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L'equazione dell'età senza cattura

Il trattamento che segue sarà limitato alla diffusione dei neutroni in mezzi diversi da

quelli più leggeri. Ci poniamo innanzitutto il problema di sviluppare una equazione

differenziale che rappresenti il comportamento del rallentamento neutronico in un

mezzo non assorbente. Si assume che i neutroni che hanno diffuso nel mezzo per un

tempo t dallo loro nascita dalla sorgente abbiano la stessa letargia u. Verrà nel seguito

trovata una relazione tra un loro incremento du, e quello corrispondente dt, per poter

ottenere una equazione che descriva la distribuzione spaziale della densità di

collisione.

Supponiamo che, dopo aver diffuso per un tempo t, tutti i neutroni abbiano velocità v.

λ

Supponiamo inoltre che sia il libero cammino medio, cioè la distanza media

s

percorsa dal neutrone tra due collisioni successive con i nuclei. Il numero di

collisioni che un neutrone subirà mediamente nell'intervallo di tempo dt sarà quindi

λ

v dt/ .

s

ξ

Poiché è il decremento logaritmico medio dell'energia per collisione, ne consegue

ξ

che la perdita media in termini di lnE sarà eguale a moltiplicato per il numero di

collisioni nel tempo dt, cioè

ξ

v

− =

d ln E dt ,

λ s

dove a sinistra è indicata la perdita logaritmica di energia nell'intervallo di tempo dt.

Sostituendo -lnE con du, cioè con l'incremento di letargia, si ottiene

ξ

v

=

du dt . (7.1)

λ s

Questa è la relazione tra gli incrementi du e dt cercata.

Consideriamo ora, in un punto rappresentato dal vettore r, i neutroni che hanno

diffuso per un tempo t dalla loro nascita. Durante il successivo intervallo dt essi

usciranno da un elemento di volume attorno a r ad un tasso (cfr. Cap.1)

− ∇ φ

2 r .

D ( , t )

Se non ci sono assorbimenti di neutroni, questa quantità rappresenta il tasso di perdita

φ,

di neutroni nel tempo. Si potrà scrivere quindi, indicando vn in luogo di

3

∂ r

n ( , t )

∇ =

2 r

Dv n ( , t ) , (7.2)

t

dove D è funzione dall'energia.

Cerchiamo ora di esprimere n(r,t) come neutroni per unità di tempo, sicché n(r,t)dt

3

sarà il numero di neutroni per cm che hanno diffuso per tempi tra t e t+dt dopo aver

lasciato la sorgente.

Come passo successivo, trasformiamo la variabile indipendente da t ad u. Se n(r,u) è

3 3

il numero di neutroni per cm per unità di letargia, il numero di neutroni per cm con

letargia tra u e u+du sarà n(r,u)du. Se questo intervallo di letargia du corrisponde

all'intervallo di tempo dt prima considerato, si ha

n(r,u)du= n(r,t)dt

e quindi, ricordando la (7.1),

ξ

d

u v

= =

n(

r , t) n(

r , u) n (

r , u) . (7.3)

λ

d

t s

Poichè ∂ ∂

n(

r , t) n ( r , t)

d u

=

∂ ∂

t d

t u

si avrà inoltre

∂ ∂

ξ

n(

r , t) n (

r , t)

v

=

∂ λ ∂

t u

s

e quindi, dalla (7.3),  

∂ ξ ∂ ξ

n(

r , t) v v

=  

n (

r , u) (7.4)

∂ λ ∂ λ

 

t u

s s

Inserendo le espressioni (7.3) e (7.4) nella (7.2) si ha

   

ξ ξ ∂ ξ

v v v

∇ =

2    

Dv n (

r , u) n ( r , u) (7.5)

λ λ ∂ λ

   

u

s s s 4


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6

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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria energetica
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Ingegneria del nocciolo e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Gandini Augusto.

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