Che materia stai cercando?

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

Parte II - Lezione II - pag. 12

enuncia anche dicendo che le produttività ‘incrociate’ di un fattore, totale e marginale,

sono entrambe crescenti.

In due dimensioni, la terza proprietà da luogo alla traslazione della curva della

( )

q = q x ,x e

produttività totale come rappresentato nel Quadro II.9 in cui 1 1 2

( )

q = q x ,x denotano le equazioni corrispondenti agli impieghi, rispettivamente, x e

1 1 2 2

x del fattore di X .

2

2

II.1.3.1 Un esempio

Ove l’equazione della tecnica sia la (II-4), le produttività incrociate sono

crescenti e la terza proprietà della tecnologia è perciò soddisfatta. Lo dimostra il Quadro

II.10 che indica la traslazione subita dalla produttività totale di X al crescere di x da 20

1 2

a 40. Si osservi che il maggior impiego di X modifica l’equazione della produttività

2

totale di X . Questa cessa di essere la (II-7) per diventare:

1 0 5 0 3 0 2

, , ,

q = x ⋅ 40 ⋅ 5 ,

1

e perciò: 0 5

,

q = 4 ,

17 ⋅ x

(II-11) .

1

La nuova curva (tratteggiata) è più alta (per consentire una maggiore produttività

totale) e più ripida (per consentire una maggiore produttività marginale).

140 0 ,

5

0,5 0 ,

5

q = 4 ,

17 ⋅ x

x q= 3,39 x x q = 4 ,

17 ⋅ x

1

1 1 1 1

120 0 0 0 0

100 34 100 42

100 200 48 200 59

0 ,

5

q = 3 , 39 ⋅ x

1

300 59 300 72

80 400 68 400 83

60 500 76 500 93

600 83 600 102

40 700 90 700 110

800 96 800 118

20 900 102 900 125

0

1.000 107 1.000 132

0 200 400 600 800 1.000 1.200

… … … …

Quadro II.10

II.1.3.2 Approfondimenti *

Con riferimento al Quadro II.10, la maggiore ripidità della produttività totale

tratteggiata (rispetto a quella continua) deve trovare riscontro in una curva della

produttività marginale più alta.

Dall’equazione della produttività totale (II-11) è possibile ricavare la

corrispondente equazione della produttività marginale mediante le procedure già seguite

nella sezione II.1.2.4. Così facendo, si ottiene: Parte II - Lezione II - pag. 13

2 , 085

(II-12) q.mg = .

1 x

1

Il Quadro II.11 mostra che la produttività marginale (II-12), corrispondente alla

produttività totale (II-11), è effettivamente più alta della produttività marginale (II-10)

corrispondente alla produttività totale (II-7), già rappresentata nel Quadro II.4.

2 , 085

q.mg =

x 1

1 x

q 1

x

0,25 1 100 0,21

2 , 085

100 0,17 200 0,15

=

q.mg

0,20 1

200 0,12 300 0,12

x

1

300 0,10 400 0,10

0,15 400 0,08 500 0,09

500 0,08 600 0,09

0,10 600 0,07 700 0,08

700 0,06 800 0,07

1

, 695

800 0,06 900 0,07

0,05 q.mg =

1 x

900 0,06 1000 0,07

1

1000 0,05 … …

0,00 … …

0 200 400 600 800 1000 1200

Quadro II.11

Esercizi

Si eseguano i seguenti steps:

6. • a partire dall’equazione (II-4), si ricavi l’equazione della produttività totale del fattore X per gli

1

impieghi e degli altri fattori,

= 10

x

20

x =

2 3

• si ricavi quindi l’equazione della produttività marginale e, dopo opportuna tabulazione, su carta a

quadretti se ne disegni la curva,

• sul medesimo piano cartesiano si riproduca la curva del Quadro II.4 per verificare che le due curve si

dispongono in modo da soddisfare la terza proprietà della tecnologia.

II.1.4 La quarta proprietà ovvero i rendimenti proporzionali decrescenti

Le proprietà seconda e terza della tecnologia si occupano dell’evoluzione che

subisce la produttività marginale di un fattore quando è aumentato l’impiego del

medesimo fattore oppure quando è aumentato l’impiego di un altro. Tacciono, invece,

riguardo al caso in cui l’impiego del fattore di riferimento sia aumentato

contemporaneamente a quello di un altro fattore. L’argomento è oggetto della quarta e

ultima proprietà che sarà formulata nella presente sezione.

II.1.4.1 Una premessa

Si consideri il Quadro II.12 dove sono nuovamente rappresentate due curve della

produttività totale del fattore X corrispondenti a due impieghi del fattore X . Sul piano

1 2

di base (dove le curve sono ‘appoggiate’) si considerino

• il punto P rappresentativo di una combinazione dei fattori X e X usando

1 2

la quale si ottiene la produzione PP’,

• il punto Q, a nord-est di P, che prevede un uso maggiore di entrambi i

fattori,

• il punto R, a est di P, che prevede un uso maggiore del solo fattore X .

1

Parte II - Lezione II - pag. 14

Le proprietà della tecnologia fin qui presentate garantiscono le seguenti disuguaglianze:

(II-13) QQ' > RR' > PP' . e sono produttività totali del

Riguardo alla prima disuguaglianza, QQ' RR'

fattore X corrispondenti a differenti impieghi del fattore X . In base alla terza proprietà

1 2

della tecnologia (produttività incrociata crescente) l’ordinata QQ’ alla curva

corrispondente all’impiego maggiore di X deve superare l’ordinata RR’ alla curva

2

corrispondente all’impiego di X minore.

2

Riguardo alla seconda disuguaglianza, e sono produttività totali del

RR' PP'

fattore X corrispondenti a differenti impieghi del medesimo fattore. In base alla prima

1

proprietà della tecnologia (produttività totale crescente) l’ordinata , corrispondente

RR'

all’impiego di X maggiore, deve superare l’ordinata corrispondente all’impiego

PP'

1

minore. q x 2

Q'

R'

P' Q

P R x 1

Quadro II.12

In sintesi, chiamando in causa la combinazione R quale termine di confronto, le

proprietà della tecnologia già presentate consentono di stabilire che la combinazione Q

dei fattori X e X genera una produzione superiore a quella generata dalla combinazione

1 2

P. Alla stessa conclusione si perviene quando le combinazioni P e Q sono

confrontate per il tramite della combinazione S a nord di P rappresentata nel Quadro

II.13. Basta fare riferimento alle curve della produttività totale del fattore X

2

rappresentate nel medesimo quadro (in luogo delle curve della produttività totale del

fattore X rappresentate nel Quadro II.12) per comprendere che:

1

(II-14) QQ' > SS ' > PP' . Parte II - Lezione II - pag. 15

q Q' x 2

S'

P' S Q

P x 1

Quadro II.13

La prima disuguaglianza deriva dalla terza proprietà della tecnologia (produttività totale

incrociata crescente). La seconda deriva dalla prima proprietà (produttività totale

decrescente).

Fino a questo momento sono state confrontate le produzioni generate da due

combinazioni dei fattori X e X delle quali l’una (Q) è collocata a nord-est dell’altra (P)

1 2

e perciò prevede maggiori impieghi di entrambi i fattori. Per stabilire il confronto fra la

produzione generata da Q e quella generata da P, è bastato fare appello alle proprietà

della tecnologia già assunte.

Il nostro attuale interesse è tuttavia diverso: come annunciato all’inizio della

sezione II.1.4, vogliamo confrontare le produttività marginali (non totali) dei fattori X e

1

X in Q con quelle in P. A questo compito dobbiamo ancora assolvere.

2

II.1.4.2 L’insufficienza delle proprietà già assunte

Nel Quadro II.14 si tornino a considerare le due curve della produttività totale

del Quadro II.12 nonché le combinazioni P, R e Q. La produttività marginale del fattore

X è rappresentata (in forma di variazione destra della produttività totale):

1 • in P dal segmento AB,

• in R dal segmento DC,

• in Q dal segmento FG.

La terza proprietà della tecnologia (produttività marginale incrociata crescente)

garantisce , mentre la seconda proprietà (produttività marginale decrescente)

FG > CD

garantisce . Nello stato d’informazione in cui siamo, non è dato sapere quale

AB > CD

delle due proprietà prevale sull’altra, e perciò se la produttività marginale di X è

1

maggiore in Q oppure in P. Parte II - Lezione II - pag. 16

x 2

q G F

D

B C

A Q

P R x 1

Quadro II.14

Analogamente, nel Quadro II.15 che ripropone le curva della produttività totale

del Quadro II.13 nonché le combinazioni P, S e Q, per la terza proprietà,

TV > MN

per la prima, cosicché nessun confronto è possibile fra HL e TV.

mentre HL > MN V

q T

N M

L H S Q

P x 1

Quadro II.15

Concludendo, le proprietà della tecnologia finora assunte non consentono di

confrontare due produttività marginali di un fattore corrispondenti a combinazioni

diverse di quello stesso fattore e dell’altro, delle quali l’una sia collocata a nord-est

dell’altra (cioè preveda impieghi maggiori di entrambi). Parte II - Lezione II - pag. 17

x

Esercizi 2

-1

q ( )

q = f x

Con riferimento all’acclusa curva della produttività totale del

7. 1 1

A C

P

'

fattore X , indicare:

1 D

• il significato del segmento CD z = a + bx B

1

• il significato del segmento AB +1

• il

q ( )

q = f x significato

2 2 P

del

-1 C coefficiente

D

A angolare (b) della retta tangente in P’.

Con riferimento all’acclusa curva della produttività

8.

+1 totale del fattore X , indicare il valore della produttività

2

B in P. Rispondere quindi alle

marginale del fattore X 1

z = 4

+

0,9

⋅ x

2 seguenti domande:

P q

• può essere

CD = 0,95?

x -1

1 • può essere C

AB = 0,85? A D

Con riferimento alle accluse curve di produttività totale,

9.

individuare: +1

B

• la variazione sinistra di q in P,

• la variazione destra di q in P, P

II.1.4.3 La delimitazione del problema

Prestando attenzione al Quadro II.14 e al Quadro II.15, si noterà che il punto Q

non è ‘genericamente’ collocato a nord-est di P. Infatti, si trova sullo stesso ‘raggio’ di

P, ovvero appartiene alla stessa semiretta uscente dall’origine degli assi. Ciò significa

che gli impieghi in Q superano ‘proporzionalmente’ quelli in P. Più precisamente,

significa che l’impiego di X in Q sta all’impiego di X in P come l’impiego di X in Q

1 2 2

sta all’impiego di X in P. In altri termini, gli impieghi in Q superano i corrispondenti

1

impieghi in P di una stessa percentuale. Ad esempio, il grano presente nella

combinazione Q supera del 60% quello presente nella combinazione P, proprio come la

terra presente nella combinazione Q supera del 60% quella presente nella combinazione

P. Il problema che interessa risolvere è quindi meno generale del previsto, dal

momento che riguarda il solo confronto fra punti che, come P e Q, rappresentano

combinazioni dei fattori X e X delle quali l’una è la ‘fotocopia ingrandita’ dell’altra.

1 2

II.1.4.4 Le ipotesi

Così delimitato, il problema è più facile da affrontare. Si cominci col notare che

l’abbondanza relativa di ciascun fattore rispetto all’altro non cambia da P a Q.

Potremmo allora essere tentati di pensare che non cambiano neppure le produttività

marginali. Se in Q e P sono seminati gli stessi chilogrammi di grano per ettaro di terra,

perchè mai l’efficacia di un chilogrammo (o di un ettaro) aggiuntivi dovrebbe essere

diversa nei due casi? Con riferimento al Quadro II.14 e al Quadro II.15, perché mai

dovrebbe essere e/o ?

GF ≠ AB TV ≠ HL e X sono soltanto due

Occorre invece respingere la tentazione ricordando che X

1 2

degli n fattori impiegati. Per produrre grano, non bastano il grano e la terra. Occorrono

anche il lavoro, i trattori, il fertilizzante, etc. Rispetto a ciascuno di tali fattori (i

2

n −

cui impieghi restano invariati) X e X sono, in Q, più abbondanti che in P. Perciò è

1 2

ragionevole assumere che le loro produttività marginali sono più piccole, ovvero che:

Parte II - Lezione II - pag. 18

FG < AB

(II-15) TV < HL . e quella di X (rispetto a ciascuno

Ma c’è dell’altro. L’abbondanza relativa di X

1 2

degli fattori ad impiego invariato) aumentano (da P a Q) della stessa percentuale

n − 2

di cui aumentano i loro impieghi. Nell’esempio (già fatto) del grano e della terra i cui

impieghi crescono del 60%, ciascuno di tali fattori sarà del 60% più abbondante rispetto

al lavoro, ai trattori, al fertilizzante, etc. Con ogni addetto, ogni trattore, ogni

chilogrammo di fertilizzante, etc., sono ‘sposati’ il 60% di grano in più e il 60% di terra

in più. In ragione di ciò, è ragionevole assumere che le produttività marginali dei due

10 . In altre parole, assumeremo

fattori diminuiscono anch’esse di una stessa percentuale

che il loro rapporto non muti e quindi valga l’uguaglianza:

FG AB

(II-16) = .

TV HL

Insieme considerate, le ipotesi (II-15) e (II-16) costituiscono la quarta proprietà

della tecnologia che può essere formulata come segue: in allontanamento dall’origine

lungo un raggio, le produttività marginali diminuiscono fermo restandone il rapporto.

La quarta proprietà vale anche nel caso, più generale, in cui fattori

k > 2

aumentano di una stessa percentuale: le rispettive produttività marginali diminuiscono

fermi restando i rapporti fra l’una e l’altra.

Esercizi

Nell’acclusa Fig. A acclusa sono indicate due combinazioni P e Q dei

10. terra Q

fattori (primari) lavoro e terra impiegati nella produzione delle banane. In P la

produttività marginale della terra vale 9 quintali di banane (all’anno) mentre

quella del lavoro vale 3 quintali. In Q la produttività marginale del lavoro vale

un quintale. Quanto vale la produttività marginale della terra? P

Nell’acclusa Fig. B sono indicate tre combinazioni P, Q ed R dei fattori

11. lavoro

(primari) lavoro e terra impiegati nella produzione delle banane. In P la R

produttività marginale della terra vale 6 quintali di banane (all’anno) mentre terra Q

quella del lavoro vale 3 quintali. In Q la produttività marginale della terra vale 4

quintali. Quanto vale la produttività marginale del lavoro? Si consideri, inoltre,

la produttività marginale della terra nel punto R. Può valere 5 quintali? In caso di P

risposta negativa, può valerne 4? In caso di risposta negativa, può valerne 3? lavoro

II.1.4.5 La legge dei rendimenti decrescenti

Una diretta conseguenza della quarta proprietà è la generalizzazione della legge

dei rendimenti decrescenti, già incontrata come conseguenza del secondo assunto.

Vediamo di che si tratta.

Nel Quadro II.16, si consideri il raggio su cui giacciono i punti O, A, B e C,

rappresentativi di altrettante combinazioni dei fattori X e X .

1 2

10 Va da sé che non vi sono ragioni per assumere che la percentuale di abbattimento delle

produttività marginali di X1 e X2 sia la stessa di cui aumenta l’abbondanza relativa (ovvero gli impieghi)

dei medesimi. Nell’esempio del grano e della terra, più abbondanti del 60%, le produttività marginali

dell’uno e dell’altra potrebbero diminuire, ad esempio, del 20%, come del 90%, come di ogni altra

percentuale. Parte II - Lezione II - pag. 19

Dalla combinazione O (origine degli assi) non è possibile ottenere alcuna

produzione. In base alla prima proprietà della tecnologia, tutti i fattori sono

fattori diversi da X e X non bastano ad attivare il

indispensabili. Pertanto gli n − 2 1 2

processo produttivo.

Il quadro mostra che per ottenere uguali incrementi di prodotto, occorrono

incrementi crescenti dei fattori X e X . Infatti:

1 2

q = '' q = ''' q ,

∆ ∆ ∆

mentre: ′

∆ x < ∆ '' x < ∆ ''' x

1 1 1

e: ′

∆ x < ∆ '' x < ∆ ''' x .

2 2 2 x

q 2

′′′

∆ q

∆'''

x ′′

∆ q

2

∆''

x

2 ′

∆ q

∆'

x

2 C

B

A

O ∆'x

1 ∆''x

1 ∆'''x

1 x 1

Quadro II.16

Il fenomeno si spiega con la quarta proprietà della tecnologia (produttività

marginali uniformemente decrescenti lungo un raggio) in base alla quale:

• le unità di X incluse in ∆'' x e quelle di X incluse in ∆'' x sono

1 2

1 2

mediamente meno efficaci (così da dover essere più numerose) rispetto

alle unità incluse, rispettivamente, in ∆' x e ∆' x ;

1 2

• le unità di X incluse in ∆''' x e quelle di X incluse in ∆''' x sono

1 2

1 2

mediamente meno efficaci (così da dover essere più numerose) rispetto

alle unità incluse, rispettivamente, in ∆'' x e in ∆'' x .

1 2

I quattro assunti sulla tecnologia costituiscono la base di gran parte della teoria

dell’impresa sviluppata nelle successive lezioni. Pertanto è consigliabile non proseguire

la lettura prima di aver acquisito con esse la necessaria familiarità.

Parte II - Lezione II - pag. 20

Esercizi ′ ′′ ′′′ ′

Nel Quadro II.16 si supponga , , . Si supponga, inoltre, .

12. = = = =

∆ 10 ∆ 20 ∆ 30 ∆ 200

x x x x

1 1 1 2

′′ ′′′

Quanto valgono e ?

∆ ∆

x x

2 2

II.2 La produttività media

La produttività media di un fattore appartiene alla ‘specie’ delle variabili medie

illustrata nella Lezione I della Parte I. La variabile totale di riferimento è la produttività

totale. Precisamente, la produttività media è la quantità di prodotto mediamente

generata da ogni unità del fattore (oltre che dagli assegnati impieghi degli altri fattori).

Si ottiene, quindi, dividendo la produttività totale per l’impiego. La indicheremo con la

notazione q.md seguita da un suffisso che denota il fattore di riferimento. Ad esempio,

indicherà la produttività media del fattore X .

q.md

1 1

q P''

Figura 1 P' z" = d" ⋅ x

1

z' = d' ⋅ x

1 x 1

q.md 1 Figura 2

d'

d'' x ' x " x

1 1 1

Quadro II.17

Dalla Lezione I della Parte I si ricorderà che la pendenza di una retta passante

per l’origine degli assi si misura dividendo una qualsiasi ordinata per la corrisponde

'

x = x

ascissa. Ne segue che nella Figura 1 del Quadro II.17, la produttività media in è

1 1

geometricamente interpretabile come la pendenza, , della retta passante per l’origine

d ′

degli assi e secante la curva della produttività totale nel punto .

P

'' ′′

x = x

Analogamente, la produttività media in è la pendenza, , della retta

d

1 1 ′′ ′

′′

passante per l’origine e secante in . Si noterà che . Dunque, la produttività

P d < d

media è una funzione decrescente dell’impiego del fattore, come rappresentato nella

Figura 2 del Quadro II.17. Ciò significa che, al crescere delle unità impiegate, decresce

la quantità di prodotto mediamente ricavabile da ciascuna di esse.

L’equazione che definisce la produttività media si ottiene banalmente,

rapportando all’impiego del fattore il secondo membro dell’equazione che definisce la

Parte II - Lezione II - pag. 21

produttività totale. Nel caso che il fattore sia X e l’equazione della produttività totale

1

( )

q = q x , l’equazione della produttività media

sia quindi indicata con la notazione 1

sarà: ( )

q x

1

(II-17) q.md = .

1 x

1

Ad esempio, nel caso che l’equazione della produttività totale sia la (II-7), la

(II-17) assume la forma:

3

, 39 ⋅ x

1

q ,

= x

1

e perciò: 3

, 39

(II-18) q = .

x

1 ′′ ′′

v = d ⋅ x

1

q ′ ′

v = d ⋅ x

1 P''

′′ ′′ ′′

z = b ⋅ x + c P'

1

z ' = b '

⋅ x + c ' Figura 1

1 x 1

Figura 2

d'

d'' q.md

b' 1

b'' q.mg 1

x

x ' x '' 1

1 1

Quadro II.18

La Figura 1 del Quadro II.18 mostra che (per ogni ascissa) la produttività

′ ′ ′′ ′′

marginale è inferiore a quella media ( e ). Perciò le rispettive curve

b < d b < d

(entrambe decrescenti) si disporranno come nella Figura 2 del medesimo quadro.

Si noti che le forme delle curve e le loro posizioni sul piano sono conformi alla

relazione fondamentale fra variabili medie e marginali studiata nella Lezione I della

Parte I. Infatti, la produttività media è decrescente in quanto la produttività marginale è

inferiore. Parte II - Lezione II - pag. 22

II.3 Approfondimenti

Si torni ad assumere l’equazione della produttività totale (II-7) da cui derivano

l’equazione (II-10) della produttività marginale e l’equazione (II-18) della produttività

media. La tabulazione della (II-7), già presentata nel Quadro II.3, è riproposta nella

seconda colonna della tabella inclusa nel Quadro II.19. Nella terza colonna è riproposta

la tabulazione della (II-10) già presentata nel Quadro II.4. Infine, nella quarta colonna è

tabulata la (II-18) dividendo i valori della produttività totale indicati nella seconda

colonna per i corrispondenti impieghi indicati nella prima.

x q.mg q.md

q 0,40

1 1 1

100 34 0,17 0,34 0,35

200 48 0,12 0,24 q.md 1

0,30

300 59 0,10 0,20 0,25

400 68 0,08 0,17 0,20

500 76 0,08 0,15

600 83 0,07 0,14 0,15 q.mg

700 90 0,06 0,13 1

0,10

800 96 0,06 0,12 0,05

900 102 0,06 0,11 0,00

1.000 107 0,05 0,11 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100

Quadro II.19

Nel Quadro II.19 sono rappresentate anche le curve della produttività marginale

e di quella media. Esse confermano le forme e le posizioni sul piano di cui al Quadro

II.18. Esercizi

Con riferimento alla curve della produttività totale di cui alla figura acclusa, si calcoli:

13. • la produttività media in ,

60

=

x

1

• la produttività marginale in ;

60

=

x

1

• la produttività media in ,

150

=

x

1

• la produttività marginale in 150

=

x

1

(dalla Lezione I della Parte I, si ricordi che il coefficiente angolare di una retta non passante per l’origine

si ottiene cambiando il segno del quoziente fra l’ordinata all’origine e l’ascissa all’origine).

B

600

490

300 A

120 x

-450 -40 60 150 1

Con riferimento alla acclusa curva della produttività media del

14.

fattore X , si calcolino:

1

• la produttività totale in ,

40

=

x A

1 100

• la produttività totale in 80

=

x

1 B

(suggerimento: che cosa rappresentano le aree rettangolari?) 60 x

40 80 1

Parte II - Lezione II - pag. 23

II.4 Gli isoquanti e le loro famiglie

Si torni a considerare l’equazione in forma implicita (II-2) che stabilisce il

legame tecnologico fra le variabili x ,x ,...,x ,q . Poiché la scelta della funzione è

n + 1 1 3 n

arbitraria, si scelga ora la variabile x (anziché q) e si espliciti la (II-2) rispetto ad essa.

2

Si indichi l’equazione così ottenuta con la notazione:

( )

x = x x ,x ,...,x ,q .

(II-19) 2 2 1 3 n

Infine, si riducano a parametri tutte le variabili indipendenti, tranne x , assegnando ad

1

esse valori arbitrari. La (II-19) diventa in tal modo:

( )

x = x x ,x ,...,x ,q ,

(II-20) 2 2 1 3 n

oppure, tralasciando di indicare i parametri:

( )

x = x x

(II-21) .

2 2 1

Ad ogni impiego del fattore X , l’equazione (II-21) associa l’impiego del fattore

1

X che consente di produrre q . Perciò non si sbaglia dicendo che il grafico della

2

funzione definita dall’equazione (II-21) è formato dai punti del piano cartesiano

( )

O ≡ x ,x ‘equivalenti’, cioè rappresentativi di combinazioni dei fattori X e X capaci

1 2

1 2

di generare la stessa quantità di prodotto. Per questo motivo tale grafico è definito

(stessa quantità di produzione).

isoquanto

Assegnando diversamente q, l’isoquanto si riposiziona sul piano, cioè subisce

una traslazione nel senso spiegato nella Lezione I della Parte I. Infatti, saranno altre le

combinazioni di X e X in grado di generare la nuova produzione. Ne segue che gli

1 2

isoquanti sono infiniti, essendo tali i volumi di produzione che si può ‘chieder loro’ di

l’insieme di tutti i possibili isoquanti corrispondenti ad

generare. Chiameremo famiglia 211

n − 2

un’assegnata combinazione degli fattori diversi da X e X .

1

Nella restante parte della presente lezione risponderemo a due interrogativi. Il

primo, riguardante i singoli isoquanti, è il seguente: possono le proprietà della

tecnologia aiutarci a comprenderne la forma? Il secondo interrogativo, riguardante le

famiglie di isoquanti, è il seguente: possono le stesse proprietà aiutarci a comprendere il

modo in cui gli isoquanti di una stessa famiglia si dispongono sul piano?

II.5 La forma degli isoquanti

Dalle proprietà della tecnologia discende che gli isoquanti sono

• decrescenti;

• convessi;

• asintotici rispetto agli assi.

Lo proveremo nella presente sezione.

11 Poiché le combinazioni di tali fattori sono infinite, anche le famiglie di isoquanti sono infinite .

.

Parte II - Lezione II - pag. 24

II.5.1 La decrescenza

Gli isoquanti sono decrescenti come banale conseguenza della prima proprietà

della tecnologia. L’esistenza di tratti crescenti, come quello rappresentato in Figura 1

del Quadro II.20, oppure paralleli alle ordinate come quello rappresentato in Figura 2,

oppure paralleli alle ascisse come quello rappresentato in Figura 3, è esclusa in quanto

implicherebbe che la stessa quantità di prodotto può essere generata da due

′′

combinazioni dei fattori X e X , come e nelle citate figure, delle quali l’una

P' P

1 2

′′

( ) presenta, rispetto all’altra ( ), un impiego maggiore di almeno un fattore (di

P P'

entrambi in Figura 1, del solo X in Figura 2, del solo X in Figura 3). Al contrario, la

1 2

prima proprietà della tecnologia vuole che la produzione aumenti se aumenta l’impiego

di un fattore.

Solo i tratti decrescenti, del tipo rappresentato nella Figura 4, sono compatibili

con la prima proprietà. Infatti, può ben generare la stessa produzione di perché

P'' P'

x ' ' − x ' di X , che accresce la produzione in forza della prima proprietà, può

l’aumento 1

1 1 x ' − x ' '

essere compensato dalla simultanea riduzione di X che la abbatte.

2

2 2

Figura 1 x

x 2

2 Figura 2

P'' P' P''

P' x x

1 1

Figura 3

x x

2 2 Figura 4

P'' ′ P'

x

2 P''

P' ′′

x

2

x x

x′ x′′

1 1

1 1

Quadro II.20

II.5.2 La convessità

Proveremo ora che gli isoquanti sono curve convesse. Dalla Lezione I della

Parte I si ricorderà che una curva decrescente è convessa se la sua ripidità diminuisce

Parte II - Lezione II - pag. 25

all’aumentare della variabile indipendente. Occorre perciò provare che gli isoquanti

sono curve ‘a ripidità decrescente’ del tipo indicato nel Quadro II.21.

x 2 x 1

Quadro II.21

La prova richiede di introdurre preliminarmente una nozione importante.

II.5.2.1 Il tasso di sostituzione tecnica

Nonostante che la convessità sia ancora da dimostrare, nel Quadro II.22 è

rappresentato un isoquanto convesso sul quale è considerata un punto P (qualsiasi) la

cui ascissa è indicata con x mentre, in base alla (II-21), l’ordinata è indicata con

1

( )

x x . Sono altresì considerate le combinazioni equivalenti (che consentono la stessa

2 1 ′

produzione) Q a sud-est e a nord-ovest. L’ascissa della prima è x + 1 , quella della

Q 1

( ) ( )

x x + 1 x x − 1

seconda è x − 1 . Le rispettive ordinate sono e .

2 1 2 1

1

Si considerino ora le variazioni destra e sinistra:

( ) ( )

x x + 1 − x x

2 1 2 1

(II-22) ( ) ( )

x x − x x − 1 .

2 1 2 1

approssimate, come sappiamo, dalla pendenza dell’isoquanto (coefficiente angolare

della retta tangente) che, nel quadro, è indicata con la (consueta) lettera b. Sappiamo,

altresì, che b si configura come variabile marginale. La si indichi con la notazione x .mg

2

in considerazione del fatto che x è la variabile totale di riferimento.

2

Poiché x è una funzione decrescente di x , le differenze (II-22) sono negative,

2 1

così come la pendenza dell’isoquanto che le rappresenta. Se ne cambi il segno

scrivendo: ( ) ( )

x x − x x + 1

2 1 2 1

(II-23) ( ) ( )

x x − 1 − x x .

2 1 2 1

La prima delle nuove differenze esprime la quantità di cui occorre diminuire x

2

per compensare l’aumento unitario di x (che accresce la produzione). La seconda indica

1

la quantità di cui occorre aumentare x per compensare la diminuzione unitaria di x

2 1

(che abbatte la produzione). Il comune valore di tali variazioni ‘compensative’ è

b

geometricamente rappresentato dal modulo (valore assoluto) della pendenza, cioè

(anziché b). Tale modulo è definito Tasso di Sostituzione Tecnica e indicato con

l’acronimo TST. Parte II - Lezione II - pag. 26

Insomma, il TST esprime la quantità di cui occorre diminuire/aumentare x per

2

impedire che un aumento/diminuzione unitario/unitaria di x aumenti/diminuisca il

1

volume di produzione.

z = bx + c

1 Q'

( )

x x − 1

2 1 P

( )

x x Q

2 1

( )

x x + 1

2 1 x

x − 1 x + 1

1

1 1

Quadro II.22

II.5.2.2 TST e produttività marginali

Sul piano di base allo spazio tridimensionale rappresentato nel Quadro II.23,

recante sugli assi gli impieghi x e x , è ‘deposto’ l’isoquanto già rappresentato, in due

1 2

dimensioni, nel Quadro II.22. Sono considerate, per il momento, le sole combinazioni P

e Q (non anche ). Sulla perpendicolare di P, si incontrano la curva a della

Q

produttività totale di X corrispondente all’impiego di X e la curva b della

x

1 2

2

produttività totale di X corrispondente all’impiego di X . Le due curve condividono

x

2 1

1

12

l’ordinata PE che rappresenta la produzione ottenibile dagli impieghi e (oltre

x x

1 2

che dagli assegnati impieghi degli altri fattori).

n − 2

Il punto Q presenta, rispetto a P,

• il maggior impiego unitario del fattore X rappresentato dal segmento PS,

1

che accresce la produzione del segmento AB;

• il minor impiego del fattore X rappresentato dal segmento , che

PR = QS

2

abbatte la produzione del segmento CD.

Dal momento che , il segmento QS altro non è che la prima delle differenze

PS = 1

(II-23). Qual è il suo valore?

Per rispondere, si osservi che:

(II-24) AB = q.mg .

1

Infatti, AB è la variazione destra generata dall’aumento unitario PS di x . Al contempo:

1

(II-25) CD = q.mg × QS.

2

12 Se le due curve avessero ordinate diverse, dalla stessa combinazione di fattori (P) sarebbero

assurdamente ottenibili due diverse quantità di prodotto.


PAGINE

34

PESO

626.65 KB

AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico di microeconomia per il corso di Economia Politica della Prof.ssa Simona Pergolesi. Al suo interno sono affrontati i seguenti argomenti: la funzione della produzione e le proprietà della tecnologia; la legge dei rendimenti decrescenti; la forma e le famiglie degli isoquanti; il Tasso di Sostituzione Tecnica (TST).


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in scienze politiche e relazioni internazionali (POMEZIA, ROMA)
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Economia politica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Pergolesi Simona.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Economia politica

Determinazione del reddito nazionale
Dispensa
Modello IS - LM
Dispensa
Mercati, domanda e offerta
Dispensa
Scelte di produzione
Dispensa