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FISICA DELL’ATMOSFERA Ver.: 22 giugno, 2010

CAPITOLO 6

STRATO LIMITE PLANETARIO

Introduzione

Vicino alla superficie terrestre le forti variazioni della velocità orizzontale e il riscalda-

mento della superficie danno origine a movimenti turbolenti (in inglese eddies, letteral-

mente “vortici”) che sono molto efficaci a trasportare calore e vapore via dalla superficie

e, nello stesso tempo, quantità di moto verso il terreno (il terreno “frena” il movimento

del flusso).

Questo trasporto turbolento influenza i moti all’interno di uno strato di aria chiamato

strato limite planetario o planetary boundary layer in inglese che si estende dalla su-

perficie ad un’altezza compresa tra circa 30 m e 3 km a seconda dello stato di stabilità

dell’aria.

Se l’atmosfera è staticamente stabile (dθ/dz > 0), il mescolamento turbolento nello

strato limite può essere generato da instabilità dinamiche prodotte dai forti gradienti

della velocità orizzontale.

E’ utile distinguere lo strato limite in almeno due sottostrati: lo strato superficiale e lo

strato di Eckman.

Il primo è definito dal fatto che in esso lo stress dovuto all’attrito è indipendente

dalla quota; nel secondo si suppone che esista un equilibrio tra le forze di pressione,

l’accelerazione di Coriolis e gli stress turbolenti.

La turbolenza non può essere trattata con una teoria matematica rigorosa e deter-

ministica analoga a quella dei fluidi laminari; tuttavia alcuni concetti di quest’ultima

teoria vengono trasferiti per analogia ai moti turbolenti. In particolare una delle prime

assunzioni che si usa fare è che, in analogia alla diffusione molecolare, si possa introdurre

un coefficiente di viscosità turbolento.

Teoria della lunghezza di mescolamento

L’idea di base è che il trsporto di quantità di moto dovuto alla turbolenza su scala

piccola possa essere espresso in funzione del flusso medio a scala maggiore.

A questo scopo si scrive la velocità orizzontale istantanea come

0

V =< V > +V (6.1)

dove le parentesi <> definiscono un operatore che esegue una certa media (estrae il

0

valore medio definito proprio da < V >) e V è la variazione istantanea della velocità

1

attorno al valore medio.

1 L’operatore di media appena definito abbastanza vagamente ha bisogno di una discussione ulteriore.

[6:1]

FISICA DELL’ATMOSFERA Capitolo 6

0

Per definizione < V >= 0.

Le equazioni che governano il fluido sono:

∂u ∂u ∂u ∂u 1 ∂p

− −

+ u + v + w fv = (6.2a)

∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x

∂v ∂v ∂v ∂v 1 ∂p

+ u + v + w + fu = (6.2b)

∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂y

∂ρ ∂ ∂ ∂

+ (ρu) + (ρv) + (ρw) = 0 (6.2c)

∂t ∂x ∂y ∂z

Tutte le equazioni sono scritte in coordinate (x, y, z); le prime due sono la conservazione

della quantità di moto orizzontale senza termini di attrito, la terza è l’equazione di

continuità senza approssimazioni.

Portando la densità ρ nelle prime due equazioni a destra dell’uguaglianza e poi dentro

le derivate utilizzando la terza equazione, si ottengono le seguenti

2

∂ρu ∂ρuv ∂ρuw ∂p

∂ρu − −

+ + + f ρv = (6.3a)

∂t ∂x ∂y ∂z ∂x

2

∂ρv ∂ρuv ∂ρv ∂ρvw ∂p

+ + + + f ρu = (6.3b)

∂t ∂x ∂y ∂z ∂y

Ora si applica la perturbazione introdotta precedentemente non solo alla velocità ma a

tutte le variabili dipendenti:

Sappiamo che il suo compito è di separare la parte non turbolenta dalla parte turbolenta delle variabili

dinamiche ma non è detto che esista una definizione rigorosa di quale sia la parte turbolenta e quale non

lo sia. Il problema non è banale e non sarà affrontato qui, tuttavia voglio assumere un atteggiamento

operativo che permette di procedere. Supponiamo di avere un’idea intuitiva di cosa sia la turbolenza

a scala piccola, per esempio, nel vento: quello stato caotico e non prevedibile che fa fluttuare una

eventuale misura (l’elica dell’anemometro non gira uniformemente e la paletta che indica la direzione

di provenienza del vento è tutt’altro che immobile), che fa sventolare le bandiere un po’ di qua un

po’ di la, che un attimo solleva la sabbia mandandola da una parte ed un attimo dopo la manda

da un’altra parte, etc etc. Osservare l’acqua di un torrente vicino alla riva è un buon modo per

“capire” cos’è la turbolenza ma, forse, lo è anche volare in aereo in certe condizioni, guardare gli strani

effetti ottici sopra una sorgente di calore o osservare il pennacchio di fumo che esce da una ciminiera.

Assumiamo, in complesso, di averne un’idea. Siamo in grado di distinguere la parte turbolenta di una

certa grandezza da quella che viene chiamata parte non turbolenta, valore medio o valore di fondo

(dall’inglese background)? Non sempre ma qualche volta si. La bandiera sbatte ma, almeno, per un

certo lasso di tempo, la sua direzione in media è più o meno definita, la stessa cosa si può dire di un vento

a raffiche, dell’acqua del torrente e anche della leggera corrente ascendente sopra il termosifone. In altri

casi può essere meno facile ma, in genere, abbiamo idea di cosa dovremmo fare per misurare il valore

medio che da una parte elimina la turbolenza e dall’altra parte tiene conto che la direzione di sventolio

della bandiera, per esempio, qualche ora dopo è cambiata perché la brezza di terra si è trasformata

in brezza di mare. Potremmo, per esempio, eseguire delle medie in un tempo abbastanza lungo da

eliminare le fluttuazioni rapide che consideriamo turbolenza ma da tenere conto di variazioni lente

legate a fenomeni che non consideriamo turbolenza. Questo è un punto molto importante da ricordare:

in genere anche le quantità di fondo variano col tempo. Se, per esempio, consideriamo l’operatore media

<> come una media nel tempo, deve essere una media corrente; a tutti i fini una tale impostazione è

accettabile operativamente. Chi ha idea di cosa siano, potrebbe prendere in considerazione anche delle

medie di ensemble. [6:2]

FISICA DELL’ATMOSFERA Capitolo 6

0

u =< u > + u (6.4a)

0

v =< v > + v (6.4b)

0

w =< w > + w (6.4c)

0

p =< p > + p (6.4d)

ρ =< ρ > (6.4e)

Notare che la (6.4e) assume che le fluttuazioni turbolente della densità siano trascurabili,

0 ≡

cioè, ρ 0. Si assume un’approssimazione che, in fluidodinamica, viene chiamata di

Bussinesq e serve, oltre che a semplificare le equazioni, a filtrare disturbi o onde molto

rapide, per esempio onde sonore. Facendo le sostituzioni (6.4) e svolgendo i calcoli i

termini si moltiplicano di parecchio; alla fine con calcoli semplici ma piuttosto lunghi e

noiosi, si ottengono due equazioni con una serie di termini del tipo:

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

0 0 0 0

(ρuv) = (ρ < u >< v >) + (ρ < u > v ) + (ρu < v >) + (ρu v )

∂y ∂y ∂y ∂y ∂y

oppure 0

f ρv = f ρ < v > +f ρv

etc. L’importante è notare che i singoli termini sono prodotti in varie combinazioni

delle quantità medie e della variazioni istantanee. A questo punto si applica l’operatore

media <> ad entrambe le equazioni tenendo presente che (1) le derivate commutano

con l’operatore, (2) le quantità medie possono “uscire” dall’operatore <> (anche queste

commutano con l’operatore), (3) la media di una fluttuazione è identicamente uguale a

zero e (4) la media del prodotto di più di una fluttuazione NON è, in genere, uguale a

1

zero, anzi, prende il significato di correlazione statistica tra le componenti fluttuanti .

Applicando la media ad alcuni termini si ottiene, per esempio,

∂ ∂

0 0

< ρ < u > v >= ρ < u >< u >= 0

∂y ∂y

∂ ∂

0 0 0 0

< ρu v >= ρ < u v >6 = 0

∂y ∂y

< f ρ < v >>= f ρ < v >

0 0

< f ρv >= f ρ < v >= 0

Come risultato finale si ottengono (utilizzando un’altra volta l’equazione di continuità:

1 Immaginate che le parti fluttuanti siano, per esempio, rappresentate da sinusoidi. La media di una

sinusoide su un numero intero di cicli è nulla ma la stessa media del prodotto di due sinusoidi non è

generalmente nulla. [6:3]

FISICA DELL’ATMOSFERA Capitolo 6

∂<u> ∂u ∂<u> ∂<u> −

+ <u> + <v> + <w> f < v >=

∂t ∂x ∂y ∂z

0 0 0 0 0 0

1 ∂ < p > 1 ∂ρ < u u > ∂ρ < u v > ∂ρ < u w >

− −

= + + (6.5a)

ρ ∂x ρ ∂x ∂y ∂z

∂<v> ∂v ∂<v> ∂<v>

+ <u> + <v> + <w> + f < u >=

∂t ∂x ∂y ∂z

0 0 0 0 0 0

∂ < p > 1 ∂ρ < v u > ∂ρ < v v > ∂ρ < v w >

1 −

− + + (6.5b)

= ρ ∂y ρ ∂x ∂y ∂z

Formalmente queste equazioni somigliano molto a quelle iniziali (6.2a-b) a parte i ter-

mini aggiuntivi raggruppati nelle parentesi quadre a destra delle uguaglianze, chiamati

comunemente termini dello stress turbolento. E’ interessante notare a questo punto

come la turbolenza riesca in ogni modo a modificare i campi medi (non turbolenti)

proprio attraverso le equazioni appena scritte. In particolare l’andamento dei campi

medi <> viene influenzato da termini che coinvolgono la correlazione tra diverse quan-

tità turbolente, da termini quadratici nelle componenti turbolente. In breve: se esiste

una correlazione non nulla tra le fluttuazioni turbolente delle grandezze, queste sono in

grado di modificare le quantità medie attraverso i termini dello stress turbolento. C’è

un’altra osservazione interessante: con le operazioni appena fatte si sono aggiunte nuove

variabili a quelle iniziali, proprio i termini fluttuanti. E’ possibile trovare equazioni che

governano le componenti fluttuanti semplicemente facendo la differenza tra le equazioni

trovate dopo la sostituzione (6.4) ma prima della media e le equazioni mediate (6.5). Tali

0

equazioni darebbero, per esempio, ∂u /∂t = ... una serie di termini più o meno lunga e

complicata. Tuttavia, notando che le equazioni che ci interessa studiare sono le (6.5) si

vede che non serve sapere tanto il comportamento dei termini fluttuanti quanto il com-

portamento dei termini formati da medie di prodotti di componenti fluttuanti. Scrivere

le equazioni che governano il comportamento di tali termini è possibile con semplici pas-

saggi ma nel momento in cui facciamo questa operazione saltano fuori nuove correlazioni

di ordine superiore (con più di due termini) tra quantità fluttuanti: andiamo a sbattere

contro il problema della chiusura ben noto ai fluidodinamici della turbolenza. Non è

possibile trovare un numero di equazioni sufficiente a rendere determinato il sistema

perché, ogni volta che nell’equazione che governa il comportamento di una quantità di

un certo ordine compaiono correlazioni di ordine superiore, queste ultime sono a loro

volta governate equazioni che contengono correlazioni di ordine superiore. Le equazioni

che sono state scritte sono un chiaro esempio: le equazioni (6.5) governano le quan-

tità medie, che sono di ordine zero. In esse compaiono correlazioni di ordine 2 tipo

0 0 0 0

la quantità <u v >. Nell’equazione che governa questa quantità, ∂ <u v > /∂t = ...

0 0 0 0

comparirebbero dei termini del tipo <u u v v >, di ordine 4 e cosı̀ via.

A seconda delle teorie e degli utilizzi, i fluidodinamici arrivano fino ad un certo or-

dine nelle equazioni ma poi sono costretti a prendere qualche decisione drastica nelle

approssimazioni da imporre per chiudere il sistema e renderlo determinato.

Avendo chiarito questi punti, si capisce che il problema della chiusura va affrontato

in qualche modo che esula dalle leggi fondamentali della fluidodinamica. Uno dei

[6:4]

FISICA DELL’ATMOSFERA Capitolo 6

primi metodi utilizzati e tutt’ora largamente usato si basa su quella che viene chia-

mata l’ipotesi (o teoria) della lunghezza di mescolamento o, in inglese, “mixing length”.

In questa teoria si chiude il sistema di equazioni assumendo che i termini di stress siano

proporzionali ai gradienti delle quantità medie; in analogia alle leggi che governano la

diffusione molecolare si ipotizza che i termini di secondo ordine possano essere espressi in

funzione di termini di ordine zero. Si fa quella che in gergo viene chiamata parametriz-

zazione che vuol dire introdurre un’ipotesi di lavoro che, pur essendo ragionevole e

ispirata a ciò che sappiamo della realtà, non ricorre a leggi fondamentali della fisica.

Nello strato limite planetario (d’ora in poi s.l.p.), si osserva che i gradienti verticali

(i termini ∂/∂z) delle grandezze fisiche importanti sono di gran lunga più grandi dei

gradienti orizzontali (i termini ∂/∂x e ∂/∂y) delle stesse quantità. In genere è possibile

trascurare questi ultimi senza introdurre un errore importante; d’ora in poi lo facciamo

mantenendo gli altri termini non trascurabili: solamente i gradienti verticali delle cor-

relazioni tra le fluttuazioni delle componenti orizzontali e verticali della velocità.

Per l’ipotesi della “mixing length”, una particella di fluido che si sposta verticalmente

per fluttuazioni turbolente, si porta dietro la velocità media del punto di partenza per

0

una distanza caratteristica ` analoga al cammino libero medio molecolare. 0

Consideriamo due livelli nel fluido a distanti verticalmente della quantità ` , z e z =

1 2

0

z + ` ; la particella si trova inizialmente in z dove la velocità media orizzontale nella

1 1

componente x è < u(z ) >. Nel punto z , per le solite formule note, la velocità media

1 2

può essere scritta come ∂ < u(z ) >

1 0

` (6.6)

< u(z ) >=< u(z ) > +

2 1 ∂z

Nel momento in cui la particella, per movimento turbolento, va a finire nel punto z , la

2

velocità istantanea in questo punto diventa uguale a quella della particella, cioè quella

che si è portata dietro per l’ipotesi fatta sopra: 0

u(z ) =< u(z ) > +u =< u(z ) > (6.7)

2 2 1

dove la prima uguaglianza è semplicemente la solita scomposizione in valore medio più

valore fluttuante al livello z . A questo punto è banale sostituire il valore di < u(z ) >

2 2

dato dalla (6.6) nella seconda uguaglianza della (6.7) ed ottenere

∂<u>

0 0

−`

u = (6.8)

∂z

0

dove ` va considerato con il segno: positivo per spostamenti verso l’alto, negativo

altrimenti.

Con questa formulazione, il termine di stress verticale che compare nella (6.5a) viene

scritto ∂<u>

0 0 0 0

−ρ < u w ) = ρ < w ` > (6.9)

∂z

0

Occorre una stima di w e ciò richiede una ulteriore assunzione, in particolare che l’ordine

1

di grandezza delle fluttuazioni di velocità sia lo stesso in tutte le direzioni cioè

1 Questa ipotesi è equivalente ad assumere che la turbolenza sia isotropa e, quindi, che per esempio la

gravità non la influenzi sostanzialmente. [6:5]

FISICA DELL’ATMOSFERA Capitolo 6

0

0 0 0

|w | ' |u | ' |v | ' |V | (6.10)

Questo significa che, coerentemente con le ipotesi fatte, è possibile scrivere una equazione

01

analoga alla (6.8) anche per la componente w

∂< V >

0 0 (6.11)

w = ` ∂z

dove il modulo è necessario per dare il giusto segno alla velocità verticale, concorde allo

0

spostamento ` .

Con quest’ultima equazione, il termine di stress turbolento verticale dato dalla (6.9),

diventa ∂< V > ∂<u> ∂<u>

0 0 02

−ρ < u w >= ρ < ` > = A (6.12)

z

∂z ∂z ∂z

Dove ∂< V >

02

A = ρ < ` > (6.13)

z ∂z

è chiamato il coefficiente di scambio turbolento (in seguito verrà definito un coefficiente

di diffusione turbolenta K che differisce da questo per non contenere la densità ρ). In

modo simile si può ricavare ∂<v>

0 0

−ρ (6.14)

< v w >= A z ∂z

Presto si faranno ulteriori assunzioni su A .

z

Equazioni dello strato limite planetario

Trascurando i termini di stress orizzontali come già spiegato e scrivendo i termini rima-

nenti come 0 0

−ρ

τ = < u w > (6.15a)

x 0 0

−ρ

τ = < v w > (6.15b)

y

le equazioni per il flusso medio diventano

∂u ∂u ∂u 1 ∂p 1 ∂τ

∂u x

− −

+ u + v + w fv = + (6.16a)

∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ρ ∂z

1 Notare che non si utilizza, come a priori sembrerebbe ragionevole, il gradiente verticale di < w > perché,

al contrario delle quantità turbolente, le quantità di fondo sono fortemente anisotrope e la componente

verticale del vento è sempre molto minore delle componenti orizzontali. Data la “isotropizzazione” della

turbolenza, alla fine sembra invece più ragionevole ipotizzare che anche le fluttuazioni della velocità

verticale siano legate alle più rilevanti variazioni delle velocità orizzontali.

[6:6]


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Fisica dell'atmosfera del Prof. Daniele Fuà, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: lo strato limite planetario; teoria della lunghezza di mescolamento; le equazioni dello strato limite planetario; lo strato di Ekman; la circolazione atmosferica secondaria.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in fisica
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica dell'atmosfera e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Fuà Daniele.

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