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CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 92

n

Siccome gli addendi in parentesi tonda dipendenti da tendono a zero, ri-

sulta ½ c

se 0

+∞ >

k

a

lim =

n c

se 0

−∞ <

n→+∞ k

a n:

4. La successione è un rapporto tra due polinomi nella variabile

n c c c

0 1 2 ... 1

+ + + +

p p

2

c c n c n c n c n

...

+ + + + p p−1 p−2

c n c n c n

p p

0 1 2 p p p

a .

= =

n q q

2 d d d

d d n d n d n d n

...

+ + + + 0 1 2 ... 1

+ + + +

q q

0 1 2 p p−1 p−2

d n d n d n

p p p

Si ha, quindi, c

 p p q

se =

d

 q

a

lim = p q

0 se <

n

n→+∞  p q

se

±∞ >

p q c d

Si osservi che nel caso il risultato del limite è se e hanno

> +∞ p q

segno concorde mentre è se tali coefficienti hanno segno discorde.

−∞

a

5. La successione è data da

n n

a q .

=

n

In tal caso risulta (il simbolo si legge “non esiste”)

Ø q

 se

Ø ≤ −1

 q

0 se 1

−1 < <

n

q

lim .

= q

1 se 1

=

n→+∞ 

 q

se 1

+∞ >

a

6. La successione è una successione di Nepero:

n 1 n

a (1 ) .

= +

n n

Siccome tale successione è monotòna e limitata, in base al teorema sulle suc-

e

cessioni monotòne, essa ammette limite, indicato con e noto come numero

di Nepero: 1 n e.

lim (1 )

+ =

n

n→+∞

n

Scegliendo ad esempio 100 si ottiene il valore approssimato del numero

=

di Nepero 1 100

(1 ) 2.70481383

+ =

100

n

mentre con 100000 si ottiene

= 1 100000

(1 ) 2, 71826824.

+ =

100000 e

Calcoli più accurati mostrano che 2, 71828183.... E’ possibile dimostrare

=

anche che α α

n e

lim (1 )

+ =

n

n→+∞

CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 93

a b

e che, se e sono successioni divergenti, risulta

n n 1 bn

b n e

lim (1 ) lim .

+ = an

E a

n→+∞ n→+∞

n

Esempio 3.10

Si calcoli il limite 3 2

lim (n 5n 3n 2)

+ − +

n→+∞

Soluzione

Si ha: 3 2

5

3 2 3

n n )

5n 3n 2 (1 − +

+ − + = + 2 3

n n n

e, siccome i termini tra parentesi tonde tendono a 1, si ottiene:

3 2

lim (n 5n 3n 2)

+ − + = +∞.

E n→+∞

Esempio 3.11

Si calcoli il limite 3 2 4

n n

lim 5n 3n .

+ − −

n→+∞

Soluzione

Si ha: 5 3

1

3 2 4 4

n n

5n 3n (1 ).

+ − − = −n − − +

2 3

n n n

I termini tra parentesi tonde tendono a 1e, pertanto,

3 2 4

n n

lim 5n 3n

+ − − = −∞.

E n→+∞

Esempio 3.12

Si calcoli il limite 2

2n 3n 5

− +

lim .

2

3n 1

n→+∞ +

Soluzione

Si ha: 5 5

3 3

2 2 1 1

− + − +

2n 3n 5 2n 2

− + 2 2

2n 2n

2n 2n

( ) ( ).

= =

1 1

2 2

3n 1 3n 3

+ 1 1

+ +

2 2

3n 3n

Siccome i termini tra parentesi tonde tendono a 1, si ottiene:

2 3n 5 2

2n − +

lim .

=

2

3n 1 3

n→+∞ +

CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 94

E Esempio 3.13

Si calcoli il limite 2

5n 2n 1

+ +

lim .

n

1

n→+∞ −

Soluzione

Si ha: 2 1 2 1

2 2 1 1

+ + + +

5n 2n 1 5n

+ + 2 2

5n 5n

5n 5n

( ) ).

= = −5n(

1 1

n

1 − −n 1 1

− −

n n

I termini tra parentesi tonde tendono a 1e, pertanto, si ottiene:

2

5n 2n 1

+ +

lim = −∞.

n

E 1

n→+∞ −

Esempio 3.14

Si calcoli il limite 2

n n 1

− +

lim .

3

n 1

n→+∞ +

Soluzione

Si ha: 1 1 1 1

2 2 1 1

− + − +

n n n

1 1

− + 2 2

n n

n n

( ) ).

(

=

= 1 1

3 3

n n n

1

+ 1 1

+ +

3 3

n n

I termini tra parentesi tonde tendono a 1e, quindi,

2

n n 1

− +

lim 0.

=

3

n

E 1

n→+∞ +

Esempio 3.15

Si calcoli il limite 4 n

lim (1 ) .

− n

n→+∞

Soluzione

Per il calcolo del limite si può applicare la relazione

α α

n e

lim (1 )

+ =

n

n→+∞

α

con Si ottiene, quindi,

= −4. 4 n −4

e

lim (1 ) .

− =

n

n→+∞

CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 95

E Esempio 3.16

Si calcoli il limite 2 n

lim (1 ) .

+ 3n

n→+∞

Soluzione

Anche in tal caso si può utilizzare la relazione

α α

n e

)

lim (1 =

+ n

n→+∞

2

α

con . Si ottiene perciò

= 3 2 2

n e

lim (1 ) .

+ = 3

E 3n

n→+∞

Esempio 3.17

Si calcoli il limite 1 2

n +n

lim (1 ) .

+ n

n→+∞

Soluzione

Per calcolare tale limite si può utilizzare la relazione

1 bn

b n e

) lim

lim (1 =

+ an

a n→+∞

n→+∞ n

2

a n b n n.

con e Si ottiene:

= = +

n n 1 2

n +n

2

n n+1

+n e e

lim (1 ) lim lim

+ = = = +∞.

E n

n

n→+∞ n→+∞ n→+∞

Esempio 3.18

Si calcoli il limite 1 2

n +n

lim (1 ) .

− n

n→+∞

Soluzione

Per calcolare tale limite si può utilizzare la relazione

1 bn

b n e

lim (1 ) lim

+ = an

a

n→+∞ n→+∞

n

2

a b n n.

con e Si ottiene:

= −n = +

n n 1 2

n +n

2

n +n −n−1

e e

lim (1 ) lim lim 0.

− = = =

−n

n

n→+∞ n→+∞ n→+∞

CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 96

E Esempio 3.19

Si calcoli il limite 1 3n+1

lim (1 ) .

− 2

n

n→+∞

Soluzione

Per calcolare tale limite si può utilizzare la relazione

1 bn

b n e

lim

lim (1 ) =

+ an

a n→+∞

n→+∞ n

2

a b

con e 3n 1. Si ottiene:

= −n = +

n n 1 3n+1

3n+1 2

e

) lim

lim (1 = =

− −n

2

n n→+∞

n→+∞ 1

3n 3 1

(1+ ) (1+ )

2 e

e lim 1.

lim 3n = =

= n 3n

−n n→+∞

n→+∞

3.2 Serie numeriche

Nel Capitolo 1 si è introdotto il simbolo di sommatoria per scrivere in modo com-

n

patto la somma di termini. Si consideri ad esempio la somma

n

X

S a .

=

n k

k=1

S

Si osservi che la grandezza può essere vista come una successione i cui elementi

n

sono S a ,

=

1 1

S a a ,

= +

2 1 2

S a a a ,

= + +

3 1 2 3

...

S a a a

... ,

= + + +

n n

1 2

S a a a a

... :

= + + + +

n+1 n n+1

1 2

S n a a a

in altre parole la successione risulta essere la somma degli addendi , ..., .

n n

1, 2

CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 97

S

Siccome è una successione, è sensato chiedersi se essa ammette un valore limite

n n

X a

S .

lim lim

=

n k

n→+∞ n→+∞ k=1 S

E’ chiaro che studiare l’esistenza di un valore limite per la successione è equiva-

n

R a a

lente a studiare l’esistenza della somma degli infiniti addendi {a , , ..., , ...}.

n

1 2

(Serie)

Definizione

serie termine generico a somme parziali S

Si dice di il valore limite delle , cioè

n

k n

X a .

lim k

n→+∞ k=1

In termini più compatti il precedente limite sarà indicato con il simbolo

+∞

X a .

k

k=1 carattere

Per come si è impostato il problema, è chiaro che studiare il della serie

(cioè se converge ad un numero, se diverge all’infinito o se non esiste) è equivalente

S

allo studio dell’esistenza del limite delle somme parziali . Si avrà, pertanto:

n

• se S S

lim =

n

n→+∞

la serie +∞

X a k

k=1

converge S,

al valore

• se S

lim = ±∞

n

n→+∞

la serie +∞

X a k

k=1

divergente

è e risulterà +∞

X a = ±∞

k

k=1

• se S

lim

Ø n

n→+∞

non esisterà nemmeno la somma infinita

+∞

X a .

k

k=1

indeterminata.

In tal caso la serie è detta

CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 98

Per lo studio del carattere di una serie è rilevante il seguente

w (Condizione necessaria per la convergenza di una serie)

Teorema k a

Se una serie converge allora il limite per del termine generico è nullo. In

→ ∞ k

R)

S

termini più formali (con ∈

+∞

X a S a

lim 0.

= =⇒ =

k k

k→+∞

k=1

Dimostrazione

Si ha: S a a a

...

= + + +

1 2

k−1 k−1

e S a a a

... ,

= + + +

1 2

k k

da cui si deduce che S S a .

− =

k k−1 k

k

Prendendo il limite per dell’ultima relazione si ottiene, tenendo conto che

→ +∞

S S S,

per ipotesi la successione (e quindi anche la successione ) tende a

k k−1

a S S S S

lim lim lim 0.

= − = − =

k k k−1

k→+∞ k→+∞ k→+∞ ■

" Osservazione

Il teorema precedente fornisce una condizione necessaria per la convergenza di

una serie. Tale condizione non è comunque sufficiente: come si vedrà nel se-

a

guito esistono serie con termine generico tendente a zero ma che non sono

k

convergenti.

" Osservazione

Il teorema precedente può essere usato per dimostrare che una serie non converge:

a

in effetti se il termine generico ammette un limite non nullo allora, necessaria-

k

E

mente, la serie corrispondente non potrà essere convergente.

Esempio 3.20

Studiare il carattere della serie +∞ k

X .

k 1

+

k=1

Soluzione

Siccome risulta k

lim 1 0

= 6=

k 1

+

k→+∞

la serie data non converge.

CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 99

Il seguente teorema fornisce invece una condizione necessaria e sufficiente per la

convergenza di una serie:

w (Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza di una serie:

Teorema

criterio di Cauchy)

Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza della serie

+∞

X a k

k=1

è che N ²,

n a a

0 ...

∀² > ∃ | ∀p ∈ ⇒ |a + + + | <

² n n n

+1 +2 +p

² ² ²

n a a a

cioè l’esistenza di un intero tale che la somma dei termini , , ..., sia

n+1 n+2 n+p

p.

molto vicina a zero, per ogni intero ■

Tra le proprietà delle serie si ricordano

αa α

P P

a

• Le serie e , con 0 hanno lo stesso carattere

6=

k k

k k

P P P

a A b B b A B

• Se e allora (a )

= = + = +

k k k k

k k k

• Modificando un numero finito di elementi di una serie il suo carattere non

cambia

3.2.1 Serie geometrica n n

La serie geometrica si ottiene come limite per della somma dei primi

→ +∞

termini di una progressione geometrica. Se per semplicità il primo termine della

progressione geometrica è scelto pari a 1, la serie geometrica è

+∞ k

X q .

k=0

Per lo studio del carattere di tale serie è sufficiente ricordare il valore della somma

n

dei primi termini di una progressione geometrica:

n

( 1−q

n−1 q

se 1

6=

k

X 1−q

S q .

= =

n n q

se 1

=

k=0

Siccome risulta  q

se

Ø ≤ −1

n q

0 se 1

q

lim −1 < <

=

n→+∞ q

se 1

+∞ >

CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 100

si avrà: q

se

Ø ≤ −1

+∞  1

k

X q

se 1

−1 < <

q S

lim .

= =

n 1−q

n→+∞

k=0  q

se 1

+∞ ≥ q

Si è ottenuto quindi che la serie geometrica è indeterminata se la ragione è

E 1

q q se 1.

diverge se 1 e converge a |q| <

≤ −1, ≥ 1−q

Esempio 3.21

Si determini il carattere della serie +∞ 3 k

X ( ) .

5

k=0

Soluzione 3 S

Siccome 1, la serie data converge al valore dato da

|q| = <

5 1 5

S .

= =

3 2

1 −

E 5

Esempio 3.22

Si determini il carattere della serie +∞ 2 k

X ) .

(− 3

k=0

Soluzione 2

q q

La ragione della progressione geometrica associata a tale serie è 1.

= − ⇒ |q| <

3

La serie è pertanto convergente ed il suo valore è

1 3

S .

= =

2 5

1 +

E 3

Esempio 3.23

Si dimostri che 0.9 1.

=

Soluzione

Si ha −1 −2 −n

0.9 0.99999... 9 10 9 10 ... 9 10 ...

= = · + · + + · + =

−1 −1 −n

9 10 (1 10 ... 10 ...)

· + + + + =

+∞

9 9 1 9 1 9 10

−k

X 10 1.

= · = · = · =

1

−1

10 10 1 10 10 10 9

− 1 −

k=0 10

CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 101

E 2

(Il paradosso della corsa )

Esempio 3.24

Nel paradosso della corsa si afferma che per ragguingere un certo traguardo occor-

rerebbe prima percorrere la metà della distanza che separa la posizione iniziale da

quella finale. Raggiunta tale metà occorrerà comunque percorrere, prima di arri-

vare al traguardo, la metà della metà, e così via. Siccome i tratti che devono essere

percorsi sono in numero infinito, Zenone conclude che un corridore non arriverà

mai al traguardo.

Soluzione B

A 1

1

1

1

1 32

16

8

4

2

Figura 3.6 A

Rappresentazione dei vari tratti che il corridore dovrà percorrere a partire dal punto per

B.

arrivare al punto A

Si supponga che il corridore debba percorrere il tratto che va dall’origine al punto

B A B

finale e si supponga che la distanza tra e sia unitaria (si veda la figura 3.6). La

soluzione di tale paradosso sta nel fatto che, visto che il primo tratto da percorrere

AB

è pari a 1/2, il secondo è pari a 1/4, il terzo è pari a 1/8, e così via, il tratto da

percorrere è pari a 1 1 1 1

AB ...,

= + + + +

2 4 8 16

che può essere riscritto come serie: +∞ 1 k

X

AB ( ) .

= 2

k=1 q

Siccome la serie precedente è una serie geometrica di ragione 1/2, essa è con-

=

E

vergente (ovvamente al valore 1 : lo si verifichi).

(Creazione dal nulla)

Esempio 3.25

Il monaco Guido Grandi (1671-1742) cercò di dimostrare la possibilità di creare il

mondo dal nulla utilizzando (in modo inappropriato) la serie geometrica. Il ragio-

namento era il seguente:

siccome 1

2 3

q q q

1 ...

+ + + + = q

1 −

2 Tale paradosso è dovuto al filosofo greco presocratico Zenone (495 a.C. – 430 a.C).

CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 102

3 q

si avrà, ponendo = −1, 1

1 1 1 1 ...

− + − + = =⇒

1 1

+ 1

(1 1) (1 1) ...

− + − + = =⇒

2

1

0 :

= 2 12 a secondo mem-

dal nulla (lo 0 a primo membro) si è quindi creato un qualcosa (

bro).

3.2.2 Serie di Mengoli

Si dice serie di Mengoli la serie +∞ 1

X .

k(k 1)

+

k=1

Il termine generico di tale serie può essere riscritto come

1 1 1

a .

= = −

k k(k k k

1) 1

+ + S n

Con tale accorgimento è possibile valutare la somma parziale dei primi termi-

n

ni: n

n 1 1

1 X

X

S [ ]

= − =

=

n k(k k k

1) 1

+ +

k=1

k=1

1 1 1 1 1 1 1

[1 ] [ ] [ ] ... [ ].

= − + − + − + + −

n n

2 2 3 3 4 1

+

Si osservi che il secondo addendo della prima parentesi quadrata (−1/2) si cancella

con il primo termine della seconda parentesi quadrata (1/2) e che ciò accade anche

per gli altri addendi. Si conclude che 1

S 1 .

= −

n n 1

+ n

Nota l’espressione della somma parziale dei primi termini si può calcolare il

valore della serie stessa: n

+∞ 1 1 1

X

X lim lim (1 ) 1:

= = − =

k(k k(k n

1) 1) 1

n→+∞ n→+∞

+ + +

k=1 k=1

3 E’ in questo assunto che, in particolare, risiede l’errore del ragionamento del Grandi, visto che la

serie geometrica converge se e solo se 1.

|q| <

CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 103

E

la serie di Mengoli è, pertanto, convergente al valore 1.

Esempio 3.26

Determinare il valore della serie +∞ 2

X .

3k(k 1)

+

k=1

Soluzione

La serie data si può scrivere, utilizzando la proprietà di omogeneità della somma-

toria, come +∞ 1 2 2

2 X 1 ,

· = · =

k(k

3 1) 3 3

+

k=1

essendo la serie di Mengoli convergente a 1.

3.2.3 Serie armonica

Con serie armonica si intende la serie +∞ 1

X .

k

k=1

Tale serie non è convergente in quanto non soddisfa la condizione necessaria e

sufficiente per la convergenza di una serie. Si supponga infatti di aver fissato un

² k n k n

certo 0 e si consideri la somma dei termini che vanno da a

> = = +

² ²

p. p

Siccome il criterio di Cauchy deve essere soddisfatto per ogni si assuma in

p n

particolare . Si dovrebbe avere, per la convergenza della serie, la validità della

= ²

relazione seguente: 1 1 1 ².

...

+ + + <

n n n n

1 2

+ + +

² ² ² ² 1

Ciascun addendo della somma precedente è, comunque, maggiore o pari a :

2n ²

1 1 1 ,

> =

n n n

1 2n

+ +

² ² ² ²

1 1 1 ,

> =

n n n

2 2n

+ +

² ² ² ²

...

1 1 ,

=

n n 2n

+

² ² ²

CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE 104

per cui 1 1 1 1 1 1 1 1

n

... .

...

+ + + > + + + = · =

²

n n n n

1 2 2n 2n 2n 2n 2

+ + +

² ² ² ² ² ² ² ²

Non potrà quindi risultare 1 1 1 ²

...

+ + + <

n n n n

1 2

+ + +

² ² ² ²

²

per un arbitrario 0.

>

" Osservazione

Il criterio necessario per la convergenza delle serie non può essere utilizzato per

provare che la serie armonica diverge in quanto

1 0.

lim =

k

E k→+∞

Esempio 3.27

Studiare il carattere della serie +∞ 1

X .

3k

k=1

Soluzione

La serie data può essere riscritta come

+∞ 1 1

1 X (+∞)

· = · = +∞,

k

3 3

k=1

essendo la serie armonica divergente.

3.2.4 Serie armonica generalizzata

Si dice serie armonica generalizzata la serie

+∞ 1 α

X , 0.

>

α

k

k=1

In modo analogo a quanto visto per la serie armonica, si può provare che:

+∞ α

½ ¾

1 se 0 1

+∞ < ≤

X = α

α S se 1

>

k

k=1 α

cioè la serie armonica generalizzata converge se e solo se risulta 1.

>


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Dispense del Prof. Pierangelo Ciurlia di Matematica Generale che trattano i seguenti argomenti:

Successioni e serie numeriche
Successioni: Definizione. Successioni convergenti e divergenti. Successioni monotone. Calcolo di limiti per successioni.
Serie numeriche: Definizione. Esempi. Criterio di Cauchy. Serie a termini positivi. Criterio del confronto. Criterio del rapporto e della radice.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2010-2011

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Roma Tre - Uniroma3 o del prof Ciurlia Pierangelo.

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