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Teoria del portafoglio

La teoria del portafoglio vuole essere un supporto formale per l’investitore che deve effettuare delle scelte finanziarie finalizzate al raggiungimento di obbiettivi di rendimento, fissato un orizzonte temporale e subordinatamente ad un profilo di rischio accettabile. Attualmente uno degli strumenti usato dagli investitori istituzionali per la costruzione e realizzazione di un'analisi... Vedi di più

Esame di Matematica Finanziaria II docente Prof. C. Barracchini

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d’investimento. L’evidenza empirica indica che la

convergenza si ottiene per periodi di una settimana o di

un mese circa. Questo risultato è importante per lo

studio dell’andamento dei corsi azionari perché vi sono

numerosi contributi nella letteratura statistica e in

quella del calcolo delle probabilità che analizzano proprio

le caratteristiche delle distribuzioni normali. I risultati

di tali studi possono essere applicati se i rendimenti

logaritmici si distribuiscono, asintoticamente, in modo

normale.

Vi è un unico caso in cui i rendimenti logaritmici si

distribuiscono in modo perfettamente normale per

qualsiasi periodo di investimento. Se i rendimenti

logaritmici giornalieri r (1) si distribuiscono essi stessi

t

in modo normale, i rendimenti r (n) per investimenti di n

t

giorni si distribuiscono anch’essi in modo normale per

tutti gli n≥1. In questo caso r (n) sarà uguale alla somma

t

di n variabili casuali normalmente distribuite e non

occorrerà fare riferimento al teorema del limite

centrale per ottenere la normalità di r (n).

t

12

Da studi iniziali sulla distribuzione dei rendimenti dei

titoli azionari risulta che la varianza campionaria di

rendimenti logaritmici aumenta in modo approssimativa-

mente lineare con la durata del periodo di investimento.

Questi risultati sembrano favorire l’ipotesi che i rendi-

menti logaritmici di un titolo azionario tendano a distri-

buirsi, asintoticamente, in modo normale, con varianza

finita della distribuzione dei rendimenti giornalieri. Da

questi studi, tuttavia, risulta anche che, per rendimenti

misurati per brevi intervalli di tempo, si possono

osservare valori estremi, positivi e negativi, più elevati

che ci si potrebbe aspettare se tali rendimenti fossero

distribuiti normalmente. Il fatto che nella distribuzione

di rendimenti logaritmici giornalieri si possano riscon-

fat tails ) contrad-

trare delle code abbastanza spesse (

dice l’ipotesi che tali rendimenti siano normalmente

distribuiti ed induce a pensare che per intervalli più

lunghi la normalità dei rendimenti logaritmici sia,

quantomeno, un risultato asintotico.

13

3.Portafoglio di due titoli rischiosi

Supponiamo ora che un investitore scelga di investire in

due titoli rischiosi B ed B , uniperiodali (della durata di

1 2

un anno

per esempio). Facciamo poi l’ipotesi che i titoli siano

infinitamente divisibili, ossia che si possa acquistare un

titolo anche solo parzialmente e quanto si realizza in t=1

è proporzionale a quanto si è investito in t=0.

Consideriamo allora il portafoglio che consiste

nell’investire:

x nel titolo B

1 1

x nel titolo B

2 2

con ≥0

x + x =1, x

1 2 i

dove x è la frazione del capitale unitario che vogliamo

i

investire nel titolo B (se W è il capitale totale da

i

investire e W le quote da investire nel titolo i, allora x =

i i

W /W).

i

Note le caratteristiche rischio/rendimento dei singoli

titoli B ed B , la composizione del portafoglio dipende

1 2

e x . Combinando la composizione l’investitore può

da x 1 2 14

cambiare il rendimento ed il rischio del portafoglio.

Come vedremo rischio/rendimento del portafoglio si

potranno esprimere in funzione di rischio/rendimento dei

singoli titoli. Indichiamo con R la v.c. rendimento dei

i

titoli: }

R ={R ,p k=1,….. N

1 (1)k (1)k 1

}

R ={R ,p k=1,….. N

2 (2)k (2)k 2

dove R =(M -P )/P

(1)k (1 )k 1 1 .

si realizza con probabilità p (i )k

il prezzo in t=0 del titolo B ed M le

Essendo P 1 1 (1)k

realizzazioni in t=1 con probabilità p . Analogamente

(1)k

per R . Indichiamo con R il rendimento del portafoglio,

2

che sarà una v.c., le cui realizzazioni dipendono da quelle

dei titoli componenti.

Infatti se la ricchezza alla fine del periodo è:

W’=W+W R +W R

1 (1)i 2 (2)j

il rendimento del portafoglio di composizione (x , x ) è

1 2

 

W ' W

dato da così che

=  

R

ij  

W W R W R

= + = +

1 (

1

) i 2 ( 2 ) i x R x R

R

ij 1 (

1

) i 2 ( 2 ) j

W W 15

Cioè la v.c. rendimento del portafoglio è una

combinazione lineare della v.c. rendimento dei singoli

titoli ed si avrà

N=N N possibili uscite

1 2

con valore R (i=1… N ; j=1… N )

ij 1 2

e probabilità composta p =p(R ,R ) affinché si

ij (1)i (2)j

realizzi l’evento R per la v.c. R e l’evento R per la

(1)i 1 (2)j

v.c. R .

2

N N

1 2

∑∑ =

p 1

ij

i j

Poiché almeno una delle N coppie possibili si realizza:

e N N

2 1

∑ ∑

= =

p p p 1

(

1

) k kj ( 1 ) k

= =

j 1 k 1

se si fissa R per B ,con k=1… N .

(1)k 1 1

Dove p è la probabilità che titolo esca con

(1)k

realizzazione R qualunque sia quella del secondo titolo.

(1)k

Analogamente p per il secondo titolo. Pertanto le

(2)k

probabilità marginali si possono ottenere sommando per

riga e per colonna le probabilità congiunte

16

R R R

21 2j 2N

p p

R 11 11 (1)1

R p p

1i ij (1)i

R p p

1N NN (1)N

p p p

(2)1 (2)j (2 )N

Il problema è che le probabilità congiunte non si

conoscono, ma in genere sono note le quelle marginali,

sufficienti a calcolare il rendimento atteso del

µ:

portafoglio, E(R) o

N N N N N N N N

1 2 1 2 1 2 1 2

∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑∑

µ = = = + = + =

E ( R ) R p ( x R x R ) p x R P x R p

ij ij 1 ( 1 ) i 2 ( 2 ) j ij 1 (

1 ) i ij 2 ( 2 ) j ij

= = = = = = = =

i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1

N N N N

1 2 2 1

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ µ µ

= + = + = +

[ x R p ] [ x R p x R p x R p x x

1 ( 1 ) i ij 2 ( 2 ) j ij 1 (

1 ) i ( 1 ) i 2 ( 2 ) j ( 2 ) j 1 1 2 2

= = = =

1 1 1 1

i j j i i j

Quindi noti i rendimenti attesi dei singoli titoli

componenti il portafoglio, il rendimento atteso del

portafoglio è la combinazione lineare dei due rendimenti.

σ 2 (R),

Il rischio del portafoglio, misurato dalla varianza

dipende dalle varianze dei singoli titoli e dalle

17

correlazioni esistenti fra i vari titoli. (La correlazione

viene misurata tramite la covarianza fra le v.c. R ed R .)

1 2

Se le coppie di possibili realizzazioni aventi tutte uguali

probabilità di verificarsi sono disposte come in figura a

sinistra, allora c’è una relazione inversa tra R ed R . Un

1 2

portafoglio composto da questi due titoli avrà un

rendimento atteso stabile perché si recupera su

un’attività quello che si perde sull’altra.

Al contrario una relazione tra rendimenti positiva, come

in figura a destra, determinerà un portafoglio con un

rendimento atteso o molto alto o molto basso.

Definiamo la covarianza che esprime la relazione tra R 1

ed R :

2 N N

1 2

∑ ∑ µ µ

= = − −

cov( R , R ) cov( R , R ) ( R )( R ) p

1 2 2 1 ( 1 ) i 1 ( 2 ) j 2 ij

= =

i 1 j 1

mentre σ

= 2

cov( R , R )

i i i

(Notiamo che se la probabilità che in entrambi i titoli sia

la realizzazione di R che di R sia maggiore (minore) dei

1 2

rispettivi rendimenti attesi, allora la covarianza è

positiva. Al contrario se i rendimenti si muovono in

maniera discordante rispetto ai rispettivi rendimenti

18

attesi, allora la varianza è negativa. Vediamo allora la

covarianza negativa in figura a sinistra e positiva in

figura a destra.)

Se cov=0 si dice che le v.c. sono non correlate, e ciò può

accadere (condizione sufficiente ma non necessaria) se

esse sono statisticamente indipendenti, cioè P =p p

ij (1)i (2)j

4.Varianza di un portafoglio di due titoli rischiosi

Calcoliamo la varianza di un portafoglio:

N N

1 2

∑∑ ∑∑ ∑∑

σ µ µ µ µ µ

= − = + − − = − + − =

2 2 2 2

(

R

) ( R ) p ( x R x R x x ) p [ x (

R ) x (

R )] p

ij ij 1 (

1

)

i 2 ( 2

) j 1 1 2 2 ij 1 (

1

) i 1 2 ( 2

) j 2 ij

= =

i 1 j 1

∑∑ µ µ µ µ

= − + − + − − =

2 2 2 2

[ x ( R ) x ( R ) 2 x x ( R )( R )] p

1 (

1

) i 1 2 ( 2 ) j 2 1 2 (

1

) i 1 ( 2 ) j 2 ij

∑∑ ∑∑ ∑∑

µ µ µ µ

= − + − + − − =

2 2 2 2

x (

R ) p x (

R ) p 2

x x (

R )(

R ) p

1 (

1

)

i 1 ij 2 (

2

) j 2 1 2 (

1

)

i 1 (

2

) j 2 ij

ij σ σ σ

= + +

2 2 2 2

x x 2 x x

1 1 2 2 1 2 12

Spesso è meglio utilizzare il coefficiente di

correlazione, che non dipende dall’unità di misura delle

variabili ed è una sorta di covarianza normalizzata,

compreso nell’intervallo (-1,1): σ

ρ = 12

σ σ

12 1 2

19

da cui σ σ σ ρ σ σ

= + +

2 2 2 2 2

( R ) x x 2 x x

1 1 2 2 1 12 1 2

2

2

Poiché cov(Ri,Ri)=σ introduciamo la matrice di varianza-

i

covazianza (simmetrica):

σ ρ σ σ

2

= 1 12 1 2

V ρ σ σ σ 2

12 1 2 2

Ponendo X=[x ,x ]’ si ha

1 2 σ =

2 ( R ) X ' VX

Possiamo ora rappresentare ogni portafoglio ammissibile

nel piano cartesiano media-varianza MV.

Sappiamo dal vincolo di bilancio che x +x =1, cioè che

1 2 ≥0,

tutta la ricchezza disponibile viene investita, e che x i

cioè che non sono ammesse vendite allo scoperto,

pertanto dobbiamo stimare un solo parametro, visto che

x =1-x e che quindi l’insieme che otteniamo nel piano MV

1 2

è unidimensionale in cui rappresentiamo una curva di

equazioni(7):

∈[0,1]

con x 2 20

µ µ µ

= − +

 ( 1 x ) x

2 1 2 2

 σ σ σ ρ σ σ

= − + + −

2 2 2 2

( 1 x ) x 2 ( 1 x ) x

 2 1 2 2 2 2 12 1 2

Eliminando x otteniamo l’equazione di una curva nel

2

piano MV, luogo geometrico dei portafogli ammissibili.

Osserviamo che:

µ=µ σ σ

x =0 , =

2 1 2 12

µ=µ σ σ

x =1 , =

2 2 2 22

quindi i due estremi sono i punti P e P relativi ai singoli

1 2

titoli B ed B , cioè si investe tutto o nell’uno o nell’altro

1 2

titolo.

Al variare di x fra 0 e 1 otteniamo una curva che

2

congiunge i due estremi.

Supponiamo che B sia il titolo a media e varianza

1

inferiori.

Analizziamo i casi particolari al variare del coefficiente

di correlazione: 21

ρ=1

a) Perfetta correlazione:

In tal caso si ha (8): µ µ µ

= − +

 (

1 x ) x

2 1 2 2

σ σ σ σ σ σ σ

= − + + − = − +

2 2 2 2 2 2

(

1 x ) x 2 (

1 x ) x [(

1 x ) x ]

 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2

Dalla seconda equazione esplicitiamo x2:

σ σ

= 1

x σ σ

2 2 1

e sostituendo nella prima equazione:

σ σ µ

σ µ

σ σµ σ µ σµ µ

σ µ

σ σ µ µ µ

− − + − − + − −

µ µ µ µ σ σ

= + − = = + =

1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1

( ) a+ b

σ σ σ σ

σ σ σ σ

− − − −

1 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1

che è l’equazione di una retta con coefficiente angolare

b>0 che dipende dalla relazione tra i rendimenti attesi e

le varianze dei due titoli, ed intercetta pari ad a. La

frontiera efficiente in tal caso è rappresentata dal

segmento di retta congiungente i due punti P e P .

1 2

µ P

2 2

µ P

1 1

σ σ

12 22

22 ρ=-1

b) Perfetta correlazione negativa:

Si ha (9): µ µ µ

= − +

 (

1 x ) x

2 1 2 2

σ σ σ σ σ σ σ

= − + − − = − −

2 2 2 2 2

(

1 x ) x 2 (

1 x ) x [(

1 x ) x ]

 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2

da cui:

σ σ σ

= − −

(

1 x ) x

2 1 2 2

quindi essendo

σ σ

− − ≥

(

1 x ) x 0

2 1 2 2

per σ

≤ 1

x σ σ

+

2 1 2

si ha σ σ

− −

 (

1 x ) x

σ = 2 1 2 2

 σ σ

− − +

(

1 x ) x

 2 1 2 2

rispettivamente per:

σ

 < ≤ 1

1

) 0 x

 σ σ

+

2

 1 2

σ

 ≤ <

1

2 ) x 1

σ σ

+

 2

 1 2

Nel caso 1) si ha:

σ σ

= 1

x σ σ

+

2 1 2

che sostituendo nella prima equazione della (9):

σ σ σ σ σ µ σ µ µ µ

− − + −

µ µ µ σ σ

= − + = − = −

1 1 2 1 1 2 2 1

( 1 ) a b

σ σ σ σ σ σ σ σ

+ + + +

1 2 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2

che descrive la l’equazione di una retta nel piano con

<0,dato che b >0.

coefficiente angolare –b 1 1

23

σ=0,

Se x =σ /(σ +σ ) allora cioè il portafoglio è a rischio

2 1 1 2

nullo ed il rendimento è:

σ µ σ µ

+

µ = 2 1 1 2

σ σ

+

1 2

Nel caso 2) si ha:

σ σ

+

= 1

x σ σ

+

2 1 2

e sostituendo nella prima equazione della (9):

σ σ σ σ σ µ σ µ µ µ

+ + + −

µ µ µ σ σ

= − + = + = +

1 1 2 1 1 2 2 1

(

1 ) a b

σ σ σ σ σ σ

σ σ

+ + + +

1 2 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2

che è l’equazione di una retta con coefficiente angolare

b >0.

1

Il portafoglio a rischio nullo ha composizione ∗ = ∗ ∗

x ( x , x )

1 2

con σ σ

e

= = − =

1 2

x x 1 x

σ σ σ σ

+ +

2 1 2

1 2 1 2

e rendimento atteso

µ σ µ σ σ

+

µ µ µ µ

= = + −

2 1 1 2 1 ( )

σ σ σ σ

+ +

1 2 1

1 2 1 2

Possiamo allora rappresentare la frontiera di portafoglio

µ P

2 2

µ

µ P

1 1 σ

σ 2 2

1 2 24

Dalla figura possiamo evincere che in presenza di 2 titoli

perfettamente non correlati si può costruire un

portafoglio a rischio nullo calcolando le giuste porzioni di

x e x .

1 2

c) Rendimenti non correlati:ρ=0

Si ha (10):

µ µ µ

= − +

 (

1 x ) x

2 1 2 2

σ σ σ

= − +

2 2 2 2

(

1 x ) x

 2 1 2 2

esplicitando x dalla prima equazione si ha

2

µ µ µ µ

− −

= − =

1 2

x ;

1 x

µ µ µ µ

2 2

2 1 2 1

e sostituendo nella seconda

µ µ µ µ

− −

σ σ σ

= +

2 2 2 2 2

2 1

( ) ( )

µ µ µ µ

− 1 2

2 1 2 1

σ µ µ µ µ σ µ µ σ µ σ σ µ µ σ µ σ µ σ µ σ

− = − + − = + − + + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )

2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2

che nel piano (σ,µ) è l’equazione di una conica, mentre nel

piano (σ ,µ) è l’equazione di una parabola:

2 µ P

2 2

µ∗

µ P

1 1 σ

σ∗ σ 2 2

1 2

25

Per trovare il portafoglio a rischio minimo possiamo

σ2(x2).

utilizzare trovare il minimo della funzione

1. Si ha:

σ σ σ

= − +

2 2 2 2 2

(

1 x ) x

2 1 2 2

σ 2

d σ σ

= − − + =

2 2

2 (

1 x ) 2 x 0

2 1 2 2

dx 2

da cui

σ 2

∗ = 1

x σ σ

+

2 2 2

1 2

mentre dal vincolo di bilancio si ha

σ 2

∗ = 2

x σ σ

+

1 2 2

1 2

e poiché

σ

2 2

d σ σ

= + >

2 2

2 ( ) 0

1 2

dx 2 σ2 σ)

otteniamo che (x1∗,x2∗) minimizzano (o e sono

quindi il portafoglio a rischio minimo:

26

σ σ

2 2

σ σ σ

∗ = +

2 2 2 2

2 1

( ) ( )

σ σ σ σ

+ +

1 2

2 2 2 2

1 2 1 2

e rendimento: µ σ µ σ

σ +

2 2 2

µ µ

µ µ

∗ = + − =

1 2 1 1 2

( ) σ σ

σ σ

+ +

1 2 1

2 2 2 2

1 2 1 2

Osserviamo che allo stesso risultato si poteva pervenire

σ2(µ)

trovando il min della funzione

ρ∈(-1,1)

d) Caso generico:

In questo caso le equazioni descritte dal sistema MV

σ,µ)

descrivono una conica (piano o una parabola (piano

σ2,µ)

Il portafoglio a rischio minimo si determina ugualmente

risolvendo il problema di minimizzazione.

ρ=-1 ρ=0

µ 2

µ ρ=1 σ 2

1 27

Dall’equazione

[ ]

1

σ µ µ σ µ µ σ µ µ µ µ ρσ σ

= − + − + − −

2 2 2 2 2

( ) ( ) 2 ( )( )

µ µ

− 2 1 1 2 1 2 1 2

2

( )

2 1

[ ]

1 µ σ σ ρσ σ µ µ σ µ σ ρσ σ µ µ µ σ µ σ ρσ σ µ µ

= + − − + + + + + −

2 2 2 2 2 2 2 2 2

( 2 ) 2 ( ( )) 2

µ µ

− 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2

2

( )

2 1

osserviamo che ρ<1

per

σ σ ρσ σ

+ − >

2 2

( 2 ) 0

1 2 1 2

poiché σ σ

+

2 2

per ~

σ σ ρσ σ ρ

ρ

+ > < = >

2 2 1 2

2 1

σ σ

1 2 1 2 2 1 2 ρ∈(-1,1).

in modo che è soddisfatta la condizione

Minimizziamo ora la funzione

σ σ σ ρσ σ

= − + + −

2 2 2 2 2

( x ) (

1 x ) x 2 (

1 x ) x

2 2 1 2 2 2 2 1 2

ottenendo

d σ σ ρσ σ

= − − + + − =

2 2

2 (

1 x ) 2 x 2 (

1 2 x ) 0

2 1 2 2 2 1 2

dx

2

da cui

σ σ ρσ

( )

∗ = 1 1 2

x σ σ ρσ σ

+ −

2 2 2 2

1 2 1 2

e considerando che

σ

2 2

d σ σ ρσ σ

= + − >

2 2

2 ( 2 ) o

1 2 1 2

dx

2

∗ ∗>0 σ

x è punto di minimo e che x per -ρσ >0, cioè

2 2 1 2

ρ<σ /σ (<1)

1 2 28

Quindi il portafoglio a rischio minimo esiste per

ρ∈(-1,σ /σ ).

1 2 ∗),x ∗)

In tali casi il portafoglio ((1-x ha rendimento

2 2

µ∗=µ+x ∗(µ ∈(0,x ∗)

-µ ). Se x si hanno portafogli non

2 2 1 2 2

∈(x ∗,1)

preferiti mentre per x si hanno i punti della

2 2

frontiera efficiente.

5.Vendite allo scoperto ≥0

In questo caso eliminiamo la condizione x assumendo

i

∈R. Quindi se ad esempio x <0 si ha x =1- x

invece x i 1 2 1

>1, cioè x negativo vuol dire che il titolo B è venduto

1 1

allo scoperto, cioè l’operatore vende titoli che non

possiede, deve prenderli in prestito per poterli vendere

e si impegna poi a restituirli ad una data futura

concordata. Si indebita allo scopo di acquistare di più

(x >1) del titolo B .

2 2

In questo caso otteniamo come luogo dei punti

ammissibili del piano rischio-rendimento le stesse curve

ottenute prima, ma non dobbiamo considerare solo la

porzione di curva compresa fra i punti P e P ma tutta la

1 2

curva come rappresentato in figura rispettivamente

29

ρ=1, ρ=-1, ρ∈(-1,1)

per x <0

1

µ µ µ

x <0 P

1 2

P P x <0

2 2 1

P 1 •

• x <0

x <0

2 2

x <0 P P

2 1 1

σ σ σ

Ora fissata la composizione, la media e la varianza del

portafoglio sono dei valori uguali per tutti gli operatori,

che dipendono solo dalle caratteristiche dei titoli

componenti. Quindi una volta determinata la frontiera

efficiente per determinare il portafoglio ottimale

bisogna considerare le preferenze dei singoli investitori.

6.Selezione di un portafoglio ottimale

L’investitore deve scegliere la combinazione rischio-

rendimento per lui ottimale. Occorrono allora

informazioni precise sulle preferenze degli operatori,

che supponiamo siano rappresentate da curve di

preferenza o di isoutilità nel piano (σ,µ) che possiamo

pensare come curve di livello di una funzione di utilità

individuale D(σ,µ). 30

L’operatore sceglierà la composizione che massimizza la

propria soddisfazione, restringendo l’analisi ai soli punti

della frontiera efficiente.

Nota una utilità del danaro u(x), la funzione

D(σ,µ)=u(µ)-σ α,β>0 β∈(0,1)

oppure D(σ,µ)=βu(µ)-ασ con e

può essere assunta come funzione di utilità nel piano

(σ,µ). Comunque non è sempre necessario partire da una

funzione u(x), ma è sufficiente che una funzione D

soddisfi alcuni criteri generali che richiediamo debbano

valere per una funzione di utilità. Cioè le curve di

µ=F(σ,C)

isoutilità D(σ,µ)=C esplicitate in devono essere

σ,

crescenti e convesse, in quanto al crescere di cioè

aumentando il rischio, la soddisfazione resta la stessa

solo se si ottiene un rendimento maggiore (da cui F’>0).

Inoltre se il rischio non è elevato un piccolo aumento di

rischio sarà compensato, per l’indifferenza da un piccolo

aumento di rendimento, ma se il rischio è elevato, un

aumento anche piccolo del rischio sarà compensato, per

l’indifferenza, da un maggior incremento del rendimento

(da cui F”>0). Perciò le curve sono come in figura.

31

µ σ

Non è possibile considerare curve di isoutilità

decrescenti (vedi figura) perché allora l’investitore

stima di pari soddisfazione portafogli aventi basso

rischio e alto rendimento e portafogli aventi alto rischio

e basso rendimento contraddicendo il criterio MV.

µ σ

Vediamo qualche esempio di funzioni di utilità D:

a) D(σ,µ)=µ-aσ con a>0 e costante.

Le curve di isoutilità hanno equazione D=c (costante) ,

ossia

µ-aσ=c che sono rette di pendenza a ed intercetta c.

µ σ 32 µ=cσ

b) D(σ,µ)=µ/σ, le curve di isoutilità sono rette

passanti per l’origine con coefficiente angolare c.

µ

c) D(σ,µ)=µ-aσ a>0, le curve di isoutilità sono date da

2

µ=aσ2+c cioè parabole con intercetta c.

µ σ

σ<b,

d) D(σ,µ)=µ-1/(b-σ) con dove b è il livello massimo

di rischiosità individuale. Le curve di isoutilità sono

µ=1/(b-σ)+c, cioè rami di iperbole con asintoto

orizzontale c ed asintoto verticale b.

µ σ

b

Determinato il luogo dei portafogli ammissibili, per un

investitore molto avverso al rischio, la scelta sarà

prossima al portafoglio a rischio minimo:

33

µ • P 2

P 1 σ

Invece per un investitore mediamente avverso al rischio

il portafoglio di scelta ottimale sarà:

µ • P 2

• P 1 σ

Per un investitore poco avverso al rischio il punto scelto

cadrà lontano dal portafoglio di rischio minimo:

µ • P 2

• P 1

Mentre il punto scelto potrebbe superare il punto P se

2

fossero consentite vendite allo scoperto, investendo più

di quel che si ha nel solo titolo B :

2

34

P 2

µ •

• P 1 σ

Sempre per quel che riguarda il problema di scelta

ottimale individuale del portafoglio supponiamo nota la

funzione di preferenza D(σ,µ).

Per determinare il punto della frontiera efficiente che

fornisce la massima utilità non è necessario determinare

prima la frontiera efficiente, ma possiamo risolvere

direttamente il problema di ottimizzazione.

La regione ammissibile è definita dalle equazioni

parametriche:

µ µ µ

= + = Π

 x x X '

1 1 2 2

σ σ σ ρσ σ

= + + =

2 2 2 2 2

x x 2 x x X '

VX

 1 1 2 2 1 2 1 2

Π=(µ

x +x =1 e dove ,µ )

1 2 1 2

Quindi per ogni fissata composizione, X=(x ,x ), possiamo

1 2

calcolare direttamente il valore di soddisfazione

corrispondente:

F(X)=F(x ,x )=D(σ(x ,x ),µ(x ,x ))

1 2 1 2 1 2

+x =1

x 1 2 35

(che si può anche scrivere U’X=1, con U=(1,1,…,1))

Impostiamo allora il problema di ottimo:

max F(X)

U’X=1

che risolto ci da il portafoglio ottimo.

Essendo il vincolo lineare si ha x =1-x e quindi possiamo

1 2

scrivere:

µ µ µ

= − +

 (

1 x ) x

2 1 2 2

σ σ σ ρσ σ

= − + + −

2 2 2 2 2

(

1 x ) x 2

(

1 x ) x

 2 1 2 2 2 2 1 2

e considerare allora

f(x )=D(σ(x ),µ(x ))=F((1-x ),x )

2 2 2 2 2 )

risolvendolo come problema di libero max f(x 2

Se D è tale che le curve di isoutilità sono crescenti e

convesse e la frontiera efficiente è una funzione

crescente e concava, allora il problema di ottimo da

soluzione unica.

Una volta trovato il portafoglio che rende massima la

funzione di utilità, calcoliamo i corrispondenti valori di

rendimento atteso e rischio ricavandoli dal sistema

parametrico media-varianza.

36

7. Modello di Markowitz: portafoglio con n titoli

rischiosi

Markowitz sostiene che la varianza della media dei

rendimenti decresce all'aumentare del numero n dei

titoli. E' per questo motivo che egli effettua la sua

analisi su n titoli, evidenziando l'importanza della

diversificazione del portafoglio per ridurne il rischio.

Nel caso di un portafoglio con n titoli rischiosi, B , B ,…,

1 2

, il problema della costruzione ottimale non è

B n

sostanzialmente differente dal caso di un portafoglio di

due titoli.

Ricordiamo le ipotesi che stanno alla base del problema

in esame:

Tutti i titoli hanno la medesima durata (modello

uniperiodale)

I titoli sono infinitamente divisibili

Sono consentite vendite allo scoperto;

Non esistono rischi di insolvenza (il solo rischio è

misurato dalla varianza o dalla deviazione standard)

Non esistono gravami fiscali o costi di transazione

37

Gli agenti sono price taker: non influenzano i prezzi

dei titoli ed il mercato (esiste una base oggettiva per

tutti che è la frontiera efficiente)

Gli agenti sono massimizzatori del profitto o

dell’utilità attesa

Il mercato è coerente (assenza di arbitraggio)

La distribuzione dei rendimenti è di tipo Normale con

µ σ

media e varianza 2

Si è in presenza di investitori avversi al rischio

(u’’(x)<0) ,

Supponiamo che siano assegnati n titoli rischiosi B k

k=1,2,…,n per ciascuno dei quali sono noti i rendimenti

con relative probabilità [R ]

R i =1,2,…,N , R ,…, R

(k)i k k k (k)1 (k)2 (k)n

[p ]

p i =1,2,…,N ,p ,…,p

(k)ik k k (k)1 (k)2 (k)n

N k

∑ =

p 1

( k ) i k

i =

k 1

e, quindi, anche il rendimento atteso

N k

µ = R p

k ( K ) i ( k ) i

k k

=

i 1

k

e la varianza 38

N k

σ µ µ

= − = −

2 2 2 2

( R ) p E ( R )

k k i k k i k k

( ) ( )

k k

=

i 1

k

o la deviazione standard

σ σ

= 2

k k

che viene usata come stima della rischiosità. Dovremo

allora analizzare il portafoglio (generico) che si ottiene

investendo x lire in B ,…,…, x lire in B tenendo conto

1 1 n n

del vincolo di bilancio

+ x +…+ x =1

x 1 2 n

In forma compatta, il portafoglio di composizione

X=(x ,…,x ) ha vincolo U’X=1 dove U=(1,…,1). Osserviamo

1 n ≥0,

che se non mettiamo il vincolo di non negatività x i

significa che sono consentite vendite allo scoperto.

Nel portafoglio di composizione X=(x ,x ,…,x ),

1 2 n

analogamente al caso di 2 soli titoli, si trova che il

µ(X),

rendimento atteso di portafoglio è una

combinazione lineare dei rendimenti attesi dei singoli

titoli:

µ(X) µ µ µ

= x +x +…+x

1 1 2 2 n n

Π’X

=

Π=(µ ,……,µ ).

dove 1 n 39 σ 2

Per quanto riguarda la varianza (X) del portafoglio di

composizione X ci aspettiamo che, analogamente al caso

con due titoli, intervengano le covarianze dei due titoli a

due a due. Supponendo che siano note le probabilità

congiunte per titoli a due a due, (B , B ), ossia

r s

P(R(r) , R(s) ) i =1,……,N ; i =1,……,N

ir is r r s s

Per cui si ha N

N s

r

∑ ∑ µ µ σ

= − − =

cov( B , B ) ( R )( R ) p ( R R )

r s ( r ) i r ( s ) i s ( r ) i ( s ) i r , s

r r r s

= =

i 1 i 1

r s

potremmo disporre le varianze e le covarianze degli n

titoli in una matrice V, detta matrice varianza-

covarianza, con 2

V(i,i)= cov (B , B ) =σ

i i i σ

V(i,j)=V(j,i)= cov(Bi,BJ)= i,j

E dove

σ σ

…………….

11 1n

V= ……………

σ σ

……………

n1 nn

La matrice V (quadrata di ordine n) è ovviamente

simmetrica, e noi assumeremo che sia anche definita

positiva. 40

La varianza del portafoglio di composizione X=(x , x ,…,

1 2

x ), analogamente al caso di due titoli, risulta essere la

n

forma quadratica associata alla matrice di varianza-

covarianza V:

σ 2 n

(X)=X’VX = ∑ V x x

i , j i j

=

i , j 1

e la deviazione standard del portafoglio è

σ σ

= 2

( X ) ( X )

Riassumendo, note le caratteristiche dei singoli titoli B ,

1

B ,…,B per il portafoglio di composizione X=(x , x ,…, x )

2 n 1 2 n

si ha:

σ 2 (X)=X’VX

µ(X)=Π’X

U’X=1

Dove

Π=(µ ,µ ,…µ ),

1 2 n σ

V = cov(B , B ) = ;

i,j i j i,j

U=(1,……,1). 41

8. Portafoglio ottimo

8.1. Caso con assenza di vincoli di non negatività e di

attività a rendimento certo

Se supponiamo che un investitore abbia una data

2

funzione di preferenza individuale D(σ,µ) o D(σ ,µ) da

massimizzare, potremo risolvere direttamente il

problema di ottimo, per determinare il portafoglio di

massima soddisfazione:

max F(x , x ,…, x ) = D(σ(x , x ,…, x ),µ (x , x ,…, x ))

1 2 n 1 2 n 1 2 n

∑ =

x 1

i

i

oppure eliminare il vincolo di uguaglianza e risolvere un

problema di libero in (n-1) variabili. 2

l’operatore assume D(σ,µ)=µ-aσ si avrà

Esempio.Se Π’X-aX’VX

max F(x , x ,…, x ) =

1 2 n

U’X=1

Ed essendo V definita positiva, -V è definita negativa, ed

il problema di max ha un’unica soluzione che definisce il

portafoglio ottimo. 42


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

La teoria del portafoglio vuole essere un supporto formale per l’investitore che deve effettuare delle scelte finanziarie finalizzate al raggiungimento di obbiettivi di rendimento, fissato un orizzonte temporale e subordinatamente ad un profilo di rischio accettabile. Attualmente uno degli strumenti usato dagli investitori istituzionali per la costruzione e realizzazione di un'analisi statico-quantitativa dei mercati è il modello scoperto agli inizi degli anni ‘50 da Harry Markowitz. Lo scopo della sua teoria è quello di costruire un portafoglio che dato un rischio contenuto offra il massimo rendimento atteso. In realtà non esiste un portafoglio ideale in termini assoluti, ma tanti portafogli in relazione alla diversa propensione al rischio di ciascun investitore.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Finanziaria II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Barracchini Carla.

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