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Appunti di Misure Meccaniche & Termiche (canale A-L)

corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica (ordinamento ex 270/04)

Facoltà di Ingegneria - Università degli studi di Roma “La Sapienza”

________________________________________________________________________________

Figura 8.3

ξ

se lo smorzamento dello strumento o il periodo dell’oscillazione dovessero essere troppo

T

0

piccoli per determinare con sicurezza il decremento tra due picchi consecutivi, è anche possibile

⋅ ) secondo la formula seguente:

fare la misura scegliendo due picchi alla distanza di k periodi ( k T

0

x x

1

δ = =

m m

ln ln

x k x

+ +

m 1 m k

Si dimostra che il decremento logaritmico δ è legato al fattore di smorzamento ξ attraverso la

relazione seguente (senza dim.), dalla quale può essere esplicitato il fattore di smorzamento ξ in

funzione di δ : ξ

A

δ π

= =

n

ln 2

A ξ

− 2

1

+

1

n π

2

ω =

Si osservi nuovamente nella figura 8.2 che, nel caso di ξ < 1, la con la

pulsazione propria 0 T

0

quale lo strumento oscilla attorno alla posizione d’equilibrio non è eguale alla pulsazione naturale

ω ma è ad essa legata attraverso il fattore di smorzamento ξ :

n ω ω ξ

= − 2

1

n

0 ω =

ed non deve sorprendere perché la è stata

La differenza fra k / m

ω ω pulsazione naturale

0 n n ω viene

definita nel caso ideale di totale assenza dello smorzamento mentre la pulsazione propria 0

misurata per il caso più aderente alla realtà di strumento provvisto di smorzamento. Ciò non di

)

meno, è importante osservare subito che per strumenti nei quali lo smorzamento è piccolo (

ξ < 0.1

la differenza numerica tra le due pulsazioni è quasi sempre trascurabile.

A.A. 2009/10 LEZ #8 – pag. 4

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Quando si è interessati allo studio della risposta dinamica in condizioni di regime, analogamente a

quanto fatto per gli strumenti del 1° ordine, si determina la utilizzando un

risposta in frequenza

ingresso puramente sinusoidale con frequenza variabile:

ω ω

+ + =

m

x c

x kx F sen t

0

Un integrale particolare che probabilmente verifica l’equazione differenziale è

ω ϕ

= +

x (

t ) X sen ( t ) ovvero in uscita dallo strumento si ha uno spostamento dell’indicatore m

rg 0

anch’esso sinusoidale, di frequenza ω eguale a quella del segnale in ingresso, ma in ritardo di φ

rispetto all’ingresso. Occorre determinare l’ampiezza X della risposta dello strumento e lo

0

sfasamento φ. ω

= j t

Scrivendo l’ingresso e l’uscita dello strumento in notazione esponenziale F (

t ) F e e

0

ω ϕ

= j t j , e sostituendo ambedue le espressioni nell’equazione differenziale si ottiene:

x (

t ) X e e

0 ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω

ω ω

− + + =

2 j t j j t j j t j j t

m ( ) X e e c ( j ) X e e kX e e F e

0 0 0 0

ϕ ω ω

− + + =

j 2

X e ( m jc k ) F

0 0 F

0

F k

ϕ = =

j 0

X e ω ω

0 m c

− + +

2

m jc k ω ω

− + +

2 1

j

k k ξ ξ ω

c

k c 2 km m

ω ω ω ξ ω ξ

ω = = = =

= 2 cr

j j j j 2 j 2

ricordando che e che si ha:

ω

n

m k k k

k n

F F

0 0

k k

ϕ = =

j

X e che va ora razionalizzata …

ω ω ω ω

0 2 2

ξ ξ

− + + − +

j 2 1 1 j 2

ω ω ω ω

2 2

n n n n

Il modulo della funzione razionalizzata rappresenta l’ della risposta in funzione della

ampiezza

frequenza ω: F

0

k

=

X 0 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

ω

ω 2

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

ξ

− + 2

1 4

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

ω

ω 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

n

n

mentre l’arcotangente del rapporto tra la parte immaginaria e la parte reale rappresenta lo

:

sfasamento ω

ξ

− 2 ω

ϕ = n

arctg ω 2

1 ω 2

n

A.A. 2009/10 LEZ #8 – pag. 5

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La risposta in frequenza e lo sfasamento per uno strumento del secondo ordine sono rappresentati

con due grafici adimensionali in funzione della frequenza normalizzata ω/ω .

n

Per ogni strumento meccanico assimilabile allo schema di figura 8.1, la risposta in frequenza

rappresenta il rapporto tra l’ampiezza dell’uscita X dello strumento (la risposta) e l’ampiezza della

0

freccia statica F /k (la risposta che lo strumento avrebbe fornito se in ingresso fosse stata applicata

0

una grandezza di intensità pari ad F ma molto lentamente, in modo quasi statico) in funzione di

0 ω . Tale rapporto viene chiamato

tutte le frequenze rapportate alla frequenza naturale n

X

= 0

o dello strumento e può essere minore o maggiore dell’unità,

G

amplificazione guadagno F / k

0

a seconda della frequenza della grandezza in ingresso. Si osservi in figura 8.4 che, come per la

risposta al gradino, si ottiene una famiglia di curve parametrizzate in ξ .

Figura 8.4

ω = 0 tutte le curve partono da e si ritrova un risultato già discusso, ovvero a

Per G = 1

ω n F

= 0 è pari alla .

frequenza nulla la deflessione dell’equipaggio mobile freccia statica

X 0 k

ω = 1 si è in condizioni di frequenza critiche (condizioni di ) ed il guadagno risulta

Per risonanza

ω n 1

= . Al permanere in prossimità delle condizioni di risonanza, per strumenti con fattore

essere G ξ

2

di smorzamento ξ basso, l’equipaggio mobile rischia di avere oscillazioni troppo ampie che possono

danneggiare lo strumento. Anche per questo motivo si evita, quando possibile, di progettare

strumenti con smorzamento troppo basso. Si osservi sul grafico di figura 8.4 che a partire da fattori

di smorzamento ξ bassi, la prima curva che non presenta amplificazione significativa dovuta a

A.A. 2009/10 LEZ #8 – pag. 6

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risonanza è quella con un fattore di smorzamento ξ = 0.7. Essa inoltre è la curva che, garantendo

una buona linearità in frequenza, fornisce la massima estensione della banda passante. Si ritrova

così per altra via, un valore numerico del fattore di smorzamento che aveva già manifestato

particolare validità nel caso della risposta al gradino.

Le curve dello sfasamento in funzione della frequenza normalizzata sono riportate in figura 8.5

Figura 8.5

ω π

ϕ

= = −

1 ; . Tale circostanza può essere

si osservi come tutte le curve passano per il punto ω 2

n

utilizzata sperimentalmente per la determinazione di senza la necessità di conoscere a priori il

ω

n

fattore di smorzamento ξ .

A proposito della risposta al gradino, è stato osservato che l’indicazione a regime dello strumento è

F 1 1

du dx

= = = =

= 0 quindi la sensibilità risulterà , dalla quale si riconosce

S

x t

( )

rg ω 2

di dF k

k m n

immediatamente un fatto fondamentale: la sensibilità e la pulsazione naturale sono inversamente

. Poiché l’estensione effettiva della risposta in frequenza di ogni strumento del 2°

proporzionali

ordine è indicata direttamente dal valore numerico della frequenza naturale, si può affermare che la

sensibilità e la rapidità sono caratteristiche metrologiche inversamente proporzionali (antitetiche) tra

loro. Nella progettazione e nella utilizzazione degli strumenti di misura bisogna sempre decidere a

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AUTORE

Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria meccanica (LATINA, ROMA)
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Misure meccaniche e termiche e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Del Prete Zaccaria.

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