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- BRF)

Funzioni di risposta ottima (best reply

La seconda definizione, basata sull’idea di consente di

risposta ottima,

trovare un NE in un modo generalmente semplice

Considerate un gioco con 2 giocator1: A e B

Î Î

2 strategie per ogni gicoatore: G A (a , a ) G B (b , b )

1 2 1 2

è un Nash, allora

Se la combinazione di strategie b Equilibrium di

(a , )

1 2

a è la A quando B sceglie b

risposta ottima di

1 2

è la quando sceglie

b B A a

risposta ottima di

2 1

Quindi, per trovare un NE: A)

)

p ottima di A ad ogni

g scelta di B (

(BRF di

• trovare la risposta

trovare la risposta ottima di ad ogni scelta di BRF di

• B A ( B)

• trovare ogni combinazione di strategie che si trova fra le risposte ottime

di ogni giocatore (“intersezione delle BRF dei due giocatori”)

Alberto Iozzi Economia dell'industria - Teoria dei 25

giochi

Nash

Equilibrio di – un esempio

G2 BRF di G1

C

L R Î

Se G2 sceglie L T

1 2 1 sceglie Î

T Se G2 C

2 2 0 T sceglie Î

Se G2 R B

1

1 2

G1 M BRF di G2

1

1 1 sceglie Î

T C

Se G1

2 0 1

B Se sceglie C

Î

G1 M

0 0 2 Se sceglie L

Î

G1 B

Solo la coppia di strategie (T, C) si trova fra le BR di tutti e due i giocatori

(T, C) è l’unica dove troviamo un circoletto rosso blu

cella e

Nash di questo gioco

(T, C) è l’unico Equilibrium di .

Alberto Iozzi Economia dell'industria - Teoria dei 26

giochi 13

Nash

Possibile molteplicità degli Equilibri di

risolve (quasi) tutti i giochi, ma la soluzione non è sempre unica.

NE

Esempio: il seguente coordination game Giocatori devono

G 2 (

(separatamente)

p ) rispondere

p Yes

o No alla stessa domanda

Yes No Ambedue preferiscono se la

2 0

Yes risposta è uguale (coordination)

1 0

G 1 Ma

0 1

No (No, No)

G1 preferisce

0 2 preferisce (Yes, Yes)

G2

Soluzione del gioco:

(Yes, Yes) e (No, No) sono NE

Alberto Iozzi Economia dell'industria - Teoria dei 27

giochi

Giochi sequenziali

In alcuni giochi, le scelte dei giocatori vengono fatte in maniera

sequenziale e non contemporanea

In questo caso: • giocatori scelgono in sequenza

• il giocatore che sceglie dopo può basare la sua scelta

sull’azione che il rivale ha scelto in precedenza

Esempio

In un mercato monopolistico opera un impresa I (in inglese, Incumbent)

e un potenziale Entrante (E)

E sceglie per primo: 2 possibili scelte: entrare (e); non entrare (ne)

I sceglie per secondo: Se E entra, I può reagire (r) o non reagire (nr).

Se E non entra, il gioco è finito.

Alberto Iozzi Economia dell'industria - Teoria dei 28

giochi 14

Giochi sequenziali in forma strategica.

Gioco d’entrata E

e ne

I E

Π = 0

r nr I = 50

Π Nodi (cerchi)

E

Π = 10

E

Π = -10 I

Π = 20

I

Π = -10 Struttura sequenziale

Strategie

Payoffs

Alberto Iozzi Economia dell'industria - Teoria dei 29

giochi

Gioco sequenziale rappresntato in forma normale e NE

Rappresentiamo il gioco precedente in forma normale

I BRF E

di

r(e)

( ) Î

r(e)

( ) S

Se I sceglie

li ne

nr(e)

( ) Se I sceglie nr(e) Î e

-10 20

e BRF I

of

-10 10

E Se sceglie nr(e)

Î

E e

50 50 Se sceglie nr(e) o r(e)

ne Î

E ne

0 0 e, nr(e) ne, r(e)

( ) ( )

Nash

2 Equilibri di : 10, 20) 0, 50)

( (

(ne, r(e)) non è ragionevole

Ma l’equilibrio .

I r

E’ causato dalla di di eagire se E entra

minaccia non credibile

Alberto Iozzi Economia dell'industria - Teoria dei 30

giochi 15

Nei giochi sequenziali, usare il concetto di NE senza ulteriori

requisiti può portare a equilibri non ragionevoli.

La nozione di equilibrio da utilizzare è quella di equilibrio

( SPE)

perfetto nei sottogiochi Subgame Perfect Equilibrium -

Cosa vuole “perfezione nei sottogiochi” ?

Per eliminare questi equilibri non ragionevoli, è necessario che ogni

giocatore scelga strategie ottime in ogni sottogioco.

Per ottenere questo si usa l’Induzione all’indietro (Backward induction)

Î Si comincia a risolvere il gioco dagli ultimi nodi (sottogiochi).

Î Si trovano le scelte ottime negli ultimi nodi, data la storia precedente del

gioco che ha condotto al quel nodo.

nodo

Î Quindi, si procede a ritroso ai nodi precedenti, e si trovano le scelte

ottime dei giocatori che hanno scelto in precedenza, prendendo in

considerazione le scelte ottimali che verranno fatte nei nodi successivi. E

così via, fino al primo nodo….

Alberto Iozzi Economia dell'industria - Teoria dei 31

giochi Î SPE

Gioco sequenziale – backward induction

E Iniziare dall’ultimo nodo

e ne Se E entra, I sceglie a

(payoff

(p y invece di -10)

)

20

I E

Π = 0

nr

r nr I

Π = 50 Indietro fino al primo nodo

E

Π = 10

E

Π = -10 a in

Visto che I sceglierà

I = 20

Π

I = -10

Π caso di entrata,

E sceglie e

(payoff invece di 0)

10

Backward induction

Î elimina le minacce non credibili e, nr(e)

Î Î )

seleziona solo i NE ragionevoli, cioè SPE (

Alberto Iozzi Economia dell'industria - Teoria dei 32

giochi 16

Giocatore 1

L R Giocatore 2

L’

Π =2

1 R’

=0

Π

2 Giocatore 1

Π =1

1 L’’

=1

Π

2 R’’

Π =3 Π =0

1 1

=0 =2

Π Π

2 2

Alberto Iozzi Economia dell'industria - Teoria dei 33

giochi

Il ruolo della credibilità (ne, r(e)) non è ragionevole

Nel gioco precedente, l’equilibrio , in quanto

la reazione non è credibile se E sceglie di entrare

Tuttavia, I preferirebbe questo risultato:

e,

e nr(e)

( ) ne,

ne r(e)

( )

10, 20)

( 0, 50)

(

E’ possibile per I indurre questo equilibrio (cioè, indurre il mio rivale a

non entrare nel mercato) ???

I E r

Intuitivamente, deve trovare il modo di convincere che eagirà in caso

e ntrata

di r

P

Per essere credibile,

dibil I deve

d fare

f in

i modo

d di rendere

d la

l scelta

lt ottimale

tti l

E e ntra nel mercato

quando r quando E entra nel mercato

Autopunizione osservabile se sceglie

Î

e.g. contratto con una parte terza pagamento di una penalità pari a 40

se sceglie nr quando E entra nel mercato

.

Alberto Iozzi Economia dell'industria - Teoria dei 34

giochi 17

I

Gioco con vincoli autoimposti per

Aggiungiamo al gioco uno stadio preliminare in cui I sceglie se firmare

c

un ontratto che prevede il pagamento di una penalità pari a 40 se scegli

nr quando E entra nel mercato I

b

c nc

I I

Π = 50 Π = 20

E E

ne ne

e e

I I

E E

Π = 0 Π = 0

I I

Π = 50 Π = 50

r a

r a

E E

Π = -10 Π = -10

E E

Π = 10 Π = 10

I I

= -10 = -10

Π Π

I I

= = 20

Π Π

-20

Alberto Iozzi Economia dell'industria - Teoria dei 35

giochi

Riassumendo

Quando i giocatori muovono in sequenza:

• un equilibrio non può basarsi su minacce non credibili Î SPE

• per trovare un equilibrio perfetto nei sottogiochi,bisogna risolvere il

gioco all’indietro

• possono avere un significante valore strategico

vincoli credibili

(aumentare il payoff d’equlibrio)

Alberto Iozzi Economia dell'industria - Teoria dei 36

giochi 18

Altri giochi sequenziali

In alcuni (o tutti) nodi, invece di un solo giocatore che fa la sua scelta

possiamo avere un vero sottogioco giocato da più giocatori (ad es. un

gioco con scelte simultanee)

Esempio: 2 imprese

in primo luogo, le 2 imprese scelgono simultaneamente la loro

capacità produttiva

in secondo luogo, dopo la scelta delle capacità, scelgono

simultaneamente il loro prezzo

Alberto Iozzi Economia dell'industria - Teoria dei 37

giochi

Anche in questi giochi, si usa la backward induction per

Î SPE

arrivare ad un equiibrio perfetto nei sottogiochi

Ma la procedura è più complicata…

Nel nostro esempio (prima capacità, poi prezzi):

(

(sottogioco

tt i di scelta

lt dei

d i prezzi).

i)

I

Iniziamo

i i dal

d l secondo

d stadio

t di del

d l gioco

i

Troviamo il NE , che saranno validi per ogni valore delle capacità

nei prezzi

I prezzi e i payoff d’equilibrio di questo sottogioco saranno funzione della

Î

capacità produttive questi payoff saranno le funzioni di payoff per il gioco

del primo stadio usando la funzioni del payoff trovate in

Risolviamo il primo stadio

Î

precedenza NE nella capcità produttive.

Usiamo le capacità produttive d’equilibrio per trovare i valori specifici dei

prezzi d’equilibrio nello secondo stadio

Alberto Iozzi Economia dell'industria - Teoria dei 38

giochi 19

Giochi ripetuti

Gioco “costitutivo”:

mosse simultanee/sequenziali

In questo corso, attenzione rivolta solo a giochi con perfetta

informazione (es: dilemma dei prigionieri)

Ripetuto n volte (es.: 2 volte)

Necessità di redifinizione del concetto di strategia:

una sequenza di decisioni,

decisioni una per ogni stadio del gioco,

gioco anche

dipendente da quanto avvenuto nel passato

Alberto Iozzi Economia dell'industria - Teoria dei 39

giochi

Equilibrio nei giochi ripetuti

• Un possibile equilibrio banale:

– sequenza di equilibri uguali a quello del gioco “costitutivo”

costitutivo

• Quando? Ad esempio, quando i giocatori adottano un strategia

che li fa scegliere in ogni periodo la cosa migliore per quel

periodo.

• Strategie più complesse possono dare luogo a equilibri diversi ?

• In altre parole, i giocatori possono usare le ripetizioni future del

gioco

i per “minacciare”

“ i i ” o “convincere”

“ i ” il rivale

i l a fare

f scelte

l a

loro più favorevoli??

Alberto Iozzi Economia dell'industria - Teoria dei 40

giochi 20

Dilemma del prigioniero

ripetuto un numero finito di volte (I)

• Posso convincere il mio rivale a “non confessare” oggi

“minacciando”

i i d di punirlo

i l domani

d i “confessando”?

d

• Per capirlo, proviamo ad osservare cosa accade nell’ultimo stadio e

ragionare “all’indietro”

• Nell’ultima ripetizione del gioco prevarrà sempre l’equilibrio del

gioco statico Prigioniero 2

Confessa Non confessa

10, 10 0, 15

Confessa

Prigioniero 1 Non confessa 15, 0 2, 2

Alberto Iozzi Economia dell'industria - Teoria dei 41

giochi

Dilemma dei prigionieri

ripetuto un numero finito di volte (II)

• Cosa posso fare allo stadio n-1 per migliorare tale

risultato?

• Questo risultato è indipendente da quanto è avvenuto in

precedenza: conta solo il futuro

… nulla

• Nel dilemma del prigioniero non esistono equilibri diversi

da una sequenza di equilibri di Nash del gioco costitutivo

O VO: non

o è poss

possibile

b e pu

punire

e minacciando

acc a do d

di sceg

scegliere

ee

• MOTIVO:

una strategia non d’equilibrio nell’ultimo stadio

• Diverso sarebbe se potessi minacciare di “punire” il mio

rivale nell’ultimo stadio con una strategia che sia parte di

un equilibrio di Nash

Alberto Iozzi Economia dell'industria - Teoria dei 42

giochi 21


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questa lezione viene esposta la teoria dei giochi. Si da una definizione e una rappresentazione di giochi simultanei, sequenziali, ripetuti (in forma normale attraverso la matrice dei payoffs oppure in forma strategica attraverso l'albero decisionale), e viene eSposto inoltre il modo di ragionarci sopra, attraverso:
- l'equilibrio in strategie dominanti (vedi dilemma del prigioniero);
- l'eliminazione ripetuta di strategie dominate;
- l'equilibrio di Nash;
- l'induzione all'indietro.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in economia e management
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Economia dell'Industria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Tor Vergata - Uniroma2 o del prof Iozzi Alberto.

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