Che materia stai cercando?

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

Matematica Generale

Marco Castellani

Facoltà di Economia

marco.castellani@univaq.it

Lezione 17 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 17 1 / 21

Lezione 17

Studio di funzione

Data una legge f siamo in grado di disegnarne il grafico. I punti da

svolgere sono i seguenti:

(f )

determinare il CE ed indicare la regolarità di f ;

1 studiare le intersezioni con gli assi ed il segno di f ;

2 (f )

calcolare i limiti nei punti di accumulazione del CE in cui f o

3 non è definita oppure non risulta continua;

calcolare la derivata di f ;

4 studiare il segno della derivata prima individuando gli intervalli di

5 monotonia ed i punti stazionari, cioè

(x) = (x) (x)

Df 0 Df 0 Df 0;

> <

calcolare la derivata seconda di f ;

6 studiare il segno della derivata seconda individuando gli intervalli

7 di convessità ed i punti di flesso, cioè

2 2 2

(x) = (x) (x)

D f 0 D f 0 D f 0.

> < dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 17 2 / 21

Lezione 17

Studio di funzione

Esempio 2

(x) = − +

Disegnare il grafico di f x(2 ln x 5 ln x 2).

(f ) = (0, +∞) ∈ C (0, +∞).

CE e f

Studio del segno di f . 1 =

(x ) = = e ln x 2 cioè

f 0 se ln x

◮ 2 √ 2 }

∈ { e, e

x

1

(x )

f 0 se ln x oppure ln x 2 cioè

> < >

◮ 2 √ 2 +∞)

∈ (0, ∪ (e

x e) ,

1

(x ) ln x 2 cioè

f 0 se < <

<

◮ 2 √ 2

∈ ( )

e, e

x dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 17 3 / 21

Lezione del 14

Studio di funzione / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / 2

1/2 / / / / / / / / /

e

/ / / / / / / / / / / / / e

0 / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / /

Figure: Rappresentazione del segno di f dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 17 4 / 21

Lezione 17

Studio di funzione +

→ → +∞.

Calcolo dei limiti per x 0 e x

2 − + =

lim x(2 ln x 5 ln x 2) 0

+

x→0 2 − + = +∞

lim x(2 ln x 5 ln x 2)

x→+∞

dove il primo limite dipende dal fatto che

α β

(ln = ∀α,

lim x x) 0, 0.

β >

+

x→0

Calcolo della derivata prima Df .

4 ln x 5

2

(x) = (2 − + + −

Df ln x 5 ln x 2) x x x

2

= − −

2 ln x ln x 3 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 17 5 / 21

Lezione 17

Studio di funzione / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / 2

1/2 / / / / / / / / /

e

/ / / / / / / / / / / / / e

0 / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / Figure: Rappresentazione dei limiti di f dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 17 6 / 21

Lezione 17

Studio di funzione

Studio del segno di Df . √

1

3 3

∈ {

(x ) = = −1 = }.

cioè x

Df 0 se ln x e ln x e

,

◮ √

2 e 1

3 3

∈ (0, ) ∪ (

(x ) −1 +∞).

cioè x

Df 0 se ln x or ln x e

> < > ,

◮ √

2 e

3 1 3

(x ) −1 ).

∈ (

Df 0 se ln x e

cioè x

< < < ,

◮ 2 e √

1 3

0 e

e

↓ ↓ ↓

∄ ∄ + − +

Segno di Df 0 0

∄ ∄ ր ց ր

Monotonia di f max min

√ √

9

1 3 3

) = ( ) = −

( e e

mentre f .

Inoltre f e e dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 17 7 / 21

Lezione 17

Studio di funzione / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / 2

1/2 3/2

−1 / / / / / / / / /

e

/ / / / / / / / / / / / / e e

e

0 / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / /

Figure: Rappresentazione della monotonia di f dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 17 8 / 21

Lezione 17

Studio di funzione 2

Calcolo della derivata seconda D f . −

4 ln x 1

2 (x) =

D f x

2

Studio del segno di D f . √

1

2 (x ) = = ∈ { 4

D f 0 se ln x e}.

cioè x

◮ √

4

1

2 ∈ (

(x ) +∞).

4

cioè x

D f 0 se ln x e,

> >

◮ √

4

1

2 ∈ (0,

(x ) 4

cioè x

D f 0 se ln x e).

< <

◮ 4 √

4

0 e

↓ ↓

∄ ∄ − +

Segno di Df 0

∄ ∄

Convessità di f flesso

⌢ ⌣ dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 17 9 / 21


PAGINE

21

PESO

269.63 KB

AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Studio di funzione: calcolo del dominio, determinazione della positività e della negatività, simmetrie e periodicità, intersezioni con gli assi, comportamento asintotico (calcolo dei limiti), monotonia (calcolo della derivata prima), convessità (calcolo della derivata seconda). Funzioni regolari a tratti e metodo per determinarne la monotonia e la convessità. Teoremi di de l'Hopital: esempi e controesempi all'uso del teorema.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Matematica generale

Integrali indefiniti
Dispensa
Limiti di funzioni
Dispensa
Funzioni - Generalità
Dispensa
Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy
Dispensa