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Nello spazio infinito-dimensionale della rappresentazione delle coordinate,

~ ~

L = −ı ~

r × ∇),

L

T cioè la

il generatore ha la forma familiare: (con

3 3 z

derivata rispetto all’angolo di rotazione attorno all’asse (angolo polare).

T

Se invece consideriamo gli autostati di , possiamo costruire uno spazio

3

vettoriale finito dimensionale su cui opera il generatore. Di nuovo

R

T

possiamo chiederci che rappresentazione ha (e quindi ) in questo

z

3

caso: si otterrà una rappresentazione matriciale. Gli autostati sono dati da

exp(ı m φ) con m ∈ [−m , m ]

√ max max

m = 0, 1, 2, 3, ....... m

dove Fissiamo (da ricordare che questo

max max 2

T

valore fornisce l’autovalore dell’operatore di Casimir ), si individua un

T

sottospazio vettoriale che ha come base gli autostati di dati da

3

√ 2π m ∈ [−m , m ].

exp(ı m φ)/ T

con Allora il generatore

max max 3

avrà la seguente rappresentazione finito dimensionale 1

0 m 0 0 ...

max C

B C

B 0 m − 1 0 ...

max C

B C

B

=

T C

B ... ... ... ...

3 C

B C

B ... 0 −m + 1 0 A

@ max

... 0 0 −m

max

m = 1,

Per si ottiene una rappresentazione equivalente a quella

max

ottenuta nel caso di uno spazio euclideo tridimensionale.

23

• G

Un gruppo può avere molte (infinite) rappresentazioni.

• g

Se esiste una corrispondenza biunivoca tra matrici ed elementi del

G, rappresentazione fedele.

gruppo si parla di

• Le dimensioni di una rappresentazione sono le dimensioni dello

G.

spazio vettoriale su cui si sta applicando il gruppo Una

rappresentazione può avere dimensioni finite o infinite.

• La moltiplicazione tra matrici (legge di composizione) è associativa,

quindi è automaticamente soddisfatta anche questa proprietà

gruppale.

• Deve essere possibile costruire l’inversa della matrice che

g G,

rappresenta l’elemento del gruppo per poter soddisfare la

proprietà gruppale di esistenza dell’inverso.

• La rappresentazione fondamentale di un gruppo è la rappresentazione

fedele (cioè che rappresenta fedelmente le proprietà del gruppo) con

le dimensioni più piccole. Per i gruppi abeliani la rappresentazione

1 × 1

fondamentale è (i numeri commutano tra di loro e quindi si

ottiene una rappresentazione fedele di un gruppo abeliano), mentre

n ≥ 2)

SU(n)

per i gruppi non abeliani ( p.e. i gruppi con la

dimensionalità della rappresentazione fondamentale deve essere

maggiore di 1 (bisogna avere delle matrici per soddisfare le regole di

commutazione dei generatori ed avere quindi una rappresentazione

fedele).

• Le costanti di struttura forniscono un’altra importante

la

rappresentazione dei generatori di un gruppo di Lie:

rappresentazione aggiunta. j j

= (T )

C kl

kl

La dimensionalità della rappresentazione aggiunta è uguale al

3, 8.

SU(2) SU(3)

numero dei generatori. Per è e per è

24

• Una rappresentazione si chiama unitaria se le matrici della

U = I).

rappresentazione sono unitarie (U Le rappresentazioni

unitarie di un gruppo, se esistono, sono particolarmente importanti

poichè conservano il prodotto scalare tra i vettori di uno spazio

vettoriale complesso (p.e. lo spazio di Hilbert).

• Ogni rappresentazione di un gruppo compatto di Lie (o di un gruppo

finito) è equivalente ad una rappresentazione unitaria (esiste una

trasformazione che rende unitaria la rappresentazione). ∗

• D(g) g ∈ G, D (g)

Se è una rappresentazione dell’elemento allora

è la rappresentazione complessa coniugata del gruppo. P.e. se

g

abbiamo una certa rappresentazione di corrispondente ad una

T

rappresentazione dei generatori i

" #

X

D(g) = exp ı α T

i i

i

la rappresentazione complessa coniugata sarà

" #

X

∗ ∗

D (g) = exp −ı α T

i i

i

(−T )

Quindi i generatori sono i generatori della rappresentazione

i SU(3):

Ultima osservazione, importante per

complessa coniugata. ∗

−T

T

se le due rappresentazione dei generatori e non sono

i i

−1 ∗

ST S 6 = −T

equivalenti,( cioè ) allora abbiamo vettori di base

i i

(autovalori) diversi per la rappresentazione e la sua coniugata. Per

SU(2) coincidono! ′

• D(g) D (g) G,

Date due rappresentazioni e del gruppo il prodotto

g

diretto delle due rappresentazioni è la rappresentazione di che

prodotto tensoriale tra i

agisce sullo spazio vettoriale ottenuto dal ′

D(g) D (g),

vettori base delle rappresentazioni e rispettivamente.

˜ ˆ ˜

ˆ ′ ′

′ ′ ).

= D(g) ⊗ D (g) (v ⊗ v

[D(g)v ] ⊗ D (g)v i

i k

k 25

Rappresentazioni Riducibili ed Irriducibili

Una rappresentazione matriciale si chiama rappresentazione riducibile,

se si può trasformare la matrice (attraverso trasformazioni di similitudine)

matrice a blocchi. P.e., se

in una 1

0 A 0 0 C

B C

B

D = 0 B 0 A

@ 0 0 C

A, B, C

dove sono rappresentazioni di dimensionalità in generale diversa

× a, b × b, c × c) 0 D

(a e con si intende matrici con tutti zero. Allora è

riducibile, poichè è costruita a partire da ben individuate rappresentazioni

A 2 × 2, B

più piccole. Più esplicitamente, se è una matrice è una matrice

3 × 3 C 2 × 2

e è una matrice si ha

0 1

a a 0 0 0 0 0

11 12

B C

B C

a a 0 0 0 0 0

B C

21 22

B C

B C

0 0 b b b 0 0

11 12 13

B C

B C

D = B C

0 0 b b b 0 0

21 22 23

B C

B C

0 0 b b b 0 0

B C

31 32 33

B C

B C

0 0 0 0 0 c c

@ A

11 12

0 0 0 0 0 c c

21 22

A B

La matrice opera su vettori bidimensionali, opera su vettori

C

tridimensionali e opera su vettori bidimensionali. Quindi lo spazio

D

vettoriale su cui opera si decompone in sottospazi invarianti, grazie alla

S A,

forma a blocchi. Potrà esistere una trasformazione che diagonalizza

A

B C, S S

ma ovviamente non diagonalizza e lo stesso se esiste o .

B C

D

Un generico vettore dello spazio su cui opera si potrà scrivere nel modo

~ ~b, ~b

d ≡ {~a, ~c

}, ~a ∈ A, ∈

seguente: dove al sottospazio su cui opera al

B ~c ∈ C.

sottospazio su cui opera e al sottospazio su cui opera

26

D,

Sotto l’azione di grazie alla forma a blocchi, i tre sottospazi (quello

~ ~

A, B C) d = D d

relativo ad a e a non si mischiano tra di loro, e sarà dato

~ ~ ~ ~ ~

′ ′ ′ ′ ′

d ≡ {

a , b , c }, a ∈ A,

da dove al sottospazio su cui opera ecc.

Le rappresentazioni che non possono essere scritte in una forma a

≥ 2

blocchi (cioè che non hanno matrici di dimensionalità lungo la

diagonale), si chiamano irriducibili.

Se l’operatore Hamiltoniano di un sistema gode di una certa simmetria, i

suoi autostati si potranno raggruppare per formare multipletti (degeneri).

Il multipletto corrisponde a una ben precisa rappresentazioni irr. del

gruppo che descrive la simmetria dell’operatore Hamiltoniano. Esempio: i

multipletti di un Hamiltoniano che gode della simmetria per rotazioni

nello spazio euclideo. Gli autostati di H, che saranno anche autostati di

2

T T

, si raggrupperanno in multipletti, basi delle rapp. irr. del

3

momento angolare.

La rappresentazione riducibile si può quindi descrivere completamente

attraverso le rappresentazioni irriducibili che ne formano i blocchi. In

particolare si dice che è la somma diretta di tali rappresentazioni

irriducibili: D = A ⊕ B ⊕ C

Per i gruppi di Lie semi-semplici , gli operatori di Casimir permettono di

catalogare le rappresentazioni irriducibili del gruppo stesso (Vedi il

Teorema di Racah).

Per i gruppi di Lie compatti ogni rappresentazione unitaria è

(completamente) riducibile, e ogni rappresentazione irriducibile è finito

dimensionale. 27

Commenti:

Se un certo sistema gode di una certa proprietà di simmetria (segnalata

sperimentalmente dall’esistenza di multipletti), vedremo che i seguenti

passaggi logici ci permetteranno una analisi astratta di enorme potenza

predittiva.

• Trovare il gruppo di trasformazioni associato alla simmetria in esame

• Trovare tutte le rappresentazioni irriducibili (o meglio darne la

catalogazione)

• Le autofunzioni corrispondenti alle varie rappresentazione

irriducibili sono le uniche autofunzioni permesse per il sistema che

gode della simmetria in esame.

Questa catena logica, a volte seguita anche per simmetrie che si

manifestano solo in modo approssimato, permette eventualmente di

predire l’esistenza di multipletti ancora non osservati, e/o membri di un

certo multipletto non ancora visti, individuando i numeri quantici che li

identificano.

Da ricordare: per un gruppo di Lie potremmo indifferentemente discutere

delle rappresentazioni degli elementi del gruppo o delle rappresentazioni

dei generatori, grazie all’esponenziazione che lega i due insiemi

28 SU(2)

Esempio: det = +1,

SU(2)

Il generico elemento di è unitario con quindi i tre

generatori sono hermitiani e a traccia nulla, e si indicano, come è ben

2

{S , S , S }. n − 1),

noto, con L’algebra ha dimensione 3 (≡ e rango 1

x y z

n − 1),

(≡ cioè i generatori commutano solo con se stessi, poichè

verificano le seguenti regole di commutazione (si somma sugli indici

ripetuti) ` ´

[S , S ] = ı ǫ S ǫ ≡ tensore di Levi − Civita

i j ijk k ijk

e l’identità di Jacobi

[[S , S ] , S ] + [[S , S ] , S ] + [[S , S ] , S ] = 0

1 2 3 2 3 1 3 1 2

| {z }

Al massimo avremo un solo generatore che ha una rappresentazione

matriciale diagonale. 1/2

D 2

⋆ La rappresentazione fondamentale, che si indica con o con

2 × 2.

(mettendo in evidenza la sua dimensionalità) è la Per questa

dimensionalità è nota la relazione tra i generatori e le matrici di Pauli:

~

S = ~

σ /2. Lo spazio vettoriale su cui si agisce è dato dai due vettori base:

12

1 , ± i.

| 2 1

0 1

0 1

0

0 1 0 −ı 1 0

A

@ A

@ A

@

σ = σ = σ =

x y z

1 0 ı 0 0 −1

29 2 = 1)

Da notare la seguente relazione di anticommutazione (σ i

{σ , σ } = 2δ

i j i,j

Infine, combinando le regole di commutazione ed anticommutazione si

i 6 = j: σ σ = ı σ

può scrivere l’utile relazione valida per i j k

= 1,

⋆⋆Un solo operatore di Casimir (rango v. Teorema di Racah), dato

da 2

2

2 2 , con autovalori S(S + 1).

+ S

+ S

= S

S z

y

x

S

Il valore di permette di catalogare le rappresentazioni irriducibili.

SU(2)

La forma generica di un elemento del gruppo di è

h i

~ ~ ~

U( θ) = exp ı

θ · S

⋆⋆⋆Partendo dalla rappresentazione dei generatori si ottiene la 2 × 2

elementi del gruppo. Esempio: la rapp.

rappresentazione irr. degli

R z

per la rotazione, , di uno stato attorno all’asse

z X n

(ıβσ )

z

U [R (2β)] = exp [ıβσ ] = =

z z n!

n

X X

2n 2n+1

(ıβ) (ıβ)

2n 2n

= σ + σ σ =

z

z z

(2n)! (2n + 1)!

n n

X X

2n 2n+1

β β

n n

+ ı =

=I (−1) σ (−1)

z

(2n)! (2n + 1)!

n n

= I cosβ + ı σ sinβ

z

I 2 × 2.

con la matrice identità 30 h i

1

D

Per ottenere la rappresentazione coniugata si devono costruire i

2

−σ sono equivalenti ai generatori

generatori . Ma questi generatori

i

iniziali, poichè esiste una trasformazione di similitudine che li mette in

relazione. Infatti ∗ ∗ ∗

σ σ σ = −(σ ) σ σ σ = −(σ ) σ σ σ = −(σ )

y x y x y y y y y z y z

SU(3)

Quindi non si hanno rappresentazioni differenti. Per la situazione

D(g) 6 = D (g).

cambia (!) e 1 3)

La rappresentazione aggiunta (D indicata anche con dei generatori è

3 × 3

data dalle matrici ′

(T ) = −ıǫ ← costanti di struttura dell algebra

j kl jkl SO(3)).

(confrontare con la rappresentazione dei generatori di

Per costruire rappresentazione irr. di più alta dimensionalità, analizziamo il

prodotto diretto ⊗

2 2 4 × 4.

Si genera uno spazio vettoriale su cui agiranno matrici Lo

spazio si ottiene dal prodotto diretto dei vettori base, cioè

12 1 1

1 , ± i ⊗ | , ± i 4

| . Avremo le seguenti combinazioni:

1 2

2 2 2 1

0 1 1 1

1

11 , i| , i

ψ = | 2 2 2 2 C

B C

B 1 1 1 1

12

ψ = | , i| , − i C

B 2 2 2 2 C

B C

B 1 1 1 1

21

ψ = | , − i| , i A

@ 2 2 2 2

1 1 1

1

22 , − i| , − i

ψ = | 2 2 2 2

ij i j

ψ = χ χ j = 1, 2)

ovvero un tensore a due indici, (i,

31

Su questo spazio operano gli elementi del gruppo prodotto diretto

i h i

i h

h ~

~

~ = exp −ıβ̂ · S

⊗ exp −ıβ̂ · S

exp −ıβ̂ · S 2

1

~ ~ ~

S [ S , S ] = 0),

con dato da (grazie alla forma esponenziale e a 1 2

~ ~ ~

S = S + S

1 2

I vettori base si catalogano utilizzando i) gli autovalori della terza

~

S

di (dati dalla somma degli autovalori della terza

componente ~ ~ 2

S S l’autovalore dell’operatore di Casimir (S ).

componente di e ) e ii)

1 2 11 22

ψ ψ

Le componenti del tensore: e , corrispondono direttamente a

S = ±1 S = 1

e rispettivamente, e sono simmetriche rispetto allo

Z

scambio degli indici. 12 21

ψ ψ S = 0

Le componenti del tensore: e hanno entrambe mentre

Z

S

non hanno definito! Allora, possiamo costruire due opportune

combinazioni lineari, che corrispondono rispettivamente alla i)

S = 1 (m + m ) = 0, |1, 0i

simmetrica, e cioè e ii) a

combinazione 1 2

S = 0 m + m = 0, |0, 0i.

quella antisimmetrica, e cioè

1 2

8

8 ˜

ˆ

1 1 1 1 1 1 1 1

1

1 1 1

1 >

> , i| , − i + | , − i| , i

|

, i| , − i

| >

> <

< 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

⇒ >

> >

> ˜

ˆ

:

: 1 1 1 1 1 12 1 12 1 12

1

1 1

, − i| , i , i| , − i − | , − i| , i

|

| √

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 × 2,

Dal prodotto diretto dei vettori base delle rappresentazioni si ha

⊗ = ⊕

2 2 1 3

4 × 4

Quindi la rappresentazione riducibile si decompone in due rapp. irr.

1 × 1 3 × 3,

di dimensione e con i ben noti vettori base (singoletto e

È fondamentale notare che per ottenere questa decomposizione

tripletto). ij

ψ

abbiamo sfruttato le proprietà di permutazione degli indici del tensore .

Il metodo generale da utilizzare per ottenere i vettori base esplicitamente,

S

si basa sul gruppo delle permutazioni (proprietà della statistica!).

n

32

= =

x +

Metodo grafico per ottenere gli autovalori che individuano le

⊗ = ⊕

2 2 1 3:

rappresentazioni irriducibili del prodotto tensoriale il

2),

baricentro del secondo segmento (che rappresenta la seconda rapp. va

2).

sovrapposto sugli estremi del primo segmento (cioè la prima rapp.

0

L’autovalore è due volte degenere.

= =

x +

Metodo grafico per ottenere gli autovalori che individuano le

⊗ = ⊕

2 3 2 4.

rappresentazioni irriducibili del prodotto tensoriale

±1/2

Notare che gli autovalori sono due volte degeneri.

33

⋆ Quindi, se siamo interessati soltanto agli autovalori che individuano i

vettori base (→ i multipletti) delle rappresentazioni irriducibili di un

sottospazio di una data rappresentazione riducibile, si può generalizzare il

Metodo grafico precedente, che risulta essere nient’altro che la traduzione

grafica dell’azione degli operatori di innalzamento e di abbassamento :

S = S ± ıS ,

x y

± |S, S i,

Questi operatori fanno passare da un vettore, p.e. ad un altro,

3

|S, S ± 1i, che appartiene allo stesso multipletto, identificato dall’

3 2

S

autovalore dell’operatore di Casimir .

⋆⋆ Se invece siamo interessati alla forma esplicita degli stati delle

n > 2, estendere

rappresentazioni irriducibili di dimensionalità dobbiamo

2 ⊗ 2,

l’analisi fatta per il caso del prodotto dove abbiamo utilizzato le 2

S simmetrica e antisimmetrica, cioè gli autostati

rapp. irr. del gruppo ,

2

dell’operatore permutazione. Dobbiamo considerare gli indici del tensore

i i ...i i = 1, 2)

ψ (con e le rapp.

base della rappresentazione riducibile n

1 2 ℓ

n S . Questo si può fare in

irr. del gruppo delle permutazioni di oggetti, n

modo sistematico utilizzando un ulteriore Metodo grafico detto Metodo dei

Tableaux di Young. 34

Aggiungendo le proprietà di ortonormalizzazione degli stati di un dato

multipletto possiamo arrivare alla costruzione delle familiari tavole dei

coefficienti di Clebsch-Gordan che permettono di costruire gli stati di

ogni multipletto presente nella decomposizione del prodotto tensoriale in

esame S +S S

S S 1 2 D

D ⊗ D = ⊕

1 2 S=|S −S |

1 2

|S, M i, S

P.e., gli stati del multipletto individuato dall’autovalore

S

dell’operatore di Casimir, sono dati da

X

S hS m S m |SM i |S , m i|S , m i

D → |S, M i = S

S 1 1 2 2 1 1 2 2

m ,m

1 2

hS m S m |SM i

dove il simbolo indica i coefficienti di

S

1 1 2 2

Clebsch-Gordan.

Questa scrittura ci suggerisce l’immediata generalizzazione al caso di più

particelle con spin. Le rappresentazioni che appaiono in un prodotto

tensoriale possono considerarsi come appartenenti ciascuna allo spazio

invariante (con vettori base i vettori del corrispondente multipletto) di una

singola particella. Sistema di due fermioni

Lo spin totale si otterrà dal prodotto diretto di due rappresentazioni irr.

2, esattamente come prima. Ma se analizziamo come si trasforma il

1

vettore base della rappresentazione irr. sotto l’azione dello scambio di

posto dei due fermioni, si trova che lo stato base è antisimmetrico, mentre

3 simmetrici. Quindi

i tre vettori base della rappresentazione irr. sono ⊗

2 2

possiamo riscrivere la decomposizione del prodotto diretto

mettendo in evidenza le proprietà di permutazione dei vettori base.

⊗ = ⊕

2 2 1 3

A S

35

Sistema di tre fermioni

Per ricavare le rappresentazione irr. di più bassa dimensionalità, si dovrà

⊗ ⊗

2 2 2 S

decomporre il prodotto diretto ricorrendo alle rapp. irr. di 3

i, j, k = 1, 2

con in più il vincolo (caveat). Grazie alla proprietà

associativa possiamo sfruttare la decomposizione del caso di due fermioni.

Quindi si avranno due casi 8

< ⊗

2 1

A

⊗ [2 ⊗ =

2 2] : ⊗

2 3

S

2,

Il primo caso produce una rappresentazione ma con proprietà di

scambio di tre particelle diverso dal caso simmetrico o antisimmetrico: gli

misti-antisimmetrici. Sono antisimmetrici nello scambio

stati base sono {1, 2, 3} → {1, 3, 2}),

di due sole particelle (p.e. mentre se scambio tutte

{1, 2, 3} → {2, 3, 1})

e tre le particelle (p.e. non si ha una simmetria

definita. Simbolicamente ⊗ =

2 1 2

A M A 2 4.

Per il secondo caso si hanno due rappresentazioni irr. di dimensione e

misti-simmetrici mentre la seconda ha vettori

La prima ha vettori base

simmetrici nello scambio di tutte e tre le particelle.

base completamente

Simbolicamente ⊗ = ⊕

2 3 2 4

S M S S

SU(2)

È importante notare che nell’ambito di non è possibile costruire

ijk

ψ

stati di tre particelle completamente antisimmetrici (poichè in si ha

i, j, k = 1, 2, SU(3)

e il principio di Pauli), mentre nell’ambito di questo

∈ [1, 3].

è possibile poichè gli indici 36 SU(3)

Esempio:

SU(3)

Lo studio di è una generalizzazione di quanto abbiamo visto per

SU(2). Si passa da un’algebra di rango 1 ad un’algebra di rango 2, e

quindi avremo due generatori diagonalizzabili simultaneamente e due

operatori di Casimir. Inoltre avremo maggiore libertà nel costruire i

multipletti, poichè la rappresentazione coniugata non coincide con quella

fondamentale. Questa proprietà gioca un ruolo essenziale

SU(3)

nell’applicazione alla fisica adronica di (particelle/antiparticelle).

det = +1,

Per poter avere delle rappresentazione unitarie con come al

solito i generatori devono essere Hermitiani e a traccia nulla. L’algebra ha

2

8 = 3 − 1 2 = 3 − 1.

dimensione e rango Nella letteratura, gli 8

F i = 1, 8

SU(3)

generatori di sono indicati con con (F-spin). Le regole

i

di commutazione sono date da (si somma sugli indici ripetuti)

[F , F ] = ı f F

i j ijk k

f

Le costanti di struttura , come nel caso del tensore di Levi-Civita per

ijk f = −f = −f

SU(2) sono totalmente antisimmetriche, cioè . I

ijk jik ikj

valori espliciti per le componenti indipendenti e non nulle, sono 9

f

ijk ijk

123 1

147 1/2

156 -1/2

246 1/2

257 1/2

345 1/2

367 -1/2

√ 3/2

458 √ 3/2

678 37

SU(3)

Per abbiamo 56 (=8!/3! 5!) identità di Jacobi, poichè abbiamo 8

SU(2),

generatori e ne dobbiamo scegliere 3 diversi alla volta (per

abbiamo 3 generatori ed una sola identità di Jacobi). In generale si ha

[[F , F ] , F ] + [[F , F ] , F ] + [[F , F ] , F ] = 0

i j j i i j

k k k

3 × 3 3.

La rappresentazione fondamentale è la e si indica con In questa

λ

F delle matrici di Gell-Mann, :

rapp. i generatori sono dati in termini i

i

F = λ /2.

i i 1

0

1

0 0 −ı 0

0 1 0 C

B

C

B C

B

C

B λ =

λ = ı 0 0

1 0 0 2

1 A

@

A

@ 0 0 0

0 0 0 1

0

1

0 0 0 1

1 0 0 C

B

C

B C

B

C

B λ =

λ = 0 0 0

0 −1 0 4

3 A

@

A

@ 1 0 0

0 0 0 1

0

1

0 0 0 0

0 0 −ı C

B

C

B C

B

C

B λ =

λ = 0 0 1

0 0 0 6

5 A

@

A

@ 0 1 0

ı 0 0

1

0 1

0

0 0 0 1 0 0

C

B C

B

1

C

B C

B

λ =

λ = 0 0 −ı 0 1 0

8

7 A

@ A

@

3

0 ı 0 0 0 −2

38

T rλ = 0

i T rλ λ = 2δ

Normalizzazione : i k i,k

Le regole di anticommutazione sono date da

4

{λ , λ } = δ I + 2 d λ

i j i,j ijk k

3

d è totalmente

Il tensore simmetrico con 16 componenti indipendenti

ijk d d

ijk ijk

ijk ijk

√ 3

118 1/ 355 1/2

146 1/2 366 -1/2

157 1/2 377 -1/2

√ √

3 3

228 1/ 448 -1/2 √ 3

247 -1/2 558 -1/2 √ 3

256 1/2 668 -1/2

√ √

3 3

338 1/ 778 -1/2

√ 3

344 1/2 888 -1/

• f

Da un rapido controllo della tabellina delle costanti di struttura, ,

ijk

si ottiene che [F , F ] = 0

3 8

F F

Quindi e sono due candidati per la diagonalizzazione, come

3 8 3 × 3.

verificato direttamente nella forma esplicita

• i = 1, 2, 3

Per 1

0 σ 0

i A

@

λ =

i 0 0

SU(3) SU(2),

che formano un sottogruppo di con l’algebra di

{λ , λ } {λ , λ },

SU(2):

(altri due sottogruppi con l’algebra di e

4 5 6 7

{λ , λ })

con l’opportuno terzo elemento combinazione di 3 8

39

⋆Il generico elemento del gruppo si scrive " #

X

U(φ , φ , ..., φ ) = exp ı φ F

i i

1 2 8 i SU(3)

⋆⋆Nelle applicazioni di fisica adronica, dove si utilizza di Sapore

per catalogare le masse dei barioni e dei mesoni (raccogliendole

(Flavour),

in multipletti...approssimati...), i generatori diagonali sono interpretati

come terza componente dell’isospin e come ipercarica

2 F

T = F Y = S + B = √ 8

3 3 3 √

T = λ /2 Y = λ / 3)

3,

(Nella utilizzando le matrici di Gell-Mann, e

3 3 8

SU(3)

⋆⋆⋆ Il rango di è due e avremo due operatori di Casimir, p.e.

X

2 2

C = = F =

F

1 i

i=1,8

3 2

2 Y + T T + V V + U U

+ 2T +

= T − − −

+ + +

3

3 4

T = F ± ıF = ±1 ∆y = 0), V = F ± ıF

dove (∆t e

± ±

1 2 3 4 5

= ±1/2 ∆y = ±1) U = F ± ıF = ∓1/2

(∆t e e (∆t e

±

3 6 7 3

∆y = ±1) X

C = d F F F

i j

2 ijk k

i,j,k C C

O possiamo utilizzare combinazioni di e .

1 2

40

C

Esempio: il valore di aspettazione di per lo stato con più alti autovalori

1

T Y |ψi

di e , , in un multipletto (cioè quello che è annichilato dai tre

3 hi

T V U

operatori , e ) è dato in termini dei generatori diagonali

+ + 3 2

2 2 hψ|Y |ψi

|ψi + 2hψ|T |ψi +

hF i = hψ|T 3 hi

hi hi

hi 3 4

C C

⋆ Gli autovalori di e identificano una data Rapp. Irriducibile, cioè

1 2

un dato multipletto T

⋆ ⋆ Gli stati in un multipletto sono individuati dagli autovalori di e

3

Y |C , C ; T , Y i.

: 1 2 3

SU(3) SU(2)

Nell’algebra di c’è una subalgebra di (v. le

rappresentazioni esplicite della matrici di Gell-Mann), allora può essere

(T + 1)),

utile aggiungere anche l’autovalore dell’isospin (T poichè

SU(3) di sapore è una simmetria con un grado di approssimazione

maggiore di quella di isospin. Quindi, tal punto di vista pratico è bene

SU(3)

sottolineare l’appartenenza di stati di multipletto di a multipletti

SU(3). Anticipando la struttura dei multipletti....

anche di 41

3,

La rapp. fondamentale, la ha tre vettori base, identificati da una coppia

{t , y} {T , Y }

di autovalori degli operatori diagonali

3 3

1

0 1 1

0 0

1 0 0

C

B C C

B B

1 1 2

1 1

C

B C C

B B

→ ( → (− → (0, −

, ); , ); )

0 1 0

A

@ A A

@ @

2 3 2 3 3

0 0 1

T V U (1/2, 1/3),

. Lo stato che è annichilato da , e è con valor

+ +

2

hF i = 4/3.

medio Anche per gli altri due stati del multipletto il valor

hi

2 2

hF i 4/3 è un Casimr !!), ma se utilizziamo questi stati,

medio di è (F T V U

allora nel calcolo si deve tener conto dell’azione di , e . Gli

+ +

T V U

operatori di abbassamento , e fanno passare dallo stato con

− − +

(1/2, 1/3)

autovalori agli altri due stati.

SU(2)

Differentemente da dove un solo autovalore distingue gli stati di

un dato multipletto (basta una retta per ordinare gli autovalori del

SU(3)

multipletto) per abbiamo bisogno di un piano. In particolare se

T Y

riportiamo sulle ascisse gli autovalori di e sulle ordinate quelli di ,

3

3

per la rappresentazione si ottiene un triangolo isoscele.

Y

2/3

1/3 T 3

-1 -1/2 1/2 1

-1/3

Rappresentazione grafica (bidimensionale) delle coppie di numeri quantici

(ipercarica, terza componente dell’isospin) che individuano i vettori base

SU(3), 3

della rapp. fondamentale di la

42

Le rappresentazioni coniugate sono quelle dei generatori

∗ T

(−F ) = (−F ) e i vettori base sono individuati dagli autovalori degli

i i

−T −Y Y Il

operatori e (T e sono hermitiani e diagonali, quindi reali).

3 3

tripletto di vettori base della rappresentazione coniugata a quella

3̄,

fondamentale si indica con ed ha i seguenti autovalori (notare anche

l’effetto della trasposizione dei generatori, che si manifesta nei vettori,

ovvero non si cambia solo il segno degli autovalori).

0 0

1 1

0 1 0 0

1 B B

C C

B C 1 1

1 1

2 B B

C C

B C ); , − ); , − )

→ ( → (−

→ (0, 1 0

0 @ @

A A

@ A 3 2 3 2 3

0 1

0 3

Le coppie di autovalori di individuano in un piano cartesiano i vertici di

un triangolo isoscele con orientazione opposta a quella relativa al triangolo

3. 3̄ 3. SU(2), 2̄ 2

di Quindi la è distinta dalla Nel caso di e coincidono.

Y

1/3 T 3

-1 -1/2 1/2 1

-1/3

-2/3 3̄

Rappresentazione grafica (bidimensionale) per il tripletto (antitripletto),

3.

coniugato al fondamentale 8,

⋆ La rappresentazione aggiunta è la rappresentazione cioè quella data

[F ] = f

da i jk ijk 43

I multipletti di dimensionalità superiore si ottengono decomponendo il

tensore base del prodotto diretto, che in generale sarà il prodotto diretto di

3 3̄. 2 2 SU(2))

” p” rapp. e ”q” rapp. (v. anche il caso esplicito di

{t , y}

⋆ Per ottenere gli autovalori che individuano i vettori base di un

3

dato multipletto si ricorre alla generalizzazione al piano del metodo grafico

SU(2).

introdotto per Il metodo era basato sull’azione della coppia di

S SU(3),

operatori di innalzamento ed abbassamento . Per abbiamo 3

±

T V U

insiemi di operatori, , e .

± ± ±

⋆ ⋆ Metodo grafico per ottenere gli autovalori che individuano le

⊗ = +

3 3̄ 1 8:

rappresentazioni irriducibili del prodotto tensoriale il

3̄,

baricentro del triangolo che rappresenta la rapp. va sovrapposto sui 3

3.

vertici del triangolo, che rappresenta la rapp.

Y

1

2/3 =

T 3

-1 -1/2 1/2 1

-1/3

-1

Y Y

1 1

2/3 2/3

+ T

T 3

3 -1 -1/2 1/2 1

-1 -1/2 1/2 1 -1/3

-1/3 -1

-1

T = 0 Y = 0 (0, 0)

8;

N.B. e è degenere 2 volte in uno completa il

3

tripletto di isospin , l’altro valore individua uno stato di singoletto di

2

⊃ ⇒ |F , C ; T, T , Y i).

SU(2),

isospin (SU(3) quindi 2 3

44

⋆ ⋆ Metodo grafico per ottenere gli autovalori che individuano le

⊗ = +

3 3 6 3̄:

rappresentazioni irriducibili del prodotto tensoriale il

3,

baricentro del triangolo che rappresenta la rapp. va sovrapposto sui 3

3.

vertici del triangolo, che rappresenta la rapp.

Y

1

2/3 T =

3

-1 -1/2 1/2 1

-1/3

-1

Y Y

1 1

2/3 2/3

T + T

3 3

-1 -1/2 1/2 1 -1 -1/2 1/2 1

-1/3 -1/3

-1 -1

T = 0 Y = 2/3 T = ±1/2 Y = −1/3

N.B. e e e sono degeneri 2

3 3

volte. 45

⋆⋆ Per l’espressione esplicita dei vettori base delle rapp. irr. di

n > 3

dimensionalità si ricorrerà anche questa volta alle proprietà di

permutazione degli indici del tensore base della rappresentazione

i i i ...i

p

1 2 3

ψ 3

, composto da p autostati di (indici in alto) e q

riducibile: j j j ...j

q

1 2 3

autostati di (indici in basso). Utilizzeremo sempre il metodo grafico dei

S

Tableaux di Young, basato sulle proprietà di . Infine, considerando le

n SU(3).

proprietà di ortonormalità si ottengono i Clebsch-Gordan per

Alcuni esempi. Se ho il prodotto di due rappresentazioni dovrò ricorrere

S

alle rapp. irr. del gruppo 2

⊗ = + ⊗ = +

3 3 6 3̄ 3̄ 3̄ 3 6̄

⋆ S A A A A

La dimensionalità delle rapp. è legata al fatto che questa volta

i i i ...i = 1, 2, 3. 3̄ 3̄

Da notare che è antisimmetrica, cioè , poichè

n A

1 2 3

le proprietà di trasformazioni degli stati dell’antitripletto, sotto l’azione dei

generatori del gruppo, sono le stesse di uno stato antisimmetrico per lo

j k

( = ǫ ψ ψ

3̄)

due indici (ψ )

scambio di i ijk

Per i mesoni ⊗ = +

3 3̄ 1 8

⋆ A A M A

S

avendo usato le rapp. irr. di , come indica la presenza dello stato a

3 1

simmetria mista. Notare che lo stato base del singoletto, , è

A

tre indici degli stati che provengono uno dal

antisimmetrico rispetto ai i j k

= ǫ ψ ψ ψ

tripletto e due dall’antitripletto (ψ(1) ), mentre per gli

ijk

8

otto stati solo due indici hanno la proprietà di essere antisimmetrici.

M A

Inoltre ⊗ = +

3 6 8 10

⋆ S M S S

Per i barioni

⊗ ⊗ = [ + ] ⊗ = + + +

3 3 3 3̄ 6 3 1 8 8 10

A S A M A M S S

46

Il problema matematico è stato schematizzato, ora inizia il problema fisico:

nell’insieme degli adroni osservati, possiamo individuare una struttura di

SU(3)

multipletti come quella data da di sapore, che ci segnalerebbe una

simmetria dell’Hamiltoniana forte? SU(3)

Se l’Hamiltoniana forte avesse la simmetria per di sapore, gli stati

di un dato multipletto avrebbero la stessa massa e gli stessi autovalori dei

T Y

due operatori di Casimir, ma sarebbero distinti da e di . Questo

3

insieme di valori corrispondono a qualche adrone osservato

sperimentalmente? Si ha una esatta degenerazione del multipletto o

soltanto approssimata? Come ispirazione, ricordiamo l’analogia con il

doppietto di isospin, suggerito dalle masse quasi uguali del protone e del

neutrone. Ovviamente, per completare l’insieme dei numeri quantici,

bisogna tener conto anche del momento angolare totale

(3) ⊗ →

SU(2) SU(6))

(SU e della parità.

F

L’analisi qui accennata, ha portato negli anni ’60 a catalogare gli adroni

SU(3).

per mezzo dei multipletti di Questa simmetria approssimata

∼ m 6 = m

(m ) degli adroni, che si manifesta in masse quasi uguali

u s

d

per gli adroni assegnati ad uno stesso multipletto, viene indicata come

SU(3) SU(3)

di Sapore. Dal punto di vista fenomenologico di Sapore ha

avuto un notevole successo nella fisica adronica, con l’identificazione di

multipletti di dimensionalità 8 e 10; inoltre la ricerca di stati mesonici e

barionici appartenenti a ulteriori multipletti è molto attiva.

Il passo successivo è stata la scoperta del gruppo di simmetria esatto

= m = m per ogni sapore) delle interazioni forti che si indica con

(m

r g

b

SU(3) di Colore. 47


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AUTORE

Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in fisica
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica Nucleare e Subnucleare II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Salmè Giovanni.

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