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Parte II - Lezione II - pag. 4

In tal modo ridotta a funzione dell’impiego di un solo fattore, la produzione è

chiamata produttività totale di quel medesimo fattore. Un’immediata conseguenza della

prima proprietà della tecnologia è che la produttività totale è una funzione crescente la

cui ordinata all’origine è nulla.

Ad esempio, se nell’equazione della tecnica (II-4) si ponesse x = 20 e x = 5 ,

2 3

la produttività totale di X resterebbe definita dall’equazione:

1

0 ,

5 0 ,

3 0 ,

2

q = x ⋅ 20 ⋅ 5 ,

1

e perciò dall’equazione: 0 ,

5

q = 3

, 39 ⋅ x ,

(II-7) 1

riproponibile anche nella forma:

q = 3

, 39 ⋅ x .

1

Il lettore può verificare da solo che tale funzione q di x è crescente e che la sua ordinata

1

all’origine è nulla.

Esercizi

Si eseguano i seguenti steps:

1. • a partire dall’equazione (II-4), si ricavi l’equazione della produttività totale del fattore X per gli

1

impieghi x = 20 e x = 10,

2 3 : 0, 100, 200, 300, etc. fino a 1.000,

• si tabuli l’equazione così ricavata per i seguenti impieghi di x

1

• su carta a quadretti, si costruisca infine la curva della produttività totale di X ,

1

A partire dall’equazione della tecnica (II-4), si ripeta l’esercizio precedente ponendo, nel primo step,

2. e . Infine, si confronti il nuovo grafico con quello già ottenuto in risposta all’esercizio

x = 40 x =

10

2 3

precedente.

II.1.2 La seconda proprietà ovvero la produttività marginale decrescente

La seconda proprietà della tecnologia riguarda la produttività marginale dei

fattori, un concetto economicamente molto rilevante di cui verrà fatto largo uso nel

seguito di queste Lezioni. Perciò è preliminarmente necessario acquisire con esso la

necessaria familiarità.

II.1.2.1 Cos’è la produttività marginale

La produttività marginale di un fattore appartiene alla ‘specie’ della variabili

marginali spiegate nella Lezione I della Parte I. La variabile totale di riferimento è la

produttività totale introdotta nella sezione II.1.1. Precisamente, la produttività marginale

è definita come la variazione, tanto destra quanto sinistra, che la produttività totale

4

subisce, rispettivamente, aumentando o diminuendo di un’unità l’impiego del fattore .

4 Con l’eccezione del caso in cui la variabile totale è lineare, dalla Lezione I della Parte I si ricorderà che

la variazione destra non coincide perfettamente con quella sinistra. Si ricorderà, altresì, che la diversità

può essere ridotta a piacere scegliendo, per il fattore, unità di misura sempre più piccole.

Parte II - Lezione II - pag. 5

Nel solo caso in cui x = 0 , la produttività marginale si riduce alla sola variazione destra

1

non essendo possibile ridurre l’impiego del fattore oltre lo zero.

Indicheremo la produttività marginale con la notazione q.mg seguita da un

suffisso che specifica il fattore di riferimento. Ad esempio, q.mg indicherà la

1

( )

q.mg = q.mg x

. Con la notazione indicheremo

produttività marginale del fattore X

1 1 1 1

l’equazione definitoria che è possibile derivare dall’equazione (II-6) utilizzando le

regole spiegate nella Lezione I della Parte I (cfr. § II.1.2.1).

In forza della prima proprietà della tecnologia, secondo cui la produttività totale

5

è crescente, la produttività marginale è positiva . Resta da capire come si evolve

aumentando l’impiego del fattore.

II.1.2.2 Perché è decrescente

Si consideri la produzione di grano assumendo (per semplicità) che gli unici

fattori necessari sono il grano stesso (usato come seme) e la terra. Misuriamo il seme in

chilogrammi e la terra in ettari. Il Quadro II.1 presenta due ‘situazioni’ o ‘circostanze’:

• nella prima, riscontrata nell’azienda agricola di Tizio, sono seminati 200

chilogrammi di grano su 10 ettari di terra,

• nella seconda, riscontrata nell’azienda agricola di Caio, sono seminati 900

chilogrammi sugli stessi 10 ettari.

In base alla prima proprietà della tecnologia, la produzione ottenuta da Tizio è

senz’altro maggiore. Ma questa circostanza non è, al momento, interessante. Piuttosto,

interessa confrontare i valori che la produttività marginale (non totale) del grano assume

nei due casi. Cioè interessa sapere quale chilogrammo addizionale di grano è più

‘efficace’ (genera un aumento di produzione maggiore): il 201.esimo seminato da Tizio

oppure il 901.esimo seminato da Caio? grano: 200 kg

La combinazione

di Tizio terra: 10 h

grano: 900 kg

La combinazione

di Caio terra: 10 h

Quadro II.1

La risposta risiede nella diversa abbondanza relativa del grano, definita come il

quoziente fra il grano e la terra e perciò come i chilogrammi del primo seminati su ogni

ettaro della seconda. Così definita, l’abbondanza relativa misura la intensità con cui è

usato il grano, ovvero (dal punto di vista opposto) la saturazione subita dalla terra.

Il senso comune suggerisce che l’efficacia di un chilogrammo addizionale di

grano è maggiore se del grano è fatto un uso meno intensivo, ovvero la terra è meno

5 ( ) ( )

q x + 1 − q x

Sono positive tanto la variazione destra di q, cioè la differenza , quanto quella sinistra,

1 1

( ) ( )

q x − q x − 1

cioè la differenza .

1 1 Parte II - Lezione II - pag. 6

satura. Ciò accade nell’azienda agricola di Tizio, in cui l’abbondanza relativa vale venti

(sono seminati 20 chilogrammi per ettaro) mentre nell’azienda di Caio vale 90 (sono

seminati 90 chilogrammi per ettaro). Assumeremo perciò che il 201.esimo chilogrammo

seminato da Tizio è più efficace del 901.esimo seminato da Caio.

Qualcosa di simile accade quando il lavoro è combinato con un milione di mq di

stoffa all’anno per produrre pantaloni per uomo. L’impiego di un’unità aggiuntiva di

lavoro consente tagli più accurati. Perciò riduce lo spreco di stoffa e consente di

aumentare il numero dei capi prodotti. Ma il senso comune suggerisce che l’aumento di

produzione non può essere indipendente dalle unità di lavoro già impiegate e quindi

dall’abbondanza relativa del lavoro rispetto alla stoffa. Ad esempio, se le unità di lavoro

già impiegate sono 100, l’abbondanza relativa del lavoro rispetto alla terra sarebbe

100 1

.

000

.

000 = 0 , 0001 (0,0001 unità di lavoro stanno già tagliando un metro quadro di

stoffa). Se le unità di lavoro sono invece 200, l’abbondanza relativa è

200 1

.

000

.

000 = 0 , 0002 (0,0002 unità di lavoro stanno già tagliando un metro quadro

di stoffa). Nel secondo caso i tagli sono più accurati che nel primo e lo spreco di stoffa è

perciò minore. Proprio per questo l’unità di lavoro aggiuntiva non può ridurlo altrettanto

efficacemente.

Si consideri, infine, un’impresa di servizi che possiede 100 personal computer.

Un numero maggiore di addetti può aumentare la produzione riducendo i tempi di

inutilizzazione o sottoutilizzazione dei computer. Ma il beneficio non può essere

indipendente dall’abbondanza relativa del lavoro. Ad esempio, il contributo del

151.esimo, nel caso gli addetti siano già 150 e l’abbondanza relativa del lavoro sia

perciò di 1,5 addeti per computer, non può essere così grande come quello del 51.esimo

nel caso gli addetti già presenti siano solo 50 e l’abbondanza relativa del lavoro del

lavoro sia perciò di 0,5 addetti per computer.

In conclusione, la produttività marginale decresce aumentando l’impiego del

fattore di riferimento. E’ questa una caratteristica universale, condivisa dalla generalità

dei processi produttivi. La accoglieremo come seconda proprietà della tecnologia.

Quali sono le conseguenze della nuova proprietà sulla forma che assume la

curva della produttività totale? Dalla Lezione I della Parte I si ricorderà che ogni

variabile marginale è geometricamente rappresentata dal coefficiente angolare della

retta tangente alla curva della rispettiva variabile totale. Allora la produttività marginale

decrescente implica che l’inclinazione della retta tangente alla curva della produttività

totale diminuisce al crescere di x . Ne deriva che quest’ultima ha l’andamento concavo

1

rappresentato nella Figura 1 del Quadro II.2.

Nella Figura 2 del medesimo quadro è rappresentata la curva decrescente della

produttività marginale. Il quadro nel suo complesso mostra la corrispondenza fra

l’andamento concavo della curva superiore e quello decrescente della curva inferiore.

E’ importante rendersi conto della diversa lettura che dev’essere data delle due

curve. Per ogni impiego x (in ascissa):

1

• l’ordinata alla curva superiore (Figura 1) misura la produttività totale, cioè

la produzione generata da X col concorso degli assegnati impieghi degli

1

altri fattori,

n − 1

• l’ordinata alla curva inferiore (Figura 2) misura la produttività ‘al

margine’, cioè la variazione, destra o sinistra, che la produttività totale

subisce aumentando o diminuendo x di un’unità.

1

Il legame fra le due curve sta nel fatto che, per ogni ascissa, l’ordinata della seconda

misura la pendenza della prima. Parte II - Lezione II - pag. 7

q ′′ ′′

z = a + b ⋅ x

′ ′

z = a + b ⋅ x 1

1 Figura 1

x 1

q.mg 1

b' Figura 2

b" x 1

Quadro II.2

II.1.2.3 Un esempio

L’equazione (II-7), generata dall’equazione della tecnica (II-4) assegnando

x = 20 e x = 5 , genera produttività totali crescenti e concave, conformemente alle

2 3

proprietà prima e seconda della tecnologia.

Lo prova il Quadro II.3 dove l’equazione è tabulata assegnando a x valori

1

crescenti di 100 in 100.

x q

1 120

0 0

100 34 100

200 48 80

300 59

400 68 60

500 76

600 83 40

700 90 20

800 96

900 102 0

1.000 107 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1.00

0

… … Quadro II.3

Esercizi q = x ⋅ x

Sia l’equazione della tecnica nel caso molto semplice in cui i fattori produttivi sono

3. 1 2

soltanto due. Si assegni . Quale forma assume l’equazione della produttività totale del fattore X ? Si

x = 3 . 6 1

2

provveda a tabularla assegnando i valori , , , e . Infine, su carta a quadretti

x = 9 x = 16 x = 25 x = 36

x = 4

1 1 1 1 1 Parte II - Lezione II - pag. 8

si disegni il grafico della produttività totale verificandone la coerenza con le proprietà prima e seconda della

tecnologia.

II.1.2.4 Approfondimenti *

Abbiamo imparato che la produttività totale è concava perché quella marginale è

decrescente. Perciò alla produttività totale concava definita dall’equazione (II-7) deve

corrispondere una produttività marginale decrescente.

Per verificarlo, occorre, in primo luogo, derivare dalla (II-7) l’equazione della

produttività marginale. Possiamo farlo applicando le regole studiate nella Lezione I

della Parte I. Si noti preliminarmente che il secondo membro della (II-7) può essere

0 5

,

interpretato come 3,39 volte una funzione y di equazione . E’ quindi possibile

y = x

1

6

applicare la seconda delle regole richiamate scrivendo:

(II-8) .

q.mg = 3 , 39 ⋅ y.mg 7

In secondo luogo, alla funzione y è possibile applicare la terza regola ottenendo

0 5 1

,

y.mg = 0 , 5 ⋅ x e perciò:

1 1

(II-9) y.mg = 0 , 5 .

x

1

Sostituendo la (II-9) nella (II-8) segue, infine, la seguente equazione della produttività

marginale corrispondente all’equazione della produttività totale (II-7):

1

, 695

q.mg = .

(II-10) 1 x

1

Il Quadro II.4 tabula la funzione (II-10) e ne determina il grafico che, per

l’appunto, è una curva decrescente.

x q.mg

1 1 0,18

100 0,17 0,16

200 0,12 0,14

300 0,10 0,12

400 0,08 0,10

500 0,08 0,08

600 0,07 0,06

700 0,06 0,04

800 0,06

900 0,06 0,02

1000 0,05 0,00 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

… … Quadro II.4

6 Si ricorderà che la regola in oggetto è la seguente: .

z = k ⋅ y ⇒ z.mg = k ⋅ y.mg

1

r r −

7 Si ricorderà che la regola in oggetto è la seguente: .

y = x ⇒ y.mg = r ⋅ x Parte II - Lezione II - pag. 9

Esercizi determinata in risposta all’esercizio

Assumendo l’equazione della produttività totale del fattore X

4. 1

precedente, si derivi la corrispondente equazione della produttività marginale applicando le regole di

1 1

m m

derivazione studiate nella Lezione I della Parte I e ricordando che, in generale, e . Si

m

a = a m

1 a = a

provveda quindi a tabulare la produttività marginale assegnando i valori , , , e

x = 4 x = 9 x = 16 x = 25

1 1 1 1

. Infine, su carta a quadretti, se ne disegni il grafico.

x = 36

1

II.1.2.5 Le legge dei rendimenti decrescenti

Un’ovvia conseguenza della seconda proprietà della tecnologia è la cosiddetta

legge dei rendimenti decrescenti secondo cui uguali incrementi di produzione possono

essere generati solo mediante dosi aggiuntive (aumenti) crescenti di un fattore. Il

fenomeno è descritto nel Quadro II.5. Ogni dose dev’essere più abbondante della

precedente perchè le unità del fattore che la formano sono meno efficaci (la loro

produttività al margine è mediamente inferiore).

q x 1

Quadro II.5

Con riferimento alla produttività totale definita dall’equazione (II-7), la prima

delle tavole incluse nel Quadro II.6 mostra gli impieghi di X necessari per generare

1

8 . Sottraendo, in entrambe le colonne, da ciascun

produzioni crescenti di 100 in 100

valore il precedente, dalla prima tavola si deriva la seconda che mostra dosi crescenti di

x a fronte di incrementi costanti di q.

1 ∆x

x

q ∆q 1

1

0 0 --- ---

100 870 100 870

200 3.481 100 2.610

300 7.831 100 4.351

--- --- --- ---

Quadro II.6

Esercizi

Ricostruire il Quadro II.6 facendo riferimento all’equazione della produttività totale ottenuta in risposta

5.

all’esercizio 3.

8 0 ,

5 0 ,

5

0 ,

5

E’ agevole verificare che , che e che .

3 39 870 100 3 , 39 × 3 . 481 = 200 3 , 39 × 7 . 831 = 300

, × = Parte II - Lezione II - pag. 10

II.1.3 La terza proprietà ovvero le produttività ’incrociate’ crescenti

Come si è detto, la prima e la seconda proprietà della tecnologia garantiscono

che la produttività totale di un fattore è una curva (funzione) crescente e concava la cui

ordinata all’origine è nulla. La posizione della curva sul piano è comandata dagli

fattori (diversi da quello cui la curva stessa si riferisce).

impieghi degli altri n − 1 b

q a'

P'

x

2

P a

x

2 x

1 x 1

Quadro II.7

Nel Quadro II.7 sono tridimensionalmente rappresentate due curve della

produttività totale del fattore X , indicate con a e a’, corrispondenti a due impieghi del

1 9

fattore X indicati con x e x , oltre che ad assegnati impieghi degli altri fattori .

n − 2

2 2 2

Si considerino il punto P appartenente alla curva a e il punto P’ appartenente

alla curva a’. Si noterà che tali punti appartengono anche alla curva b della produttività

totale del fattore X corrispondente all’impiego x del fattore X . La prima proprietà

2 1

1 ′

della tecnologia impone alla curva b di essere crescente e quindi al punto di superare

P

′ ′

(cui appartiene ) di superare in

‘in altezza’ il punto P. Perciò impone alla curva a P

altezza la curva a (cui appartiene P). ′ ′

Nel Quadro II.8 si confrontino ora il segmento AB col segmento . Entrambi

A B

rappresentano variazioni destre di q generate da un aumento unitario di x , con la

1

differenza che AB è misurata sulla curva della produttività totale di X corrispondente

1

′ ′

all’impiego x del fattore X , mentre è misurata sulla curva della produttività

A B

2

2

totale di X corrispondente all’impiego x . La domanda è: quale delle due variazioni

1 2

destre di q e maggiore?

Per rispondere, faremo di nuovo ricorso al concetto di intensità dell’uso di un

fattore (abbondanza relativa rispetto agli altri) già chiamata in causa per giustificare la

9 Si rinvia alla Lezione I della Parte I per la nozione di ‘traslazione’ e per l’approccio tridimensionale alla

medesima. Parte II - Lezione II - pag. 11

seconda proprietà della tecnologia. Tornando all’esempio in cui i fattori X e X sono,

1 2

rispettivamente, il grano (fattore producibile) e la terra (fattore primario) impiegati nella

′ ′

produzione del grano stesso, AB e sono interpretabili come variazioni che la

A B

produzione subisce seminando un chilogrammo aggiuntivo di grano su due diverse

estensioni di terra: x e x . La combinazione usa il grano meno intensivamente

Q

2 2

della combinazione Q. Infatti, ne sposa lo stesso impiego con un impiego di terra

maggiore. Perciò è ragionevole assumere (come nel quadro) .

A' B' > AB

Analogamente, la variazione sinistra di q, generata da una riduzione unitaria di

, è maggiore in rispetto a Q.

x Q

1 q a'

B'

P' A'

x

2

P B a

A

x Q'

2 Q

x

1 x 1

Quadro II.8 ′

Ma, allora, la produttività marginale del grano in (pendenza della curva )

Q a

supera la produttività marginale del grano in Q (pendenza della curva a). Perciò si

conclude che la curva è più ripida della curva a.

a q ( )

q = q x , x

1 1 2

( )

q = q x , x

1 1 2

x > x

2 2 x 1

Quadro II.9

Riassumendo, le produttività totale e marginale di un fattore crescono al crescere

dell’impiego di un altro fattore. E’ questa la terza proprietà della tecnologia che si

Parte II - Lezione II - pag. 12

enuncia anche dicendo che le produttività ‘incrociate’ di un fattore, totale e marginale,

sono entrambe crescenti.

In due dimensioni, la terza proprietà da luogo alla traslazione della curva della

( )

q = q x ,x e

produttività totale come rappresentato nel Quadro II.9 in cui 1 1 2

( )

q = q x ,x denotano le equazioni corrispondenti agli impieghi, rispettivamente, x e

1 1 2 2

x del fattore di X .

2

2

II.1.3.1 Un esempio

Ove l’equazione della tecnica sia la (II-4), le produttività incrociate sono

crescenti e la terza proprietà della tecnologia è perciò soddisfatta. Lo dimostra il Quadro

II.10 che indica la traslazione subita dalla produttività totale di X al crescere di x da 20

1 2

a 40. Si osservi che il maggior impiego di X modifica l’equazione della produttività

2

totale di X . Questa cessa di essere la (II-7) per diventare:

1 0 5 0 3 0 2

, , ,

q = x ⋅ 40 ⋅ 5 ,

1

e perciò: 0 5

,

q = 4 ,

17 ⋅ x

(II-11) .

1

La nuova curva (tratteggiata) è più alta (per consentire una maggiore produttività

totale) e più ripida (per consentire una maggiore produttività marginale).

140 0 ,

5

0,5 0 ,

5

q = 4 ,

17 ⋅ x

x q= 3,39 x x q = 4 ,

17 ⋅ x

1

1 1 1 1

120 0 0 0 0

100 34 100 42

100 200 48 200 59

0 ,

5

q = 3 , 39 ⋅ x

1

300 59 300 72

80 400 68 400 83

60 500 76 500 93

600 83 600 102

40 700 90 700 110

800 96 800 118

20 900 102 900 125

0

1.000 107 1.000 132

0 200 400 600 800 1.000 1.200

… … … …

Quadro II.10

II.1.3.2 Approfondimenti *

Con riferimento al Quadro II.10, la maggiore ripidità della produttività totale

tratteggiata (rispetto a quella continua) deve trovare riscontro in una curva della

produttività marginale più alta.

Dall’equazione della produttività totale (II-11) è possibile ricavare la

corrispondente equazione della produttività marginale mediante le procedure già seguite

nella sezione II.1.2.4. Così facendo, si ottiene: Parte II - Lezione II - pag. 13

2 , 085

(II-12) q.mg = .

1 x

1

Il Quadro II.11 mostra che la produttività marginale (II-12), corrispondente alla

produttività totale (II-11), è effettivamente più alta della produttività marginale (II-10)

corrispondente alla produttività totale (II-7), già rappresentata nel Quadro II.4.

2 , 085

q.mg =

x 1

1 x

q 1

x

0,25 1 100 0,21

2 , 085

100 0,17 200 0,15

=

q.mg

0,20 1

200 0,12 300 0,12

x

1

300 0,10 400 0,10

0,15 400 0,08 500 0,09

500 0,08 600 0,09

0,10 600 0,07 700 0,08

700 0,06 800 0,07

1

, 695

800 0,06 900 0,07

0,05 q.mg =

1 x

900 0,06 1000 0,07

1

1000 0,05 … …

0,00 … …

0 200 400 600 800 1000 1200

Quadro II.11

Esercizi

Si eseguano i seguenti steps:

6. • a partire dall’equazione (II-4), si ricavi l’equazione della produttività totale del fattore X per gli

1

impieghi e degli altri fattori,

= 10

x

20

x =

2 3

• si ricavi quindi l’equazione della produttività marginale e, dopo opportuna tabulazione, su carta a

quadretti se ne disegni la curva,

• sul medesimo piano cartesiano si riproduca la curva del Quadro II.4 per verificare che le due curve si

dispongono in modo da soddisfare la terza proprietà della tecnologia.

II.1.4 La quarta proprietà ovvero i rendimenti proporzionali decrescenti

Le proprietà seconda e terza della tecnologia si occupano dell’evoluzione che

subisce la produttività marginale di un fattore quando è aumentato l’impiego del

medesimo fattore oppure quando è aumentato l’impiego di un altro. Tacciono, invece,

riguardo al caso in cui l’impiego del fattore di riferimento sia aumentato

contemporaneamente a quello di un altro fattore. L’argomento è oggetto della quarta e

ultima proprietà che sarà formulata nella presente sezione.

II.1.4.1 Una premessa

Si consideri il Quadro II.12 dove sono nuovamente rappresentate due curve della

produttività totale del fattore X corrispondenti a due impieghi del fattore X . Sul piano

1 2

di base (dove le curve sono ‘appoggiate’) si considerino

• il punto P rappresentativo di una combinazione dei fattori X e X usando

1 2

la quale si ottiene la produzione PP’,

• il punto Q, a nord-est di P, che prevede un uso maggiore di entrambi i

fattori,

• il punto R, a est di P, che prevede un uso maggiore del solo fattore X .

1

Parte II - Lezione II - pag. 14

Le proprietà della tecnologia fin qui presentate garantiscono le seguenti disuguaglianze:

(II-13) QQ' > RR' > PP' . e sono produttività totali del

Riguardo alla prima disuguaglianza, QQ' RR'

fattore X corrispondenti a differenti impieghi del fattore X . In base alla terza proprietà

1 2

della tecnologia (produttività incrociata crescente) l’ordinata QQ’ alla curva

corrispondente all’impiego maggiore di X deve superare l’ordinata RR’ alla curva

2

corrispondente all’impiego di X minore.

2

Riguardo alla seconda disuguaglianza, e sono produttività totali del

RR' PP'

fattore X corrispondenti a differenti impieghi del medesimo fattore. In base alla prima

1

proprietà della tecnologia (produttività totale crescente) l’ordinata , corrispondente

RR'

all’impiego di X maggiore, deve superare l’ordinata corrispondente all’impiego

PP'

1

minore. q x 2

Q'

R'

P' Q

P R x 1

Quadro II.12

In sintesi, chiamando in causa la combinazione R quale termine di confronto, le

proprietà della tecnologia già presentate consentono di stabilire che la combinazione Q

dei fattori X e X genera una produzione superiore a quella generata dalla combinazione

1 2

P. Alla stessa conclusione si perviene quando le combinazioni P e Q sono

confrontate per il tramite della combinazione S a nord di P rappresentata nel Quadro

II.13. Basta fare riferimento alle curve della produttività totale del fattore X

2

rappresentate nel medesimo quadro (in luogo delle curve della produttività totale del

fattore X rappresentate nel Quadro II.12) per comprendere che:

1

(II-14) QQ' > SS ' > PP' . Parte II - Lezione II - pag. 15

q Q' x 2

S'

P' S Q

P x 1

Quadro II.13

La prima disuguaglianza deriva dalla terza proprietà della tecnologia (produttività totale

incrociata crescente). La seconda deriva dalla prima proprietà (produttività totale

decrescente).

Fino a questo momento sono state confrontate le produzioni generate da due

combinazioni dei fattori X e X delle quali l’una (Q) è collocata a nord-est dell’altra (P)

1 2

e perciò prevede maggiori impieghi di entrambi i fattori. Per stabilire il confronto fra la

produzione generata da Q e quella generata da P, è bastato fare appello alle proprietà

della tecnologia già assunte.

Il nostro attuale interesse è tuttavia diverso: come annunciato all’inizio della

sezione II.1.4, vogliamo confrontare le produttività marginali (non totali) dei fattori X e

1

X in Q con quelle in P. A questo compito dobbiamo ancora assolvere.

2

II.1.4.2 L’insufficienza delle proprietà già assunte

Nel Quadro II.14 si tornino a considerare le due curve della produttività totale

del Quadro II.12 nonché le combinazioni P, R e Q. La produttività marginale del fattore

X è rappresentata (in forma di variazione destra della produttività totale):

1 • in P dal segmento AB,

• in R dal segmento DC,

• in Q dal segmento FG.

La terza proprietà della tecnologia (produttività marginale incrociata crescente)

garantisce , mentre la seconda proprietà (produttività marginale decrescente)

FG > CD

garantisce . Nello stato d’informazione in cui siamo, non è dato sapere quale

AB > CD

delle due proprietà prevale sull’altra, e perciò se la produttività marginale di X è

1

maggiore in Q oppure in P. Parte II - Lezione II - pag. 16

x 2

q G F

D

B C

A Q

P R x 1

Quadro II.14

Analogamente, nel Quadro II.15 che ripropone le curva della produttività totale

del Quadro II.13 nonché le combinazioni P, S e Q, per la terza proprietà,

TV > MN

per la prima, cosicché nessun confronto è possibile fra HL e TV.

mentre HL > MN V

q T

N M

L H S Q

P x 1

Quadro II.15

Concludendo, le proprietà della tecnologia finora assunte non consentono di

confrontare due produttività marginali di un fattore corrispondenti a combinazioni

diverse di quello stesso fattore e dell’altro, delle quali l’una sia collocata a nord-est

dell’altra (cioè preveda impieghi maggiori di entrambi). Parte II - Lezione II - pag. 17

x

Esercizi 2

-1

q ( )

q = f x

Con riferimento all’acclusa curva della produttività totale del

7. 1 1

A C

P

'

fattore X , indicare:

1 D

• il significato del segmento CD z = a + bx B

1

• il significato del segmento AB +1

• il

q ( )

q = f x significato

2 2 P

del

-1 C coefficiente

D

A angolare (b) della retta tangente in P’.

Con riferimento all’acclusa curva della produttività

8.

+1 totale del fattore X , indicare il valore della produttività

2

B in P. Rispondere quindi alle

marginale del fattore X 1

z = 4

+

0,9

⋅ x

2 seguenti domande:

P q

• può essere

CD = 0,95?

x -1

1 • può essere C

AB = 0,85? A D

Con riferimento alle accluse curve di produttività totale,

9.

individuare: +1

B

• la variazione sinistra di q in P,

• la variazione destra di q in P, P

II.1.4.3 La delimitazione del problema

Prestando attenzione al Quadro II.14 e al Quadro II.15, si noterà che il punto Q

non è ‘genericamente’ collocato a nord-est di P. Infatti, si trova sullo stesso ‘raggio’ di

P, ovvero appartiene alla stessa semiretta uscente dall’origine degli assi. Ciò significa

che gli impieghi in Q superano ‘proporzionalmente’ quelli in P. Più precisamente,

significa che l’impiego di X in Q sta all’impiego di X in P come l’impiego di X in Q

1 2 2

sta all’impiego di X in P. In altri termini, gli impieghi in Q superano i corrispondenti

1

impieghi in P di una stessa percentuale. Ad esempio, il grano presente nella

combinazione Q supera del 60% quello presente nella combinazione P, proprio come la

terra presente nella combinazione Q supera del 60% quella presente nella combinazione

P. Il problema che interessa risolvere è quindi meno generale del previsto, dal

momento che riguarda il solo confronto fra punti che, come P e Q, rappresentano

combinazioni dei fattori X e X delle quali l’una è la ‘fotocopia ingrandita’ dell’altra.

1 2

II.1.4.4 Le ipotesi

Così delimitato, il problema è più facile da affrontare. Si cominci col notare che

l’abbondanza relativa di ciascun fattore rispetto all’altro non cambia da P a Q.

Potremmo allora essere tentati di pensare che non cambiano neppure le produttività

marginali. Se in Q e P sono seminati gli stessi chilogrammi di grano per ettaro di terra,

perchè mai l’efficacia di un chilogrammo (o di un ettaro) aggiuntivi dovrebbe essere

diversa nei due casi? Con riferimento al Quadro II.14 e al Quadro II.15, perché mai

dovrebbe essere e/o ?

GF ≠ AB TV ≠ HL e X sono soltanto due

Occorre invece respingere la tentazione ricordando che X

1 2

degli n fattori impiegati. Per produrre grano, non bastano il grano e la terra. Occorrono

anche il lavoro, i trattori, il fertilizzante, etc. Rispetto a ciascuno di tali fattori (i

2

n −

cui impieghi restano invariati) X e X sono, in Q, più abbondanti che in P. Perciò è

1 2

ragionevole assumere che le loro produttività marginali sono più piccole, ovvero che:

Parte II - Lezione II - pag. 18

FG < AB

(II-15) TV < HL . e quella di X (rispetto a ciascuno

Ma c’è dell’altro. L’abbondanza relativa di X

1 2

degli fattori ad impiego invariato) aumentano (da P a Q) della stessa percentuale

n − 2

di cui aumentano i loro impieghi. Nell’esempio (già fatto) del grano e della terra i cui

impieghi crescono del 60%, ciascuno di tali fattori sarà del 60% più abbondante rispetto

al lavoro, ai trattori, al fertilizzante, etc. Con ogni addetto, ogni trattore, ogni

chilogrammo di fertilizzante, etc., sono ‘sposati’ il 60% di grano in più e il 60% di terra

in più. In ragione di ciò, è ragionevole assumere che le produttività marginali dei due

10 . In altre parole, assumeremo

fattori diminuiscono anch’esse di una stessa percentuale

che il loro rapporto non muti e quindi valga l’uguaglianza:

FG AB

(II-16) = .

TV HL

Insieme considerate, le ipotesi (II-15) e (II-16) costituiscono la quarta proprietà

della tecnologia che può essere formulata come segue: in allontanamento dall’origine

lungo un raggio, le produttività marginali diminuiscono fermo restandone il rapporto.

La quarta proprietà vale anche nel caso, più generale, in cui fattori

k > 2

aumentano di una stessa percentuale: le rispettive produttività marginali diminuiscono

fermi restando i rapporti fra l’una e l’altra.

Esercizi

Nell’acclusa Fig. A acclusa sono indicate due combinazioni P e Q dei

10. terra Q

fattori (primari) lavoro e terra impiegati nella produzione delle banane. In P la

produttività marginale della terra vale 9 quintali di banane (all’anno) mentre

quella del lavoro vale 3 quintali. In Q la produttività marginale del lavoro vale

un quintale. Quanto vale la produttività marginale della terra? P

Nell’acclusa Fig. B sono indicate tre combinazioni P, Q ed R dei fattori

11. lavoro

(primari) lavoro e terra impiegati nella produzione delle banane. In P la R

produttività marginale della terra vale 6 quintali di banane (all’anno) mentre terra Q

quella del lavoro vale 3 quintali. In Q la produttività marginale della terra vale 4

quintali. Quanto vale la produttività marginale del lavoro? Si consideri, inoltre,

la produttività marginale della terra nel punto R. Può valere 5 quintali? In caso di P

risposta negativa, può valerne 4? In caso di risposta negativa, può valerne 3? lavoro

II.1.4.5 La legge dei rendimenti decrescenti

Una diretta conseguenza della quarta proprietà è la generalizzazione della legge

dei rendimenti decrescenti, già incontrata come conseguenza del secondo assunto.

Vediamo di che si tratta.

Nel Quadro II.16, si consideri il raggio su cui giacciono i punti O, A, B e C,

rappresentativi di altrettante combinazioni dei fattori X e X .

1 2

10 Va da sé che non vi sono ragioni per assumere che la percentuale di abbattimento delle

produttività marginali di X1 e X2 sia la stessa di cui aumenta l’abbondanza relativa (ovvero gli impieghi)

dei medesimi. Nell’esempio del grano e della terra, più abbondanti del 60%, le produttività marginali

dell’uno e dell’altra potrebbero diminuire, ad esempio, del 20%, come del 90%, come di ogni altra

percentuale.


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AUTORE

Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico di microeconomia per il corso di Economia Politica della Prof.ssa Simona Pergolesi. Al suo interno sono affrontati i seguenti argomenti: la funzione della produzione e le proprietà della tecnologia; la legge dei rendimenti decrescenti; la forma e le famiglie degli isoquanti; il Tasso di Sostituzione Tecnica (TST).


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in scienze politiche e relazioni internazionali (POMEZIA, ROMA)
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Economia politica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Pergolesi Simona.

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