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Interpolazione

Siccome non si osservano tutte le maturità

e vogliamo una curva continua dobbiamo

interpolare i dati ottenuti

Lineare

● Esponenziale

● Spline

● Svensson

● ( ) ( ) − −

= + + +

z x z x

F x , z z z z x e z xe

5 6

S 1 2 3 4

Duration

E' la sensibilità del prezzo al variare degli

interessi (yield) 1 dP D

= ~−D

P d y 1 y

Ma anche una “durata temporale” media

C P C P

/ /

1 d P −1 ∑ ∑

k k

T D= T

= 

k k

T T

P d y 1 y y y

1 1

k k

C P

/

∑ k

si noti come e che quindi la somma dei pesi è 1

=1

T

y

1 k

Duration

Esempio: Obbligazione con i=0.04 N=1 e pagamento annuale

di durata 30y usiamo lo sviluppo al prim'ordine

D

P y y= P y1− y

  

1 y

• y=0.03 P=1.196 D=19.06

P(0.04)= P (1-D /(1+0.03)*0.01)=0.97466

• y=0.04 P=1.000 D=17.94

P(0.03)= P(1+D/1.04*0.01)=1.1729

P(0.05)= P(1-D/1.04*0.01)=0.8708

• y=0.05 P=0.8463 D=16.89

P(0.04)=P(1+D/1.05*0.01)=0.9824

NOTATE L'ERRORE DOVUTO AL PRIM'ORDINE

Duration

#source(filename)

function [P,D] = D(rate,years,deltaT,y)

%rate = rate of interest of coupon

%years = years to maturity

%deltaT= how many years between the payment of two coupons

%y = yield

P=0; D=0;

y *= deltaT; rate *= deltaT; years /= deltaT

for t=1:deltaT:years

P += rate/(1+y)^t;

D += t* rate/(1+y)^t;

# printf('t=%i P=%f D=%f\n',t,P,D);

endfor

% add the nominal

P += 1/(1+y)^years;

D += years*1/(1+y)^years;

%normalize D

D *= deltaT/P;

endfunction

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve

dei tassi

Complicazioni: il calcolo dei fattori di sconto mediante la

formula −1T

F P

=C

implicazioni sul numero di scadenze su cui sono definiti i

flussi degli strumenti m=n!

Problema di omogeneita’ tra numero di strumenti con

numero di scadenze m≠ n

Soluzione: CLUMPING.

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve

dei tassi

•Clumping

–Definizione

–Garanzie

–Applicazione

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve

dei tassi

•Clumping

•Definizione

Il clumping è una tecnica che consente di riprodurre un

flusso di cassa posto su di una scadenza mediante due

flussi di cassa teorici con scadenze diverse.

Flusso originale Flusso rimappato t

Data Grid

Data Grid

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve

dei tassi

•Clumping

–Garanzie:

•L’applicazione del clumping ad un set di flussi

preserva:

•il valore di mercato del portafoglio;

•l’esposizione al rischio del portafoglio rispetto ai fattori

di sconto della term structure.

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve

dei tassi

•Clumping

un flusso C definito su una scadenza t, la tecnica

•Dato

del clumping consente di riesprimere tale flusso in due

flussi: F C F

= =1−C

1 2

definiti rispettivamente sulle scadenze t e t tali che t <

1 2 1

t <t .

2

–Il peso α è funzione delle scadenze t, t e t (se la

1 2

correlazione è uguale a 1):

t t−t

−t

2 1

1−=

= t t

−t −t

2 1 2 1

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve

dei tassi

L'espressione precedente si ottiene

interpolando linearmente la volatilità

=  1− 

1 2

e poi uguagliando la volatilità interpolata a

quella del portafoglio composto dai due flussi

 =1

di cassa ( e supponendo che ).

1 2

2

 =Var []

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve

dei tassi

•Clumping

–Esercizio numerico:

•rispetto della condizione di sensitività rispetto ai fattori

di sconto;

•rispetto della condizione di valore

–Flusso originale 80 sulla scadenza 2Y da rimappare sulle

scadenze 1Y e 3Y

Tassi forward impliciti

Definizione

– Modalita’ di calcolo uniperiodale

– Ipotesi determinanti la modalita’ di calcolo

– Modalita’ di calcolo multiperiodale

– Esempio

– Struttura crescente

● struttura decrescente

● struttura prima crescente poi decrescente

● Tassi forward impliciti

Definizione

● i tassi forward impliciti in una data struttura a

termine f (t, t1, t2) sono i tassi d’interesse

determinati in data spot (t), ma riferiti ad un

intervallo temporale che comincia in data

successiva (t1) alla data spot e termina in data

ulteriormente successiva (t2)

Tassi forward impliciti

Modalita’ di calcolo uniperiodale

● i tassi forward impliciti in una data

– struttura a termine f (t, t1, t2) vengono

calcolati in base alla seguente formula:

1

[ ]

t −t

,t

1i t  2 t −t

2 2 1

1f ,t t

t =

1, 2 t −t

,t

1i t  1

1

Tassi forward impliciti

Ipotesi determinanti la modalita’ di calcolo

● il tasso a termine = aspettative di mercato

del valore a pronti del tasso su quella

scadenza

assenza di arbitraggio

Tassi forward impliciti

Ipotesi determinanti la modalita’ di calcolo

● Assenza di arbitraggio

– se tasso a termine < aspettative

operatore acquisterebbe a termine facendo salire il prezzo a

termine fino a farlo coincidere con le aspettative (equilibrio)

se tasso a termine > aspettative

operatori venderebbero a termine facendo scendere il prezzo a

termine fino a farlo coincidere con le aspettative (equilibrio )

Tassi forward impliciti

Ipotesi determinanti la modalita’ di calcolo

● il tasso forward viene determinato in modo tale

– che risultino indifferenti:

un investimento unitario da t a t al tasso spot i(t,t )

● 2 2

un investimento unitario da t a t al tasso spot i (t,t )

● 1

1

il cui montante viene reinvestito da t a t al tasso

1 2

forward implicito

t t t

−t −t −t

, t , t f , t t

1i t  =1i t  1 t 

2 1 2 1

2 1 1, 2

Tassi forward impliciti

Modalita’ di calcolo multi periodale

● Periodi: i = 0…n-1

– Durata periodi:

– = −

k t t

+1

i i i

i(t ,t ) = Tasso spot riferito all’intervallo (t ,t )

0 n 0 n

f(t , t , t ) = Tasso forward riferito all’intevallo ( i, i+1)

0 i i+1

t t t t

−t −t −t −t

t t f t t ....1 f t , t

1i t  =1i t  1 t  t 

0 n 1 0 2 1 n n− 1

0, n 0, 1 0, 1, 2 0, n−1 n

n−1 t

∏ −t

f t , t

= 1 t  i 1 i

0, i i1

i =0

Con: =

f ( t , t , t ) i ( t , t )

0 0 1 0 1


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40

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326.12 KB

AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Econofisica del Prof. Mauro Anselmino, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: la struttura a termine dei tassi d'interesse; il tasso a zero e pricing di bond; tassi yield e par yield; metodi di costruzione delle curve dei tassi; funzione duration e clumping; tassi forward impliciti; spread e recovery rate.


DETTAGLI
Esame: Econofisica
Corso di laurea: Corso di laurea in fisica
SSD:
Università: Torino - Unito
A.A.: 2010-2011

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econofisica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Torino - Unito o del prof Anselmino Mauro.

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