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− 3

R. B T P

ARBONI EORIA DELLA IASTRA

1. La piastra

Si consideri la struttura di figura con riferimento ad un sistema di

coordinato con x,y nel piano medio e z L

ortogonale ad esso, positivo verso il x

basso. Su una superficie della struttura è L

applicato, in direzione z, un carico per y q(x,y)

unità di superficie q(x,y).

Si assumono le stesse ipotesi alla base x

della teoria delle travi, salvo

ovviamente che le dimensioni L nel h

piano xy sono dello stesso ordine di

grandezza. y z

Dato il piccolo spessore h, il campo di

spostamenti può essere approssimato con una serie di potenze in z:

⎧ M

= m

⎪ u x y z z u x y

( , , ) ( , )

m

=

⎪ 0

m

⎪ M

=

⎨ m

v x y z z v x y

(1.1) ( , , ) ( , )

m

⎪ =

m 0

⎪ N

= n

⎪ w x y z z w x y

( , , ) ( , )

⎩ n

=

n 0

In particolare nella teoria delle piastre di Kirchhoff-Love si assume che

−le sezioni inizialmente piane ed ortogonali al piano medio rimangano

piane. Questo implica M=N=1, quindi:

⎧ = + θ

u ( x , y

, z ) u ( x , y ) z ( x , y )

0 x

⎪ = + θ

⎨ v ( x , y

, z ) v ( x , y ) z ( x , y )

(1.2) 0 y

⎪ = +

⎩ w ( x , y

, z ) w ( x , y ) zw ( x , y )

0 1

− le sezioni inizialmente piane ed ortogonali al piano medio rimangano

γ

. Questo implica =γ =0. Quindi:

ortogonali alla linea media xz yz

∂ ∂

∂ ∂

⎧ w w

u w

γ = + = θ + = ⇒ θ = −

0 0

0

⎪ ∂ ∂ ∂ ∂

⎪ xz x x

z x x x

(1.3) ∂

∂ ∂ w w

v w

⎪ γ = + = θ + = ⇒ θ = −

0 0

0

⎪ ∂ ∂ ∂ ∂

yz y y

⎩ z y y y

4 R. B L P

ARBONI A IASTRA

Pertanto la cinematica semplificata consente di descrivere il campo di

spostamenti in termini di tre incognite cinematiche u ,v ,w funzioni solo

0 0 0

delle coordinate nel piano x,y: ∂

⎧ w ( x , y )

= − 0

u ( x , y

, z ) u ( x , y ) z

⎪ ∂

0 x,u

x

⎪ ∂

w

∂ −

⎪ w

w ( x , y ) u ∂

0

= − x

⎨ 0

v ( x , y

, z ) v ( x , y ) z

(1.4) ∂

0 y

⎪ z,w

⎪ =

w ( x , y

, z ) w ( x , y )

⎪ 0

Sostituendo le (1.4) nelle relazioni cinematiche (lineari):

⎧ ∂ ∂ 2

u ( x , y ) w ( x , y )

ε = −

0 0

⎪ ( x , y

, z ) z

∂ ∂

xx 2

x x

⎪ ∂ ∂ 2

v ( x , y ) w ( x , y )

ε = −

0 0

⎪ ( x , y

, z ) z

∂ ∂

yy 2

y

⎨ y

(1.5) ⎪ ∂ ∂ ∂

⎛ ⎞ 2 w ( x , y )

u ( x , y ) v ( x , y )

⎪ ⎜ ⎟

γ = + −

0 0 0

( x , y

, z ) 2 z

⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂

xy

⎪ ⎝ ⎠

y x x y

ε = γ = γ = 0

⎩ zz xz yz

Infine dalle relazioni costitutive, utilizzando le (1.5):

⎧ ⎡ ⎤

[ ] ∂

∂ ∂ ∂

⎛ ⎞ 2 2

u v w w

E E ⎟

⎪ = + = +

σ ε νε ν

ν − +

⎜ ⎟

⎢ ⎥

0 0 0 0

z

∂ ∂

⎝ ⎠ ∂

− −

ν ν ∂ ⎠

xx xx yy

2 2 2 2

⎢ ⎥

⎪ x y x y

1 1 ⎣ ⎦

⎪ ⎡ ⎤

⎛ ⎞

[ ] ∂

∂ ∂ ∂

⎪ 2 2

v w w

u

E E

(1.6) ⎜ ⎟

σ ε νε ν

= + = + − +

ν

⎜ ⎟

⎢ ⎥

⎨ 0 0 0 0

z

∂ ∂

⎝ ⎠ ∂

ν ν ∂

− − ⎝ ⎠

yy yy xx

2 2 2 2

⎢ ⎥

y x y x

1 1 ⎣ ⎦

⎪ ⎤

⎡ ⎛ ⎞

∂ ∂ ∂

⎛ ⎞ 2

⎪ u v w

⎜ ⎟

τ γ −

= = +

⎜ ⎟ ⎥

⎢ 0 0 0

G G 2 z

⎪ ∂ ∂ ∂ ∂

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

xy xy ⎥

⎢ y x x y ⎦

che possiamo scrivere in forma abbreviata come:

⎧σ = σ + σ

z

⎪ xx xx0 xx1

σ = σ + σ

(1.7) z

yy yy0 yy1

⎪ τ = τ + τ

z

⎩ xy xy0 xy1

− 5

R. B T P

ARBONI EORIA DELLA IASTRA

2. Elemento rappresentativo della piastra σ σ

Gli sforzi (1.7) sono noti una volta determinati le sei funzioni , ,

xx0 xx1

σ τ τ

σ , , , . In luogo di tali incognite si introducono delle grandezze

yy0 yy1 xy0 xy1

di più immediato significato fisico, quali forze e momenti. Precisamente:

Integrando le (1.7) sullo spessore h, si ha:

1. h/2 h/2

∫ ∫

= σ = σ + σ = σ

(2.1) N dz ( z )dz h

x xx xx 0 xx1 xx 0

− −

h / 2 h / 2

ed analogamente: h h

/ 2 / 2

∫ ∫

= σ = σ = τ = τ

(2.2) N dz h N dz h

;

y yy yy xy xy xy

0 0

− −

h h

/ 2 / 2

Le (2.1,2), ricordando le (1.6,7), in termini di spostamenti si scrivono:

⎧ ⎡ ⎤

⎛ ⎞

∂ ∂

Eh u v

= + ν

⎪ ⎢ ⎥

0 0

⎜ ⎟

N − ν ∂ ∂

x ⎡ ⎤

2 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞

∂ ∂

⎪ ⎣ ⎦

1 x y u v

= +

⎨ ⎢ ⎥

(2.3) 0 0

⎜ ⎟

; N Gh ∂ ∂

xy

⎡ ⎤ ⎝ ⎠

⎛ ⎞

∂ ∂ ⎣ ⎦

y x

⎪ Eh v u

= + ν

⎢ ⎥

0 0

⎜ ⎟

N

⎪ − ν ∂ ∂

y 2 ⎝ ⎠

⎣ ⎦

1 y x

1 possiamo porre:

In similitudine / 2 / 2

h h

∫ ∫

= τ = τ

(2.4) T dz ; T dz

x xz y yz

− −

/ 2 / 2

h h

Notiamo che sulla base delle (1.5) si avrebbe dy q(x,y)

τ =τ =0. Ma questo è vero al primo ordine.

che xz yz dx

Considerando un maggior numero di termini

nello sviluppo (1.1) tali sforzi di taglio dipendono x

τ

2 . Dovendo peraltro risultare =τ =0 in

da z xz yz

z=±h/2, detti sforzi hanno l’andamento di figura e z

h

la loro risultante, in direzione z, non può essere y τ

trascurata. xz

σ

xx1

τ

τ σ τ xy1

yy1 yx1

yz

1 Si noti che N e T, pur indicate genericamente come forze, non hanno le dimensioni di una

forza ma di una forza per unità di lunghezza.

6 R. B L P I

ARBONI A IASTRA NFLESSA

Moltiplicando le (1.7) per z ed integrando sullo spessore h, si ha:

2. h/2 h/2 3

h

∫ ∫

= σ = σ + σ = σ

(2.5) M z dz z( z )dz

x xx xx0 xx1 xx1

12

− −

h / 2 h / 2

analogamente: h h

/ 2 / 2

∫ ∫

= σ = τ =

(2.6) M z dz M z dz M

;

y yy xy xy yx

− −

h h

/ 2 / 2

Le (2.5,6), utilizzando le (1.6,7), possono essere scritte in termini di

spostamenti: ⎧ ⎛ ⎞

∂ ∂

2 2

w w

⎜ ⎟

= − + ν

⎪ 0 0

M D ∂

⎝ ⎠

2 2

x x y

⎪ ⎛ ⎞

∂ ∂

⎪ 2 2

w w

⎜ ⎟

= − + ν

⎨ 0 0

(2.7) M D ∂ ∂

⎝ ⎠

2 2

y y x

⎪ ∂ 2 w

⎪ = − − ν 0

(

1 )

M D ∂ ∂

⎪ xy x y

⎩ 1

della piastra :

dove D è la rigidezza flessionale

3

Eh

=

(2.8) D − ν 2

12 (

1 )

σ σ

Pertanto tra le grandezze iniziali , ,… e le nuove grandezze introdotte N , M ,…

xx0 xx1 x x

vigono le seguenti relazioni:

⎧ N N

12 12

σ = σ = ⇒ σ = +

x x

; M z M

⎪ xx0 xx1 x xx x

3 3

h h

h h

⎪ N N

12 12

y y

σ = σ = ⇒ σ = +

⎨ ; M z M

yy0 yy1 y yy y

3 3

h h

⎪ h h

⎪ N N

12 12

xy xy

τ = σ = ⇒ τ = +

⎪ ; M z M

xy yy1 xy xy xy

⎩ 3 3

h h

h h

1 Si noti che la rigidezza flessionale D della piastra non ha le stesse dimensioni fisiche della

rigidezza flessionale EI della trave dal momento che le integrazioni (2.5,6) sono sullo

spessore h e non sull’area dove agisce lo sforzo.

− 7

R. B T P

ARBONI EORIA DELLA IASTRA

Possiamo allora considerare come elemento rappresentativo di una piastra

quello dato dal piano medio di dimensioni dx,dy, soggetto alle forze N,M,T.

Consideriamo separatamente le sollecitazioni nel piano della piastra date

dalle N e quelle fuori del piano date dalle T ed M.

−sollecitazioni nel piano

a) N

y

N

yx x

N

xy dx ∂

M

+ x

M dx

N x x

x z ∂

dy T

+ x

T dx

x x

N

y yx

+

N dy

yx y

N y

+

N dy

y y

Figura 1 – Piastra Tirata

−sollecitazioni fuori del piano

b) T

y M y

M x

yx

M

xy dx

T ∂

x M

+ x

M M dx

qdxdy

x ∂

x x

z ∂

T

dy + x

T dx

M + ... x x

yx ∂

M

y xy

+

M dx

∂ ∂

T xy x

y

M + ... +

T dy

y ∂

y y

Figura 2 – Piastra Inflessa

8 R. B L P I

ARBONI A IASTRA NFLESSA

3. Equazioni di equilibrio della piastra inflessa

Supponiamo che non ci siano forze applicate nel piano ma solo forze fuori

del piano che inducono flessione. Dalla precedente figura 2, si ha:

− l’equilibrio ai momenti intorno all’asse y:

∂ ∂

⎛ ⎞

M

M T dx

yx

+ − + − =

⎜ ⎟

x x

dxdy dydx T dx dydx qdxdy 0

⎝ ⎠

∂ ∂ ∂

x

x y x 2

ovvero, trascurando i termini di ordine superiore:

∂ M

M yx

+ =

x

(3.1) T

∂ ∂ x

x y

− l’equilibrio ai momenti intorno all’asse x, in maniera analoga:

∂ ∂

M M

y xy

+ =

(3.2) T

∂ ∂ y

y x

− l’equilibrio ai momenti intorno all’asse z. Dalla precedente figura 1 si

ottiene quanto già noto:

=

N N

xy yx

− l’equilibrio delle forze in direzione z, ∂

⎛ ⎞

⎛ ⎞ T

T

+ − + + − + =

y

x ⎜ ⎟

⎜ ⎟

T dx dy T dy T dy dx T dy qdxdy 0

∂ ∂

x x y y

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x y

quindi: ∂

∂ T

T + + =

y

x

(3.3) q 0

∂ ∂

x y

Le (3.1,3) sono tre equazioni di equilibrio nelle cinque incognite M , M ,

x y

, T , T . Nella logica di risolvere le equazioni per risalita vediamo di

M xy x y

ricavare un’equazione in termini dei soli momenti.

Eseguendo la seguente operazione:

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

2 2

2 M M T

(3,1) (3,2) M T

+ ⇒ + + = +

xy y y

x x

2

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2

x y x x y y x y


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AUTORE

Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Costruzioni aerospaziali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Barboni Renato.

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