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2 appendice 3. rotazioni

1 Tensori ortogonali T

Si consideri un tensore ortogonale Q : V → V . Essendo Q Q = I, si ha

T 2

det(Q Q) = (det Q) = det I = 1. (1)

Pertanto risulta | det Q| = 1. Un tensore ortogonale si dice rotazione se il determinante è 1.

Si supponga che esista un sottospazio invariante W rispetto a Q. Per tale sottospazio si ha

∀w ∈ W Qw ∈ W. (2)

In particolare W è un autospazio se esiste λ tale che

∀w ∈ W Qw = λw. (3)

Il sottospazio W costituito da tutti i vettori ortogonali ai vettori di W, detto complemento orto-

gonale di W, è anch’esso invariante. Infatti, essendo Q un isomorfismo e W invariante, comunque

si scelga un vettore w ∈ W esiste un vettore u ∈ W tale che Qu = w. Per ogni vettore w ∈ W e

ogni vettore v ∈ W risulta pertanto ⊥

w · Qv = Qu · Qv = u · v = 0 ⇒ Qv ∈ W . (4)

2 Rotazioni e simmetrie in uno spazio di dimensione 2

Sia Q un tensore ortogonale in uno spazio vettoriale V di dimensione 2 definito sul campo dei

reali. In tal caso un sottospazio invariante può solo avere dimensione 1 ed è pertanto definito dalla

condizione che esistano λ e w tali che Qw = λw. Questa condizione equivale alla seguente

(Q − λI)w = 0, (5)

che implica, affinché sia w 6 = o, det(Q − λI) = 0. (6)

In corrispondenza di un tale vettore w si ha

T 2

Qw · Qw = Q Qw · w = w · w ⇒ λw · λw = w · w ⇒ λ = 1. (7)

Indicando la matrice di Q, in una qualsiasi base ortonormale, con

µ ¶

a b

1 2 , (8)

b a

1 2

T

questa ha, essendo Q Q = I, le seguenti proprietà

21 21

a + b = 1, (9)

22 22

b + a = 1, (10)

(11)

a b + b a = 0,

1 2 1 2

mentre le radici dell’equazione caratteristica (6) sono date dall’espressione

p 2

(a + a ) ± (a + a ) − 4 det Q

1 2 1 2 . (12)

2

Per il polinomio caratteristico si possono avere pertanto i seguenti casi:

DISAT, Università dell’Aquila, 9 ottobre 2008 (1221) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

3

appendice 3. rotazioni −1 1 ±1

(a) (b) (c)

• Nel caso (a), in assenza di zeri del polinomio caratteristico, non esiste nessun sottospazio

invariante. Infatti risulta

¡ ¢

2 2

(a + a ) − 4 det Q < 0 ⇒ 0 < (a + a ) < 4 det Q ⇒ det Q = 1. (13)

1 2 1 2

Ne deriva, dalle proprietà della matrice di Q, che q 22

a = a , b = −b , a = ± 1 − b . (14)

1 2 1 2 2

Per questa ragione la matrice di Q può essere espressa nella forma

µ ¶

cos θ − sin θ . (15)

sin θ cos θ

Si può osservare che se Q fosse la composizione di una rotazione con un ‘ribaltamento’ attorno

a Qe la matrice di Q sarebbe, essendo Qe opposto al precedente,

1 2

µ ¶

cos θ sin θ . (16)

sin θ − cos θ

Questo caso è illustrato nella figura in basso in cui si vede come si possa tracciare un asse di

simmetria (linea tratteggiata) a cui corrisponde un autospazio con autovalore 1, mentre ad

una retta ortogonale all’asse di simmetria corrisponde un autospazio con autovalore −1.

Qe Qe

2 1

det Q = 1

e 2 e 2

e Qe

1 1

e 1

Qe

2

det Q = −1

In generale un ‘ribaltamento’ dà luogo ad un cambiamento di orientamento a cui corrisponde

due autovalori reali e distinti.

det Q = −1. Esistono allora, come si vede dall’espressione (4),

Si tratta dunque del caso (b).

DISAT, Università dell’Aquila, 9 ottobre 2008 (1221) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.


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AUTORE

Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto è relativo al corso di laurea magistrale in ingegneria chimica. Oggetto di trattazione sono i tensori ortogonali e le rotazioni e lesimmetrie in uno spazio di dimensione, il generatore infinitesimo, la parametrizzazione del gruppo delle rotazioni, le rotazioni come prodotto di tre rotazioni elementari e la decomposizione spettrale di una rotazione.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria chimica
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Scienza delle costruzioni e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Tatone Amabile.

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