, negli istanti t

k b b

gli istanti di campionamento sono determinati tramite un opportuno segnale di

temporizzazione che viene solitamente estratto dallo stesso segnale y(t)

(procedura di sincronizzazione).

Nota: Per essere precisi, in ricezione, la sequenza degli istanti di

campionamento dovra’ tenere conto di un ritardo temporale rispetto alla

temporizzazione al trasmettitore, come effetto del ritardo di propagazione

attraverso il mezzo fisico. Per semplificare la trattazione assumiamo il ritardo

di propagazione nullo.

6 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Schema del sistema di trasmissione binario (5)

La sequenza dei campioni {y(t )} viene utilizzata per ricostruire i dati binari

k

originari {b } in un dispositivo di decisione che utilizza una strategia a soglia

k )

y(t b̂ k

k 1 se y(t )>λ

Dispositivo k

decisione 0 se y(t )<λ

k

Soglia di λ

decisione

{ }

b̂ k

Tanto più la sequenza , contenente i dati binari ricostruiti, sarà uguale alla

sequenza {b } dei dati binari originari, tanto migliore sarà la qualità del

k

sistema di trasmissione.

Nota: L’ampiezza di ogni campione in ingresso al decisore viene confrontata

λ λ

con una soglia , che nel caso binario antipodale vale =0: se l’ampiezza e’

maggiore della soglia, la decisione e’ a favore di un simbolo binario ‘1’; se

l’ampiezza e’ minore della soglia, la decisione e’ a favore di un simbolo ‘0’

(se l’ampiezza coincide con la soglia, la decisione viene effettuata in maniera

casuale, come il risultato del lancio di una moneta).

7 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Il problema del riconoscimento di una forma d’onda nota

immersa in rumore

• Ipotizziamo di trasmettere un solo bit di informazione utilizzando un impulso

isolato con forma d’onda g(t) ed ampiezza ±1.

• Assumiamo che la trasmissione dell’impulso g(t) sia disturbata solamente dal

rumore w(t) introdotto dal canale, cioe’ che al ricevitore arrivi il segnale

x(t)=g(t)+w(t).

• Il dispositivo per il riconoscimento ottimo di un impulso isolato con forma nota

g(t), a cui si e’ sommato un rumore bianco w(t), e’ un sistema lineare

tempoinvariante, noto come ‘filtro adattato’.

8 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Il filtro adattato (1)

L’ingresso del filtro di ricezione e’ il segnale x(t)=g(t)+w(t):

• l’impulso g(t) rappresenta un simbolo binario, ad esempio il simbolo ‘1’; la

forma dell’impulso g(t), nota al ricevitore, e’ definita in un intervallo di

osservazione 0<t<T .

b

• w(t) e’ una realizzazione di un processo di rumore bianco, cioe’ un processo

casuale a valor medio nullo e con densita’ spettrale di potenza costante S (f)=N /2;

w 0

• l’incertezza nella decisione deriva dalla componente di rumore w(t).

T

x(t) y(t)

g(t) y( )

b

Filtro ricez.

+ c(t) Campiona

T

nell’istante b

Rumore bianco w(t)

9 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Il filtro adattato (2)

L’uscita del filtro di ricezione e’ il segnale y(t)=g (t)+n(t):

0

• g (t) e’ la componente di segnale ‘utile’; si ricava filtrando il segnale g(t) con la

0

risposta all’impulso c(t) g (t) = g(t)*c(t);

0

• n(t) e’ la realizzazione di un processo casuale a valor medio nullo, e con densita’

S (f) e potenza P

n n 2 2

S (f)= S (f)|C(f)| = (N /2)|C(f)|

n w 0

x(t) y(t)

g(t) y(T )

b

Filtro ricez.

+ c(t) Campiona

negli istanti T

b

Rumore bianco w(t)

10 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Il filtro adattato (3)

Infine, il campionatore preleva il valore del segnale y(t) nell’istante T , alla fine

b

dell’intervallo di osservazione, y(T )=g (T )+n(T ):

b 0 b b

∫ ∫ ∫ π

j 2 fT

j 2 π

ft j 2 π

ft

= = = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;

b

g T g t G f e df G f C f e df G f C f e df

0 b 0 0

t T

= t T t T

= =

b b b

• n(T ) e’ una variabile casuale con potenza uguale alla potenza del processo n(t)

b [ ] N N N

∫ ∫ ∫

2 2 2

= = = = =

( ) ( ) | ( ) | | ( ) |

0 0 0

P E n T S f df C f df c t dt E

n b n c

2 2 2

x(t) y(t)

g(t) y(T )

b

Filtro ricez.

+ c(t) Campiona

negli istanti T

b

Rumore bianco w(t)

11 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Il filtro adattato (4)

Un criterio semplice per minimizzare, in termini statistici, l’effetto del

disturbo sulla componente di segnale utile, all’uscita del filtro, e’ quello di

η,

massimizzare il rapporto ‘segnale-rumore’ sul segnale campionato alla

fine dell’intervallo di osservazione 2

| g (

T ) |

η = 0 b 2

E [ n (

T ) ]

b

2

(T )| e’ la potenza istantanea del campione di segnale;

|g 0 b 2

E[n(T ) ]=P e’ la potenza della variabile casuale n(T ) che rappresenta il

b n b

campione di rumore.

12 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Il filtro adattato (5) 2

Riscriviamo ∫ π

j fT

2

( ) ( )

2 b

( ) G f e C f df

g T

b

0

η = = ;

N 2

P ∫ ( )

0

n C f df

2

applicando la disuguaglianza di Schwartz, che per due generiche funzioni X(f) e

Y(f) afferma che 2 2 2

≤ ∀

∫ ∫ ∫

X ( f ) Y ( f ) df X ( f ) df Y ( f ) df ; X ( f ), Y ( f );

2 2 2 *

= =

∫ ∫ ∫

X ( f ) Y ( f ) df X ( f ) df Y ( f ) df ; Y ( f ) k X ( f ) ;

j2πfTb

al numeratore della frazione [ponendo X(f)=G(f)e e Y(f)=C(f) ], otteniamo

2 2 2

∫ ∫ ∫

2

j fT

π ≤ ∀

( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ), ( );

b

G f C f e df G f df C f df G f C f

( )

2 2 2 *

∫ ∫ ∫

2 2

j fT j fT

π π

= =

( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ;

b b

G f C f e df G f df C f df C f k G f e

13 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Il filtro adattato (6)

2

2 ( )

G f df

cosi’ si ricava η ≤ N 0

La parte destra della disuguaglianza dipende solo da

∫ ∫

2 2

• = =

( ) ( ) ;

G f df g t dt E g

• ;

N 0 η=η

Il rapporto segnale-rumore sara’ massimo, , quando varra’ il segno di

max

uguaglianza, cioe’ quando la risposta in frequenza del filtro adattato C(f) sara’

legata alla trasformata di Fourier G(f), dell’impulso di segnale in ingresso, dalla

seguente relazione (stesso modulo, eventualmente scalato di un fattore k

positivo, e fase cambiata di segno; il contributo di fase lineare serve per rendere

causale il filtro) E

2 g

j fT

− π

2

C f kG f e

( ) ( )

= ⇒ η = η =

b max N 0

14 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Il filtro adattato (7)

Il filtro ottimo ha risposta all’impulso c(t)

[ ]

[ ] ( )

− 2 π

j fT

= = = − +

c ( t ) IFT C ( f ) IFT kG ( f ) e k g t T

b b

La forma della risposta all’impulso c(t) risulta essere una versione ribaltata

(eventualmente anche scalata di un fattore k positivo) e ritardata (in modo da risultare

causale) della forma dell’impulso g(t) in ingresso.

Per questo motivo il filtro di ricezione ottimo e’ detto ADATTATO. g (t)=g(t)*c(t)

0

)=c(t)

k g(-t+T

g(t) b g (T )

k g(-t) 0 b

kT

b

1 t

T

t

0 T -T 0 T t b

b b b

15 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Il filtro adattato (8)

Quindi, nel caso di filtro adattato [c(t)=k g(-t+T )] si ottiene

b

2 2

(T ) = k E E[n(T ) ]=P =(N /2) k E

g

0 b g b n 0 g

η

Il rapporto segnale-rumore =2E /N dipende solamente dal rapporto tra

max g 0

e la densita’ spettrale di potenza N del rumore

l’energia del segnale E

g 0

all’ingresso del filtro. Nei riguardi dell’efficacia della trasmissione rispetto al

rumore additivo introdotto dal canale, tutti gli impulsi che hanno la stessa energia

sono equivalenti, indipendentemente dalla loro forma.

Il rapporto E /N e’ adimensionale (infatti [J ]=[W]/[Hz]).

g 0 = E (energia spesa per la trasmissione di un bit).

Per trasmissioni binarie, E

g b

Nota: nel seguito, senza perdere generalità ma per semplificare la trattazione,

verrà posto k=1, cioe’ c(t)= g(-t+T ).

b

16 Fondamenti di Segnali e Trasmissione


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AUTORE

Atreyu

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+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria fisica
SSD:
A.A.: 2004-2005

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fondamenti di telecomunicazioni e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Nicoli Monica.

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