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Lezione 15

Massimi e minimi

Esempio 2

(x) = −

Calcolare i punti stazionari della funzione f x 2 ln x.

(f ) = (0, +∞)

CE dove f risulta derivabile. La derivata è

2 −

2x 2

2 =

(x) = −

Df 2x .

x x

I punti stazionari sono

2 −

2x 2 = ⇐⇒ = ±1.

0 x

x = = −1 6∈ (f ).

Si accetta solamente x 1 in quanto x CE

Conseguenza: sicuramente non esiste o il massimo oppure il minimo

=

(e vedremo che x 1 è punto di minimo assoluto). dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 15 10 / 20

Lezione 15

Massimi e minimi 1 2

(x ) = −

Figure: Grafico della funzione f x 2 ln x dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 15 11 / 20

Lezione 15

Massimi e minimi −1?

Il ricavo è massimo quando l’elasticità della domanda è

Supponiamo che la domanda f risulti derivabile; allora il ricavo è

= (p)

R(p) pf e la sua derivata è

= (p) + (p).

DR(p) f pDf

I punti stazionari sono quelli che risolvono l’equazione

(p) + (p) = ⇐⇒ (p) = −f (p) ⇐⇒ (p) = −1.

f pDf 0 pDf E f

[0, ]: =

Solitamente il prezzo varia all’interno di un intervallo p per p 0

0

=

il ricavo è ovviamente nullo, per p p la domanda sarà nulla e quindi

0

anche il ricavo. Nei modelli elementari vi è un solo punto con elasticità

−1 e quindi. . . dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 15 12 / 20

Lezione 15

Massimi e minimi

Strategia per la determinare massimi e minimi

: [a, −→

Sia f b] continua; allora, per il Teorema di Weierstrass,

R

esistono massimi e minimi. I candidati punti di massimo e minimo

sono da ricercare:

tra i due estremi a e b dell’intervallo;

tra i punti in cui f non risulta derivabile; (x) =

tra i punti in cui f è derivabile e tali che Df 0. dsm

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Lezione 15

Massimi e minimi

Esempio 3

(x) = − +

Calcolare massimo e minimo di f x 9|x| 20 sull’intervallo

[−2, 2].

La funzione è continua e il dominio è chiuso e limitato (compatto) e

quindi, per il Teorema di Weierstrass, esistono massimi e minimi. I

candidati punti di massimo e di minimo sono

= −2 =

i due estremi x e x 2; =

i punti in cui f non è derivabile x 0;

i punti stazionari. dsm

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Lezione 15

Massimi e minimi

Poiché 3

+ + ∈ [−2,

x 9x 20 se x 0)

(x) =

f 3 − + ∈ [0,

x 9x 20 se x 2]

la derivata risulta 2

+ ∈ (−2,

3x 9 se x 0)

(x) =

Df 2 − ∈ (0,

3x 9 se x 2)

=

e l’unico punto stazionario è x 3. Poiché √

√ = − (2) =

(−2) = −6, (0) = ( 3) 20 6 3, f 10

f f 20, f

−6 = −2

segue che è il minimo e x il punto di minimo mentre 20 è il

=

massimo e x 0 il punto di massimo. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 15 15 / 20

Lezione 15

Massimi e minimi 20

10 1/2

20−6(3) 1/2

3

−6 3

(x ) = − | +

Figure: Grafico della funzione f x 9|x 20 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 15 16 / 20

Lezione 15

Teorema della media

Teorema (di Lagrange o del valor medio)

: [a, −→ (a,

Sia f b] continua e derivabile in b); allora esiste

R

∈ (a,

x b) tale che

0 (b) − (a)

f f

(x ) =

Df .

0 −

b a

Un’immediata conseguenza è il seguente risultato.

Corollario (di Rolle)

: [a, −→ (a, (a) = (b);

Sia f b] continua e derivabile in b) tale che f f

R

∈ (a, (x ) =

allora esiste x b) tale che Df 0.

0 0 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 15 17 / 20

Lezione 15

Teorema della media

Poiché

(b) − (a)

f f rappresenta il coefficiente angolare della retta

b a (a, (a)) (b, (b)),

passante per i punti f e f

(x )

Df rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al

0 (x (x )),

grafico nel punto f

,

0 0

allora il Teorema di Lagrange afferma che esiste un punto del grafico

per il quale la retta tangente è parallela alla retta congiungente

(a, (a)) (b, (b)).

f e f dsm

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AUTORE

Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Applicazione del calcolo differenziale: elasticità; determinazione dei punti stazionari e teorema di Fermat; calcolo di massimi e minimi; teorema di Rolle, teorema di Lagrange (o del valor medio); teorema di Cauchy; condizione necessaria per la costanza di una funzione.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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