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5

4

3

x2 2

1

0 1 2 3 4 5

x1

dx a

2

SM S ≡ =

dx b

1

u(x , x ) = ax . Le rette d’indifferenza sono rette verticali.

5. x neutrale:

2 1 2 1 0 00

6. (Per ora non fare) u(x , x ) = v(x ) + x , dove v (.) ≥ 0, v (.) ≤ 0.

Quasi-lineare: 1 2 1 2

, x ) = x + x

Esempio: u(x

1 2 1 2

Curva d’indifferenza √

x + x = u

1 2

Per disegnarla √

= u − x

x

2 1

Disegno per u = 2, 3, 4. √

= 1 − x

x

2 1

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5

Differenziale totale: dx

2

0 0

v (x )dx + dx = 0 ⇒ = −v (x )

1 1 2 1

dx

1

7. u(x , x ) = paraboloide. Le curve d’indifferenza sono curve con-

Funzioni con sazietà: 1 2

centriche. 9

3 Scelta ottima e derivazione della funzione di domanda

Il problema del consumatore e’ , x )

max U (x

1 2

x + p x ≤ m

t.c. p

1 1 2 2

Due metodi di soluzione: (1.) metodo autentico: massimo vincolato; (2) metodo semplificato.

3.1 Soluzione di un ottimo vincolato

Si scrive la funzione ”lagrangiana” o ”lagrangiano”, in cui alla funzione obiettivo, rappresentata

dalla funzione di utilità, viene sottratto il ”costo” di oltrepassare il vincolo, ponderato dal

coefficiente λ detto ”moltiplicatore lagrangiano”. Attenzione, qualora si usasse la diseguaglianza

è importante il segno del vincolo.

, x , λ) = u(x , x ) − λ (p x + p x − m)

L(x

1 2 1 2 1 1 2 2 per = 1, ..., n,

Si deriva la funzione lagrangiana rispetto a tutte le incognite, in questo caso le x

i

dove n è il numero dei beni e il moltiplicatore lagrangiano λ, mentre i parametri del problema

sono i prezzi e il reddito monetario o le dotazioni.

Condizioni del I ordine , x )

∂u(x

∂L 1 2

: − λp = 0 (2)

1

∂x ∂x

1 1

, x )

∂L ∂u(x

1 2

: − λp = 0 (3)

1

∂x ∂x

2 2

∂L : − (p x + p x − m) = 0 (4)

1 1 2 2

∂λ

Notare che le derivate parziali della funzione di utilità sono le solite utilità marginali.

Per risolvere il caso a due dimensioni, si mettono a rapporto le equazioni (2) e (3) , da cui si

ottiene U M p

1 1

= (5)

U M p

2 2

e la (4) non è altro che il vincolo.

L’eq. (5) può essere riscritta come

osservazione 1 U M p p

1 1 1

− = − ovvero SM S = −

U M p p

2 2 2

Il problema si riduce ad un sistema di due equazioni

p

1

SM S = − p

2

p x + p x = m

1 1 2 2

e x . La prima equazione rappresenta il punto di tangenza fra la curva

in due incognite x

1 2

d’indifferenza e il vincolo di bilancio. (Ma di queste equazioni ne abbiamo infinite al variare

10

del reddito m.). Vogliamo quindi che la condizione di tangenza verifichi il vincolo di bilancio al

livello di reddito m dato. Il sistema e’ dunque in grado di risolvere le due incognite.

Procedendo per sostituzione si ottengono le soluzioni in funzione dei parametri

(p , p , m)

x

1 1 2

(p , p , m)

x

2 1 2

Risostituendo x nella (2) si può calcolare λ.

1

Esempio: F. di utilita’ Cobb-Douglas.

Sia il problema del consumatore 1−α

α

, x ) = x x

max U (x

1 2 1 2

t.c. p x + p x = m

1 1 2 2

Calcoliamo il logaritmo della funzione di utilità

, x ) = α ln x + (1 − α) ln x

ln U (x

1 2 1 2

Il lagrangiano diveta L = α ln x + (1 − α) ln x − λ (p x + p x − m)

1 2 1 1 2 2

∂L α

: − λp = 0

1

∂x x

1 1

∂L 1 − α

: − λp = 0

2

∂x x

2 2

∂L : − (p x + p x − m) = 0

1 1 2 2

∂λ

Mettendo a rapporto la prima e la seconda condizione, otteniamo

x p

α 2 1

=

1 − α x1 p

2

che non è altri che la condizione di tangenza: x

α 2

SM S ≡ − 1 − α x

1

Siano i parametri (o dati) del problema: α = 1/4, p = 1, p = 2, m = 8 e Il sistema e’

1 2

x p

α 2 1

= −

− 1 − α x p

1 2

p x + p x = m

1 1 2 2

Dalla prima ricavo 1 − α

p

1 x

x =

2 1

p α

2

11

e la inserisco nel vincolo di bilancio, ottenendo

∙ ¸

1 − α

p

1 x = m

x + p

p

1 1 2 1

p α

2

Da cui £ ¤

1−α

x

p 1 + = m

1 1 £ ¤

α

α+1−α = m

x

p

1 1 α

da cui m

x = α (6)

1 p

1

sostituendo questo in x sopra

2 m

∗ = (1 − α)

x

2 p

2

Osservazione: ogni funzione di domanda Cobb-Douglas dipende soltanto dal prezzo del

bene in questione.

Osservazione: ogni funzione di domanda Cobb-Douglas dipende soltanto dal prezzo del bene

in questione.

Sostituendo (6) nella prima derivata α − λp = 0

1

x

1

α − λp = 0

1

m

α p

1

da cui ∗

λ = 1/m

Per gli esempi relativi alle funzioni di domanda derivabili da altre funzioni di utilita’ si

vedano gli appunti in classe e il testo.

4 Esempi di funzioni di utilità e relative funzioni di domanda

β

α

1. u(x , x ) = x x .

Cobb-Douglas: 1 2 1 2

Costruiamo la trasformata logaritmica, piu’ semplice da utilizzare

ln u(x , x ) = α ln x + β ln x .

1 2 1 2

Sistema ½ p

x

α 1

= −

− 2

1−α x p

1 2

p x + p x = m

1 1 2 2

Funzioni di domanda ( m

x = α

1 p

1 m

x = (1 − α)

2 p

2

12

2. u(x , x ) = ax + bx .

Perfetti sostituti: 1 2 1 2

Sistema ½ p

ab 1

− = − p

2

p x + p x = m

1 1 2 2

Funzioni di domanda ⎧ /p

... se a/b < p

⎨ 1 2

∗ ... se a/b = p /p

x = 1 2

1 ⎩ ... se a/b > p /p

1 2

⎧ ... se a/b < p /p

⎨ 1 2

x = ... se a/b = p /p

1 2

2 ⎩ ... se a/b > p /p

1 2

Calcolatelo voi o recuperatelo dagli appunti di lezione o dagli esercizi dati!

, x ) = min {ax , bx }

3. u(x

Perfetti complementi: 1 2 1 2

Es. a = b = 1. Supponiamo di avere x = 1 scarpe destre e x = 2 scarpe sinistre. Dunque

1 2 < x , in

la nostra utilità dipenderà solo dal paio completo di scarpe. Dunque se x

1 2

. Ovvero x = x < x .

equilibrio il ”paio” di scarpe x dovrà essere pari al minore dei due x

i 1 2

Prendiamo la quantità che abbiamo minima, poiché rappresenta il massimo ”paio di scarpe

possibile” e la sostituiamo nel vicolo di bilancio

x + p x = m

p

1 1 2 1

x + p x = m

p

1 2

I due vincoli di bilancio sono equivalenti perché in realtà noi vogliamo sapere quanto ci

costa ”il paio” di scarpe, x. Dunque, la domanda per il ”paio” di scarpe sarà

m

x = p + p

1 2

Es. Coefficienti a e b diversi da 1. La combinazione sia a = 2 cucchiaini di caffè e b = 1

b

< bx . Allora x < x e

tazza di caffè. Si ripete il ragionamento. Supponiamo sia ax

1 2 1 2

a

b

= x . sostituisco nel vincolo di bilancio

dunque in equilibrio deve essere x

1 2

a

µ ¶

b

p x x = m

+ p

1 2 2 2

a ¶

µ b

p x + p x = m

1 2

a

e dunque la combinazione ”caffè con zucchero” costa

m

x = b

p + p

1 2

a

Es. Cosa succede se bx < ax ?

2 1 13

4. x : u(x , x ) = ax − bx

male

2 1 2 1 2

Sistema ½ p

a 1

= −

b p

2

p x + p x = m

1 1 2 2

Funzioni di domanda ⎧ /p

... se a/b < p

⎨ 1 2

∗ ... se a/b = p /p

x = 1 2

1 ⎩ ... se a/b > p /p

1 2

⎧ ... se a/b < p /p

⎨ 1 2

x = ... se a/b = p /p

1 2

2 ⎩ ... se a/b > p /p

1 2

5. x u(x , x ) = ax . Le rette d’indifferenza sono rette verticali.

neutrale:

2 1 2 1

la funzione di domanda è: m

x =

1 p

1

tutto il reddito è speso nel solo bene interessante.

6. Es. u(x , x ) = x + x .

Quasi-lineare: 1 2 1 2 1

SM S = − √

2 x

1

Sistema ( p

1 1

= −

− √ p

2 x 2

1

p x + p x = m

1 1 2 2

Funzioni di domanda ⎧ ³ ´

2

⎪ p

14

⎨ 2

x =

1 p

µ ¶

1

³ ´

2

⎪ p

1

⎩ 2

x = m − /p

2

2 4 p

1

7. u(x , x ) = paraboloide. Le curve d’indifferenza sono curve con-

Funzioni con sazietà: 1 2

centriche.

La domanda è come per la Cobb-Douglas per i panieri inferiori alla sazietà. Come immag-

inate che sia risolto il problema per panieri che diano utilità maggiore della sazietà?

14

5 Variazione della domanda al variare del reddito.

La variazione della domanda al variare del reddito si studia in due grafici: il primo disegnato

nel piano (x , x ), l’altro nel piano (x , m) per i = 1, 2.

1 2 i

, x ) , congiungendo i punti di scelta ottima al variare di m si ottiene il ”sentiero

Nel piano (x

1 2

di espansione del reddito” o ”curva reddito-consumo”.

, m) riportando gli stessi punti otteniamo una curva che si chiama ”curva di

Nel piano (x

i

Engel”.

Si vedano gli esempi sugli appunti di classe e su Varian cap.6.

Cosa e’ importante sapere?

Le funzioni di utilita’ e il tipo di beni sottostanti danno luogo a curve di Engel che possono

appartenere a tre distinti tipi:

1. Lineari. Ovvero al crescere del reddito, il consumo del bene mantiene la stessa proporzione

(qualsiasi essa sia).

• Quindi la curva di Engel e’ una retta con pendenza costante.

• I beni che danno luogo a questo tipo di comportamento sono detti beni normali.

• Le che danno luogo a questo tipo di comportamento sono dette

preferenze omotetiche.

2. Il consumo del bene aumenta meno che proporzionalmente al crescere del reddito. sulle

• Quindi la curva di Engel e’ una curva con pendenza crescente se abbiamo x

i

ascisse e m sulle ordinate.

• I beni che danno luogo a questo tipo di comportamento sono detti beni necessari

o di sussistenza.

• Le che danno luogo a questo tipo di comportamento sono dette

preferenze non

omotetiche.

3. Il consumo del bene aumenta più che proporzionalmente al crescere del reddito.

• Quindi la curva di Engel e’ una curva con pendenza decrescente se abbiamo x sulle

i

ascisse e m sulle ordinate.

• I beni che danno luogo a questo tipo di comportamento sono detti beni di lusso.

• Le che danno luogo a questo tipo di comportamento sono dette

preferenze non

omotetiche.

6 Variazione della domanda al variare dei prezzi.

La variazione della domanda al variare dei prezzi si studia in due grafici: il primo disegnato nel

, x ), l’altro nel piano (x , p ) per i = 1, 2.

piano (x

1 2 i i

Nel piano (x , x ) , congiungendo i punti di scelta ottima al variare di uno dei due prezzi si

1 2

ottiene la ”curva prezzo-consumo”.

, p ) riportando gli stessi punti otteniamo una curva che si chiama

Nel piano (x ”curva di

i i

domanda”.

Si vedano gli esempi sugli appunti di classe e su Varian cap.6.

Cosa puo’ succedere? 15


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto tratto dal corso di lezioni di Microeconomia, tenuto dalla professoressa Maria Augusta Miceli, analizza la Teoria del Consumatore. Nello specifico i temi sono: insieme di bilancio, preferenze e funzione di utilità, curve di indifferenza, saggio marginale di sostituzione, scelta ottima, funzione di domanda, Variazione della domanda al variare del reddito.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Microeconomia I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Miceli Maria Augusta.

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